Politechnika Warszawska

Wydział

Samochodów i Maszyn Roboczych

Praca Domowa

Podstawy eksploatacji i niezawodności

Michał Kaczmarczyk gr. 2.4

Nr zbioru 24 :

Nr. przedziału	Granice przedziału		Środek przedziału	Liczba obserwacji
L	XLj	XPj	Xj	nj	Xj*nj	((Xj)^2)nj	∑nj	N-∑nj
1	0	56	28	1	28	784	1	749
2	56	112	84	1	84	7056	2	748
3	112	168	140	6	840	117600	8	742
4	168	224	196	36	7056	1382976	44	706
5	224	280	252	112	28224	7112448	156	594
6	280	336	308	201	61908	19067664	357	393
7	336	392	364	211	76804	27956656	568	182
8	392	448	420	127	53340	22402800	695	55
9	448	504	476	45	21420	10195920	740	10
10	504	560	532	9	4788	2547216	749	1
11	560	616	588	1	588	345744	750	0
			Suma	750	255080	91136864

Obliczam wartości:

Wariancja:

σ² = 5843,3

Wartość średnia:

= 340,1

Odchylenie standardowe:

σ = 76,4

Liczność próbki:

N = 750

Podstawowe miary niezawodności:

- środek przedziału

- liczba obserwacji

- funkcja gęstości

- funkcja zawodności (dystrybuanta)

- funkcja niezawodności

- funkcja ryzyka

Nr. Przedziału	Środek przedziału	Liczba obserwacji	Funkcja gęstości	Funkcja zawodności (dystrybułanta)	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka
j	Xj	nj	f(x)=nj/(N*Dx) *10^-3	F(x)=Snj/N	R(x)=(N-Snj)/N	l(x)=nj/Dx(N-Snj)*10^3
1	28	1	0,024	0,001	0,999	0,024
2	84	1	0,024	0,003	0,997	0,024
3	140	6	0,143	0,011	0,989	0,144
4	196	36	0,857	0,059	0,941	0,911
5	252	112	2,667	0,208	0,792	3,367
6	308	201	4,786	0,476	0,524	9,133
7	364	211	5,024	0,757	0,243	20,703
8	420	127	3,024	0,927	0,073	41,234
9	476	45	1,071	0,987	0,013	80,357
10	532	9	0,214	0,999	0,001	160,714
11	588	1	0,024	1,000	0,000	-

Poniżej zamieszczam wartości uzyskane z przeprowadzonego rozkładu normalnego:

Test zgodności χ ² :

- Liczba stopni swobody

r = 8

- Poziom istotności

α = 0,05

Otrzymane wyniki:

- wartość krytyczna rozkładu

χ² = 15,507

- wartość dla zadanego rozkładu

χ² = 1,480

Hipoteza może zostać przyjęta ponieważ wartość dla rozkładu jest mniejsza od wartości krytycznej.

Rozkład normalny:

Liczba obserwacji	Standaryzacja	Funkcja gęstości	Dystrybułanta	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka	Standaryzacja na kończch przedziału			Dystrybułanta na końcach przedziałów			Prawdop. Zmn. Losowej w przedziale	Statystyka hi^2 Pearsona
nj	uj=(xj-xsr)/s	f(xj) *10^-3	F(xj)=F(uj)	R(xj)=1-F(xj)	l(xj) *10^3	uLj		upj	F(xLj)		F(xPj)	pj=F(xPj)-F(xLj)
1	-3,480	0,0024	0,0003	0,9997	0,002	-3,80	---	-3,16	0,000	--	0,001	0,0007	0,796
2	-2,847	0,0176	0,0022	0,9978	0,018	-3,16	---	-2,53	0,001	--	0,006	0,0049	0,298
13	-2,213	0,0873	0,0134	0,9866	0,089	-2,53	---	-1,90	0,006	--	0,029	0,0233	0,053
44	-1,580	0,2904	0,0571	0,9429	0,308	-1,90	---	-1,26	0,029	--	0,103	0,0744	0,002
96	-0,946	0,6462	0,1721	0,8279	0,781	-1,26	---	-0,63	0,103	--	0,265	0,1613	0,000
142	-0,313	0,9628	0,3773	0,6227	1,546	-0,63	---	0,00	0,265	--	0,502	0,2371	0,003
142	0,321	0,9602	0,6259	0,3741	2,567	0,00	---	0,64	0,502	--	0,738	0,2365	0,008
97	0,955	0,6410	0,8301	0,1699	3,773	0,64	---	1,27	0,738	--	0,898	0,1600	0,028
44	1,588	0,2865	0,9439	0,0561	5,103	1,27	---	1,90	0,898	--	0,972	0,0734	0,001
13	2,222	0,0857	0,9868	0,0132	6,515	1,90	---	2,54	0,972	--	0,994	0,0228	0,027
2	2,855	0,0172	0,9978	0,0022	7,979	2,54	---	3,17	0,994	--	0,999	0,0048	0,263
596												0,9992	1,480

