Piotr Zaszkowski

Laboratorium Fizyczne

Ćwiczenie nr 2b.

Temat: Pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Teoria zjawiska:

Przez ciężar ciała rozumiemy siłę z jaką Ziemia przyciąga dane ciało. Siła ta nadaje swobodnie spadającemu ciału przyspieszenie g zwane przyspieszeniem ziemskim. Wartość tej siły można przedstawić wzorem: F = mg.

Wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest stała, ale zależy od położenia punktu na powierzchni Ziemi. Przyczynami tego zjawiska są: a) spłaszczenie kuli ziemskiej, b) ruch obrotowy Ziemi, c) niejednorodność budowy Ziemi.

Jak wiadomo Ziemia ma kształt zbliżony do elipsoidy obrotowej, spłaszczonej od strony biegunów geograficznych, w skutek tego wartość g zależy od szerokości geograficznej i jest największa na biegunie, a najmniejsza na równiku.

Ruch obrotowy Ziemi powoduje powstanie siły odśrodkowej, która zmniejsza ciężar każdego ciała znajdującego się na Ziemi. Siła odśrodkowa jest prostopadła do osi ziemskiej, a więc jej kierunek względem poziomu zależy od szerokości geograficznej. Zmniejszenie ciężaru ciała jest największe na równiku i w miarę zbliżania się do bieguna maleje do zera.

Wartość g zmienia się w skutek działania tych dwóch czynników od wartości ok. 9,78m/s² na równiku do ok. 9,83m/s² na biegunie.

Niejednorodność budowy Ziemi, jak i również ukształtowanie powierzchni Ziemi powodują niewielkie lokalne wahania wartości g.

Wahadłem fizycznym ( jest nim wahadło rewersyjne ) nazywamy bryłę sztywną wahającą się wokół osi obrotu nie przechodzącej przez jej środek masy. Ruch tego wahadła będzie ruchem obrotowym, toteż dynamiczne równanie ruchu będzie miało postać wzoru: M = I ε.

Rozważmy siły działające na wahadło fizyczne ( jak przedstawione to zostało na poniższym rysunku ). W środku masy C jest przyłożona siła ciężkości, której składowa F₁ jest równoważona siła przyłożoną w punkcie zawieszenia wahadła. Składowa F₂ siły ciężkości, prostopadła do prostej będącej promieniem wodzącym środka masy bryły względem osi obrotu, prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt zawieszenia wahadła, powoduje ruch drgający tego wahadła. Jej moment względem punktu O będzie więc figurował w dynamicznym równaniu ruchu wahadła. Ponieważ sinα jest dla małych kątów równy kątowi α wyrażonemu w mierze łukowej, a w ruchu obrotowym wahadła wychylenie jest określone właśnie przez kąt α, więc siła F₂ będzie dla małych kątów siłą quasi-sprężystą, a drgania wahadła będą drganiami harmonicznymi.

Wyprowadzenie wzoru roboczego:

Z powyższego moment siły F₂ względem osi przechodzącej przez O jest

M = F₂r = Fr sinα = mgr sinα ,

gdzie m oznacza masę wahadła. Oznaczając przez x długość łuku, o jaki odchyli się masa od położenia równowagi, przy małych kątach α możemy przyjąć, że sinα = x/r, stąd moment siły będzie równy: M = mgx.

Przyspieszenie liniowe a punktu odległego o r od osi obrotu wynosi a = εr, stąd ε = a/r. Podstawiając powyższe wartości do dynamiczne równanie ruchu otrzymamy:

mgx = Ia/r

a = mgrx/I

Z takim przyspieszeniem porusza się więc środek masy wahadła fizycznego. Na podstawie rozważań dotyczących wahadła matematycznego ( opracowanie ćwiczenia 2a i 2b ) można wykazać, że przyspieszenie kulki wahadła matematycznego o długości l wynosi: a = gx/l.

Wahadło matematyczne o takiej długości ma się w każdej chwili poruszać z takim przyspieszeniem i fazą, jak rozważane obecnie wahadło fizyczne. Jeżeli w każdej chwili oba wahadła mają to samo przyspieszenie i tę samą fazę, to poruszają się zupełnie jednakowo, w szczególności mają taki sam okres wahań.

Z porównania wartości przyspieszenia mamy:

mgrx/I = gx/l

l = I/mr

Wahadło matematyczne o takiej długości będzie więc wahać z takim samym okresem, jak wahadło fizyczne. Wielkość l określoną powyższym wzorem nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego i oznaczamy d. W związku z powyższym:

T = 2π(I/mrg)^1/2 = 2π(d/g)^1/2

stąd: g = 4π²d/T²

Okres wahadła obliczamy ze wzoru: T = (T₁ + T₂)/2

Obliczenia:

g = 4π²d/T²

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU

Niepewność całkowita dla d:

Niepewność całkowita dla T:

Wartości pochodnych cząstkowych :

Podstawiając wszystkie wartości otrzymujemy:

Niepewność rozszerzona (dla
k=2) wynosi:

Po zaokrągleniu niepewności rozszerzonej do dwu cyfr znaczących otrzymujemy wynik pomiaru:

Wnioski:

Wyznaczona wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi g = (
) m/s². Wartość ta, choć zbliżona do wartości rzeczywistej znacznie różni się od niej. Spowodowane to może być małą dokładnością przyrządu jak również przybliżeniami wartości pośrednich.

F₁ = mg cosα

F₂ = mg sinα

---