Seminarium z przedmiotu

Teoria sprężystości

"Stan odkształcenia"

O odkształceniu przestrzeni zajętej przez ciało o dowolnym kształcie można wnioskować znając charakter zmian geometrycznych jakim ulegają jej części. Zmiany te wynikają stąd że poszczególne punkty odkształcalnego ciała przechodzą pod wpływem obciążeń z pierwotnego w inne, czyli doznają przemieszczenia. Przemieszczenie jest to odcinek skierowany, wektor h łączący dwa kolejne połączenia punktu przed i po deformacji.

Odkształceniem liniowym włókna, przechodzącego przez dany punkt, będziemy

nazywać jego względną zmianę długości na wskutek przyłożenia sił.

Odkształceniem kątowym nazywamy połowę kąta, o jaki zmieni się kąt prosty między dwoma włóknami przechodzącymi przez wspólny punkt i wzajemnie prostopadłymi przed przyłożeniem obciążenia.

Równania geometryczne

Równaniami geometrycznymi nazywać będziemy związki między odkształceniami a przemieszczeniami. Takimi równaniami są równania:

które po rozpisaniu mają postać:

Ponieważ e_ij są funkcjami x_i, funkcjami punktu są też odkształcenia. Zależności te są jak widać równaniami nieliniowymi.

Zakładając, że małe pochodne przemieszczeń można pominąć wzór można skrócić do:

Zgodnie z tym założeniem
co daje wobec tego związki między
przemieszczeniami a odkształceniami:

są to zlinearyzowane związki zwane równaniami Cauchy'ego.

`

Tensor odkształceń

Odkształcenia kątowe i liniowe stanowią zbiór funkcji, transformują się wg. Tego samego prawa co składowe stanu naprężenia, który można przedstawić w postaci macierzy, umieszczając na przekątnej odkształcenia liniowe, a poza nią odkształcenia kątowe. Ten wniosek i tw. O równowartości posunięć pozwala uważać tą macierz za tensor symetryczny II rzędu zwany tensorem odkształceń

Z definicji odkształcenia kątowego wynika, że
, zatem macierz odkształceń jest symetryczna.

Weźmy dwa dowolne punkty A i B bryły, które po deformacji przyjmują położenie A' i B'. Jeśli współrzędne tych punktów, wektora A, B oraz funkcje wektorową przemieszczeń u(r) określimy w układzie x_i

To różnica kwadratów odległości punktów A i B wyrażać się będzie następująco

Jeśli współrzędne punktów A i B wektora AB oraz u określimy w układzie x_i'

to różnice kwadratów długości zapiszemy

Ponieważ różnica kwadratów długości tych samych dwu wektorów nie zależy od przyjętego układu dlatego

występujące w tym wzorze Δx'_i Δx_i są współrzędnymi wektora w układach x_i i x'_i. Jeśli układ x'_i określany jest w układzie x_i macierzą o elementach α_ij to współrzędne wektora AB związane są wzorem transformacyjnym

podstawiając, otrzymujemy:

zmieniając po prawej stronie wskaźniki sumacyjne i na k i j na r i odwrotnie otrzymujemy

ostanie równanie jest prawem tensorowym, a wiec macierz jest tensorem. Biorąc obustronną granicę relacji przy B→A otrzymamy

Przy założeniu małych pochodnych e_ij=ε_ij, a zatem mamy:

Transformacja macierzy Tε na nowy układ, odbywa się po powyższym wzorze.

Tensor odkształceń można rozłożyć na aksjator i dewiator odkształceń

po rozpisaniu

Niezmienniki stanu odkształcenia

W każdym punkcie ciała istnieją trzy wzajemnie prostopadłe kierunki, w których odkształcenia liniowe osiągają wartości ekstremalne, zwane odkształceniami głównymi a ich kierunki - kierunkami głównymi odkształceń. W kierunkach tych odkształcenia znikają. Znaczy to, że element prostopadłościenny doznaje jedynie wydłużenia boków

Odkształcenia obliczamy je jako pierwiastki równania algebraicznego stopnia trzeciego.

którego współczynniki są następującymi niezmiennikami stanu odkształcenia:

Odkształceniami głównymi nazywamy wartości główne tensora odkształcenia ε_ij. Obliczamy je jako pierwiastki równania algebraicznego stopnia trzeciego.

gdzie
są niezmiennikami stanu odkształcenia

Kinematyczne warunki brzegowe.

Równania geometryczne są równaniami różniczkowymi. Obliczenie przemieszczeń przy danych funkcjach odkształceń daje całą rodzinę rozwiązań. Z rodziny tej wybieramy te rozwiązania, które spełniają zadane więzy kinematyczne bryły. Warunki jakie narzucają więzy na przemieszczenia, nazywamy kinematycznymi warunkami brzegowymi. Z uwagi na różnorodność typów więzów, kinematycznych warunków brzegowych nie da się ująć generalnym zapisem, jak to było w przypadku statycznych warunków brzegowych. Sposób zapisywania więzów można pokazać na przykładzie.

Warunki nierozdzielności.

Musimy zwrócić uwagę, że rozwiązywanie równań geometrycznych przy danych funkcjach odkształceń nie zawsze ma rozwiązanie. Wynika to z tego, że równań geometrycznych jest sześć a szukanych funkcji tylko trzy. Dlatego jeżeli mamy sześć równań, a tylko trzy niewiadome, to rozwiązanie możliwe jest tylko wtedy, jeśli trzy spośród równań są kombinacją liniową trzech pozostałych, co prowadzi między innymi do pewnych zależności między wyrazami wolnymi.