Rozkład Weibulla dla Xo= -16,36

Nr. przedziału	Granice przedziału			Środek przedziału	Liczba obserwacji	Korekcja	Funkcja gęstości	Dystrybułanta	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka	Dystrybułanta na końcach przedziałów			Prawdop. Zmn. Losowej w przedziale	Statystyka hi^2 Pearsona
	XLj	---	XPj	Xj	nj	(Xj-Xo)	f(xj) *10^-3	F(xj)=F(uj)	R(xj)=1-F(xj)	l(xj) *10^3	F(xLj)		F(xPj)	pj=F(xPj)-F(xLj)
1	0	---	56	28	1	44,4	0,0074	0,00005	1,000	0,01	0,00	--	0,00	0,0008	0,3
2	56	---	112	84	1	100,4	0,1576	0,0035	0,996	0,16	0,00	--	0,01	0,0096	5,4
3	112	---	168	140	6	156,4	0,6416	0,0240	0,976	0,66	0,01	--	0,05	0,0369	17,0
4	168	---	224	196	36	212,4	1,5402	0,0832	0,917	1,68	0,05	--	0,13	0,0869	13,1
5	224	---	280	252	112	268,4	2,7033	0,2017	0,798	3,39	0,13	--	0,29	0,1509	0,0
6	280	---	336	308	201	324,4	3,6604	0,3823	0,618	5,93	0,29	--	0,49	0,2030	15,6
7	336	---	392	364	211	380,4	3,8115	0,5963	0,404	9,44	0,49	--	0,70	0,2110	17,6
8	392	---	448	420	127	436,4	2,9571	0,7899	0,210	14,07	0,70	--	0,86	0,1644	0,1
9	448	---	504	476	45	492,4	1,6269	0,9185	0,082	19,95	0,86	--	0,96	0,0919	8,3
10	504	---	560	532	9	548,4	0,5964	0,9781	0,022	27,21	0,96	--	0,99	0,0348	11,2
11	560	---	616	588	1	604,4	0,1354	0,9962	0,004	35,97	0,99	--	1,00	0,0084	4,4
				Suma	750									0,9987	93,06

Rozkład Weibulla dla Xo=0

Nr. przedziału	Granice przedziału			Środek przedziału	Liczba obserwacji	Funkcja gęstości	Dystrybułanta	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka	Dystrybułanta na końcach przedziałów			Prawdop. Zmn. Losowej w przedziale	Statystyka hi^2 Pearsona
L	XLj	---	XPj	Xj	nj	f(xj) *10^-3	F(xj)=F(uj)	R(xj)=1-F(xj)	l(xj) *10^3	F(xLj)		F(xPj)	pj=F(xPj)-F(xLj)
1	0	---	56	28	1	0,0295	0,00026	1,000	0,03	0,000	---	0,002	0,0024	0,36
2	56	---	112	84	1	0,3395	0,00887	0,991	0,34	0,002	---	0,022	0,0199	13,00
3	112	---	168	140	6	1,0222	0,04534	0,955	1,07	0,022	---	0,080	0,0579	32,26
4	168	---	224	196	36	1,9767	0,12855	0,871	2,27	0,080	---	0,191	0,1107	26,62
5	224	---	280	252	112	2,9147	0,26650	0,733	3,97	0,191	---	0,353	0,1622	0,77
6	280	---	336	308	201	3,4373	0,44717	0,553	6,22	0,353	---	0,544	0,1908	23,42
7	336	---	392	364	211	3,2650	0,63827	0,362	9,03	0,544	---	0,725	0,1813	41,37
8	392	---	448	420	127	2,4714	0,80102	0,199	12,42	0,725	---	0,863	0,1379	5,38
9	448	---	504	476	45	1,4613	0,91101	0,089	16,42	0,863	---	0,946	0,0824	4,56
10	504	---	560	532	9	0,6579	0,96874	0,031	21,05	0,946	---	0,983	0,0377	13,17
11	560	---	616	588	1	0,2191	0,99167	0,008	26,31	0,983	---	0,996	0,0129	7,78
				Suma	750								0,9962	168,68

