PROJEKTOWANIE BADAŃ i METODY ANALIZY STATYSTYCZNEJ I
Wybrane zagadnienia weryfikacji hipotez statystycznych
Zad. 1
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
,
.
Badamy hipotezę
wobec hipotezy alternatywnej
. Obszar odrzucenia hipotezy
jest wyznaczony nierównością
,
i jest ustalone. Obliczyć prawdopodobieństwo błędu I i II rodzaju oraz wyznaczyć moc tego testu.
Zad. 2
Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny
wylosowano n-elementową próbę prostą. Wysunięto hipotezę
wobec hipotezy alternatywnej
.
Do zweryfikowania tej hipotezy proponuje się test o obszarze krytycznym postaci
. Wyznaczyć t, tak aby otrzymać test o prawdopodobieństwie błędu I rodzaju 0,05. Jak liczna powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo błędu II rodzaju nie było większe niż 0,05.
Zad. 3
Niech
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego
. Testujemy hipotezę
wobec hipotezy alternatywnej
, przy czym obszar krytyczny testu jest postaci
. Wyznaczyć stałą
tak, aby poziom istotności
. Wyznaczyć funkcję mocy tego testu w zależności od m. Czy test ten jest nieobciążony? Czy test ten jest zgodny?
Zad. 4
Niech
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego
. Przypuśćmy, że weryfikujemy hipotezę
za pomocą testu z obszarem odrzucenia
.
Jaka jest moc tego testu przy
i
?
Zad. 5
Niech X będzie zmienną losową z rozkładu Erlanga o gęstości
.
Testujemy hipotezę
wobec hipotezy alternatywnej
. Dysponując pojedynczą obserwacją, znaleźć test najmocniejszy przy
.
Wyznaczyć moc tego testu.
Zad. 6
Podać końcową postać statystyki
używanej do testu ilorazu wiarygodności służącego do testowania hipotezy
wobec hipotezy alternatywnej
, jeżeli n-elementowa próba prosta pochodzi z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości
.
Zad. 7
Zmienna losowa X ma rozkład Pascala o funkcji prawdopodobieństwa
dla
,
. Z rozkładu tego została wylosowana dwustuelementowa próba prosta, w której zaobserwowano
. Przyjmując poziom istotności
należy zweryfikować hipotezę
wobec hipotezy alternatywnej
.
Zad. 8
Niech
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu Poissona o funkcji prawdopodobieństwa
,
. Rozważmy zagadnienie weryfikacji hipotezy
przeciwko
. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności na poziomie istotności
, jeśli n jest duże.
Zad. 9
Niech
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu geometrycznego o funkcji prawdopodobieństwa
,
. Rozważmy zagadnienie weryfikacji hipotezy
wobec hipotezy
. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności na poziomie istotności
, jeśli n jest duże.
1