PROJEKTOWANIE BADAŃ i METODY ANALIZY STATYSTYCZNEJ I

Wielowymiarowe rozkłady zmiennych losowych cz. I i II

Zad. 1

Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
dana jest wzorem

1. Wyznaczyć stałą a.

2. Wyznaczyć rozkłady brzegowe.

3. Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.

4. Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej X przy warunku
   .

5. Obliczyć
   .

Zad. 2

Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
dana jest wzorem

1. Wyznaczyć stałą a.

2. Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.

3. Obliczyć
   .

Zad. 3*

Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
dana jest wzorem

1. Wyznaczyć stałą a.

2. Wyznaczyć rozkłady brzegowe.

Zad. 4

Wyznaczyć dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej
, której gęstość dana jest wzorem

Zad. 5

Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
dana jest wzorem

1. Wyznaczyć gęstości brzegowe.

2. Wyznaczyć gęstości warunkowe.

3. Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji.

Zad. 6

Wiedząc, że wektor losowy
ma rozkład normalny
, znaleźć rozkład
.

Zad. 7

Wiedząc, że wektor losowy
ma rozkład normalny
, znaleźć rozkład
.

Zad. 8

Dany jest wektor losowy
o rozkładzie normalnym
, gdzie
.

1. Czy zmienne losowe
   i
   są niezależne?

2. Czy niezależne są
   i
   ?

Zad. 9

Dany jest wektor losowy
o rozkładzie normalnym

z parametrami

,

1. Wyznaczyć rozkład wektora
   .

2. Wyznaczyć rozkład warunkowy
   , gdzie
   ,
   .

3. Wyznaczyć rozkład warunkowy
   , gdzie
   ,
   .

4. Wyznaczyć rozkład wektora
   , gdzie
   ,
   .

Zad. 10

Dany jest wektor losowy
o rozkładzie normalnym

z parametrami

,

1. Wyznaczyć rozkład wektora
   .

2. Wyznaczyć rozkład warunkowy
   , gdzie
   ,
   .

3. Wyznaczyć rozkład wektora
   , gdzie
   .

Zad. 11

W badaniu miesięcznych wydatków (w zł.) na energię (zmienna
), telefon (zmienna
), gaz (zmienna
) dla próby 30 rodzin otrzymano, że średnie wydatki w złotych wynoszą odpowiednio

,
,
,

macierz kowariancji

Wiedząc, że rozkład wektora losowego
jest normalny, czy można przypuszczać, że te wydatki wynoszą średnio
? Przyjąć poziom istotności
.

Zad. 12

Zbadano pot 20 kobiet pod względem trzech składowych:
- wskaźnik potu,

- zawartość sodu,
- zawartość potasu. Otrzymano następujące wyniki:

,
.

Wiedząc, że rozkład wektora losowego
jest normalny
, zweryfikować hipotezę
wobec
? Przyjąć poziom istotności
.

Zad. 13

Zbadano losowo wybranych 30 studentów matematyki i 20 studentów fizyki pod względem ocen z języka angielskiego (zmienna
) i niemieckiego (zmienna
). Otrzymano następujące wyniki:

Studenci matematyki:

,
,
.

Studenci fizyki:

,
,
.

Zakładając normalność wektora losowego
sprawdzić, czy średnie ocen uzyskanych
przez studentów obu kierunków są takie same. Przyjąć poziom istotności
.

Zad. 14

W badaniu struktury miesięcznych wydatków studentów i studentów uwzględniono wydatki na żywność (zmienna
), wydatki na książki (zmienna
) i wydatki na ubrania (zmienna
). Dla losowo wybranych 30 studentek i 20 studentów otrzymano następujące średnie
w zł.:

Studentki:

,
,
,

Studenci:

,
,
.

Odwrotność uśrednionej macierzy kowariancji dla tej próby wyniosła:

.

Wiedząc, że rozkład wektora losowego
jest normalny, czy można stwierdzić, że struktury wydatków studentek i studentów są takie same.

Zad. 15

Zweryfikować hipotezę, czy macierz wariancji - kowariancji w populacji generalnej
o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym
jest równa
, jeśli dla 100 elementowej próby pobranej z tej populacji obciążona macierz wariancji - kowariancji
ma postać
. Przyjąć poziom istotności
.

Zad. 16*

Zbadano losowo wybranych 20 studentów ze względu na wzrost (zmienna
) i wagę (zmienna
), otrzymano odpowiednio następujące wyniki:

172 89

160 54

166 83

158 71

187 82

160 83

163 108

177 82

153 85

159 85

169 75

168 80

171 97

188 85

171 69

174 79

168 77

177 85

183 78

172 82

Wiedząc, że rozkład wektora losowego
jest normalny, czy można przypuszczać, że te średnie wynoszą odpowiednio
? Przyjąć poziom istotności
.

Zad. 17*

Zbadano losowo wybranych pracowników z wykształceniem wyższym, z dwóch firm F1 i F2 (15 pracowników z pierwszej firmy i 10 z drugiej), pod względem wynagrodzenia (zmienna
), średniej ocen na świadectwie maturalnym (zmienna
) oraz średniej ocen na studiach (zmienna
). Otrzymano następujące wyniki odpowiednio dla firmy F1 i firmy F2:

1531.09 3.20 3.35 5664.44 3.39 4.89

2726.67 3.53 4.38 4601.96 5.15 4.16

5228.50 3.75 3.85 4927.52 3.94 5.00

1763.96 3.98 5.00 4350.83 3.71 3.31

3502.66 4.92 5.00 2600.26 3.42 4.68

2706.50 3.31 4.10 4710.56 3.03 3.94

5525.26 3.68 3.83 3197.18 4.93 4.66

5920.71 3.88 5 .00 4412.57 4.17 4.31

3604.19 4.82 4.39 4324.51 3.61 4.27

5942.44 3.74 4.23 2708.78 4.57 5.00

5481.81 4.48 5.00

2499.85 3.18 4.38

3275.49 4.48 4.37

3724.04 4.04 5.00

3818.33 4.99 3.63

Wiedząc, że rozkład wektora losowego
jest normalny, zweryfikować hipotezę zerową o równości rozważanych wektorów wartości oczekiwanych w obu populacjach. Przyjąć poziom istotności
.

5

---