Na podstawie rozkładu Weibulla dla x₀ = 0 określiłem wartości parametrów x₁, x₂, x₃ dzięki którym wyznaczyłem wartość parametru progowego x₀

x₁ = 115

x₂ = 200

x₃ = 340

x₀= -16,36

Następnie z wykresu wyznaczyłem parametr kształtu i skali:

Nr. Przedziału	Środek przedziału		Funkcja zawodności (dystrybułanta)	LN(Xj-Xo)	LN(LN(1/(1-F(Xj))))
j	Xj	Xj-Xo	F(Xj)
1	28	44,3636364	0,001	3,792	-6,619
2	84	100,363636	0,003	4,609	-5,926
3	140	156,363636	0,011	5,052	-4,535
4	196	212,363636	0,059	5,358	-2,806
5	252	268,363636	0,208	5,592	-1,456
6	308	324,363636	0,476	5,782	-0,437
7	364	380,363636	0,757	5,941	0,348
8	420	436,363636	0,927	6,078	0,960
9	476	492,363636	0,987	6,199	1,463
10	532	548,363636	0,999	6,307	1,890
11	588	604,363636	1,000	6,404

A = 3,7887 B = -22,44

Parametr skali: a = 373,5

Parametr kształtu: b = 3,7887

Dla rozkładów Weibulla wartości krytyczne dla tych rozkładów są mniejsze od wartości otrzymanych w wyniku badania. Wynika z tego że rozkłady te nie mogą zostać przyjęte.

Dla rozkładu Weibulla dla Xo= -16,36 wartość krytyczna rozkładu χ² = 14,067

a wartość dla rozkładu wynosi χ² = 93,059

Dla rozkładu Weibulla dla Xo= 0 wartość krytyczna wynosi: χ² = 15,507 a wartość dla rozkładu wynosi χ² = 168,682.

W obydwu przypadkach wartości dla zadanych rozkładów przekraczają wartości graniczne, co powoduje, że hipotezy nie są prawdziwe.

Dany rozkład daje się opisać tylko za pomocą rozkładu normalnego ponieważ test zgodności χ² (chi-kwadrat) dla rozkładu Weibulla nie zakończył się powodzeniem, χ² otrzymaliśmy większe od wartości krytycznej.

Poniższe wykresy przedstawiają graficzny opis podstawowych miar niezawodności:

Określenie zasobów 90% i 50%

- dla rozkładu normalnego

γ_90% = kwantyl rzędu (1- γ /100) = x_0,1

u_0,1 = (x_0,1 - μ)/s

x_0,1 = μ+ s u_0,1

dla γ_90% : u_0,1 = -1,28 x_0,1 = 242,3

dla γ_50% : u_0,5 = 0 x_0,5 = 340,1

- dla rozkładu Weibulla Xo= -16,36

γ_90% = kwantyl rzędu (1- γ /100) = x_0,1

x_γ =

a = 373,48

b = 3,79

x₀ = -16,36

dla γ_90% : x_0,1 = 189,8

dla γ_50% : x_0,5 = 449,1

Określenie przedziału ufności dla odchylenia standardowego przy zadanym poziomie istotności α = 0,05

α/2 = 0,025

1 - α/2 = 0,975

N = 749

χ²(α/2 ; N-1) = 826,7

χ²(1 - α/2 ; N-1) = 675,1

- dla rozkładu normalnego

72,76 < σ < 80,52 σ = 76,4

- dla rozkładu Weibulla Xo= 0

105,03 < σ < 116,23 σ = 110,3

- dla rozkładu Weibulla Xo= -16,36

94,65 < σ < 104,75 σ=99,4

Określenie przedziału ufności dla wartości średniej przy zadanym poziomie istotności α = 0,05

α = 0,05

r = 749

t(α,r)=1,9631

- dla rozkładu normalnego

334,62 < µ < 345,59

µ = 340,1 σ =76,4

- dla rozkładu Weibulla Xo= 0

316,57 < µ < 332,4

µ=324,5 σ = 110,3

- dla rozkładu Weibulla Xo= -16,36

314 < µ < 328,26

µ = 321,1 σ =99,4

---