W przypadku równań geometrycznych również muszą istnieć zależności między wyrazami wolnymi, czyli nie dla każdej macierzy odkształceń istnieje rozwiązanie dla funkcji przemieszczeń. Z geometrycznej interpretacji macierzy odkształceń wynika, że w każdym punkcie określa ona deformację jednostkowego sześcianu. Gdyby obliczyć i narysować deformację każdego sześcianu tak, aby otrzymać kształt zdeformowanej bryły, zauważymy, że deformacje poszczególnych nie mogą być niezależne, jeśli zachowana ma być ciągłość bryły.

Związki te nazywamy warunkami nierozdzielności. Warunki nierozdz. Otrzymamy drogą następujących operacji różniczkowych: rónania Cauchy'ego.

zróżniczkujemy dwukrotnie stronami względem x_r oraz x_k.

Ponadto odkształcenie ε_kr wyrażone odpowiednio przez przemieszczenia zróżnicz. dwukrotnie względem x_i i x_j, następnie ε_ik względem x_j i x_r oraz ε_rj względem x_i i x_k. Otrzymamy : u_i i u_j - składowe przemieszczeń w punkcie

Jeżeli pomnożymy dwa ostatnie związki stronami przez -1 i dodamy stronami dwoma pierwszymi, to otrzymamy:

związki te dla i,j,k,r=1,2,3 są szukanymi warunkami nierozdzielności. Jak widać warunków tych jest 3⁴=81. Równań niezależnych jest tylko sześć:

Równanie Hooke'a

Równaniem fizycznym przedstawiającym stan odkształcenia, przyjmując że są to liniowe związki naprężeń są równaia:

Współczynniki związków są funkcjami trzech zmiennych
. Współczynniki a_i0 zerują się z powodu, że mamy do czynienia z materiałem sprężystym, odkształcenia pojawiają się przy pojawieniu się naprężenia i znikają całkowicie przy zniknięciu naprężeń.

Z powodu zapisanie powyższej macierzy w postaci własnej zeruje odkształcenia ε_ij dla i≠j.

Materiałem izotropowym nazywamy materiał, który w dowolnym punkcie ma jednakowe własności we wszystkich kierunkach. Związki pomiędzy naprężeniami i odkształceniami w danym punkcie są jednakowe

Można również udowodnić ze współczynniki b_ij=b'_ij=0 dla i≥4 a z tego wynika naprężenia σ_ij=0 dla i≠j. To wskazuje na to, że kierunki naprężeń głównych pokrywają się z głównymi kierunkami tensora odkształceń.

Konsekwencją założenia izotropii jest:

• b₁₁=b₂₂=b₃₃ (wpływ odkształceń liniowych na wartości naprężeń o tym samym kierunku)

• b₁₂=b₁₃=b₂₁=b₂₃=b₃₁=b₃₂=λ ( współczynnik b_ij i≠j określa wpływ j-tego odkształcenia na i-te naprężenie)

redukuje to do dwu liczbę współczynników,

zapisując b-λ=2 G dla powyższego równania odnoszącego się do układu osi głównych, równania zapiszemy

Dla dowolnego układu współrzędnych wzór przyjmie postać:

Powyższy wzór podający zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami w dowolnym układzie współrzędnych, nosi nazwę równaniami Hooke'a. Współczynniki G i λ noszą nazwę współczynników Lamego i powyższy wzór przyjmuje on postać

Materiał nazywamy jednorodnym gdy jego własności w każdym punkcie będą jednakowe. W konsekwencji tego G i λ nie będą zależeć od punktu i będą stałymi (stałe materiałowe).

Równanie Hooke'a można również zapisać w innych postaciach. Wyprowadźmy następne z nich:

zrównajmy wskaźniki i,j w powyższym wzorze

Wyprowadzenie G i ν

Stałe materiałowe E (moduł Younga) i ν (współczynnik Poissona) i wyraźmy za pomocą nich, stałe Lame'go.

powyższe równanie możemy rozpisać

Możemy podać jeszcze jedną zależność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem:

Prawo zmiany postaci i prawo zmiany objętości.

Wzory określające zależności pomiędzy dewiatorami naprężeń i odkształceń oraz aksjatorów naprężeń i odkształceń:

Powyższe wzory są kolejną postacią równań Hooke'a. Pierwsze z nich nosi nazwę prawa zmiany postaci a drugie zaś prawa zmiany objętości.

Jednostkową zmianę objętości obliczamy dodając odkształcenia liniowe.
. Naprężenia określone dewiatorem powodują zmianę postaci, nie powodują natomiast zmiany objętości, relacja między dewiatorami nosi nazwę prawa zmiany postaci.

. Napręzenia określone aksjatorem powoduje zmiane objętości, nie powoduje natomiast zmiany postaci

Równania liniowej teorii sprężystości.

Wypisujemy równania, pozwalają na podstawie zadania liniowej teorii sprężystości oraz stanowic będą formalny , matematyczny zapis służący do rozwiązywania zadań.

Równania Naviera (równania rownowagi):

warunki brzegowe

Równania Cauchy'ego (równania geometryczne):

Wzory Hooke'a (równania fizyczne, w funkcji naprężeń):

v-wsp Poissona

Wzory Hooke'a ( w funkcji odkształceń):

Stałe Lamego

Ogólna metoda rozwiązania każdego układu równań, a w tym i różniczkowych, polega na eliminacji niewiadomych, prowadzącej w rezultacie do mniejszej liczby niewiadomych i równań. O wyborze sposobu eliminacji decyduje otrzymywanie równań. Rozróżniamy 3 metody eliminacji:

-metoda sił

-metoda przemieszczeń

-metoda mieszana

---