MAGNETOSTATYKA

Pole magnetyczne i jego własności

Efekt magnetyczny, znany od starożytności - przyciąganie się kawałków rud żelaza. Pole magnetyczne pierwotnie otrzymywano wyłącznie za pomocą magnesów trwałych.

Cechy charakterystyczne magnesów:

- występowanie zawsze dwu biegunów magnetycznych, oznaczanych N i S ; nawet, gdy magnes jest dzielony na części

- przyciąganie się biegunów różnoimiennych, a odpychanie jednoimiennych

Na podstawie umowy, przyjmuje się, że : dodatni kierunek linii sił pola magnetycznego przebiega od bieguna N do bieguna S , jak pokazano obok na rysunku.

Prawo Ampera może być sformułowane w taki sposób: Siła magnetomotoryczna wektora
po obwodzie zamkniętym jest równa sumie prądów przechodzących przez powierzchnię wyznaczoną przez obwód. Jak łatwo zauważyć jednostką natężenia pola magnetycznego jest 1 A/m.

Prawo Ampera można również zapisać za pomocą innego wektora (będzie on później zdefiniowany!) - a mianowicie indukcji magnetycznej
, dla którego w próżni zachodzi relacja

gdzie:

przenikalności magnetycznej: jest to wielkość określająca zdolność danego materiału (ośrodka) do zmiany indukcji magnetycznej pod wpływem natężenia pola magnetycznego.

Pole solenoidu

Solenoid stanowi przewodnik (drut) ukształtowany w postaci zwojów w przybliżeniu kołowych, przez który przepływa prąd elektryczny. Cechą charakterystyczną solenoidu, nawet luźno nawiniętego - jest istnienie wewnątrz niego, praktycznie, jednorodnego pola magnetycznego.

Kierunek wektora
wyznacza się zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Prawo Biota - Savarta: Prawo to pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika przez który płynie prąd.

Wektor indukcji magnetycznej

eżeli w polu magnetycznym umieścimy przewód o długości l , przez który przepływa prąd I , to stwierdzamy, że na ten przewód działa siła
. Możemy zauważyć, że siła ta zależy od orientacji przewodu względem pola i jest zawsze prostopadła do przewodu i do zewnętrznego pola; jest maksymalna gdy pole i przewód są do siebie prostopadłe i praktycznie znika, gdy pole i przewód są do siebie równoległe.

Dwa przewodniki z prądem - definicja 1 A

* Jeżeli przez przewodnik nieskończenie długi przepływa prąd elektryczny, to wokół niego powstaje pole magnetyczne o symetrii cylindrycznej.

Na podstawie prawa Ampera, dla linii zamkniętej - okręgu o promieniu r, otaczającego przewodnik z prądem I₁ mamy

skąd otrzymujemy, że wartość wektora indukcji magnetycznej w odległości r od środka przewodu wynosi

* Jeżeli w odległości r od jednego przewodu z prądem I₁ znajduje się ustawiony równolegle drugi przewód nieskończenie długi, przez który przepływa prąd I₂ , to na odcinek o długości l tego przewodu działa siła

= Jak widać - jeśli prądy I₁ i I₂ płyną w tym samym kierunku, to przewodniki się przyciągają; jeśli płyną przeciwnie do siebie, to się odpychają.

Ostatnia zależność została wykorzystana w SI do definicji podstawowej jednostki elektrodynamicznej, tj. 1 ampera: Jeżeli przez dwa równoległe, nieskończenie długie i nieskończenie cienkie przewody, znajdujące się w odległości 1 m , płyną jednakowe prądy, a siła oddziaływania na 1 m przewodnika wynosi 2 x 10^-7 N , to natężenie prądów w przewodnikach jest równe 1 amperowi (1 A).

Ruch cząstek naładowanych w polu magnetycznym

Na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym o indukcji
działa siła

Jeżeli
, to na podstawie własności iloczynu wektorowego także zachodzą relacje
. To oznacza, że siła
odgrywa rolę siły dośrodkowej i cząstka naładowana porusza się po okręgu o pewnym promieniu r , który możemy określić z relacji

Dipol magnetyczny

Zgodnie z ogólnym wzorem definicyjnym
indukcji magnetycznej:

- na boki ramki o długości a działają dwie jednakowe siły, przeciwnie

skierowane wzdłuż osi z, które powodują statyczne rozciąganie lub ściskanie ramki,

- na boki ramki o długości b (przy dowolnym jej skręceniu) działa para sił, które są jednakowe co do wartości i przeciwnie skierowane równolegle do osi x, zatem ich wypadkowa jest równa zeru a moment siły jest opisany wzorem

*** nazywamy dipolowym momentem magnetycznym, zaś ramkę z prądem uważamy za dipol magnetyczny.

Analogia między dipolem magnetycznym i elektrycznym jest zresztą większa, ponieważ jak można łatwo pokazać, obowiązują zależności:

- na energię potencjalną dipola magnetyczneg

- na siłę działającą na dipol magnetyczny w niejednorodnym polu

= w przypadku jednowymiarowym

= a w przypadku ogólnym

Typowym przykładem dipola magnetycznego jest solenoid - składający się zwykle z dużej liczby N pojedynczych zwojów przewodnika w kształcie okręgu - jeśli przez solenoid płynie prąd o natężeniu I a jego przekrój poprzeczny wynosi S , to wartość momentu magnetycznego solenoidu jest sumą momentów poszczególnych zwojów i wynosi

Indukcja elektromagnetyczna

Przewodnik poruszający się w polu magnetycznym

Siła elektrodynamiczna (magnetyczna) - siła, z jaką działa pole magnetyczne na przewód elektryczny, w którym płynie prąd elektryczny.

Indukcja (łac. inductio) wprowadzenie w jakiś stan, wzbudzenie jakiegoś zjawiska.

Wyżej otrzymana zależność pozwala stwierdzić, że: SEM indukcji powstająca między końcami przewodnika jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia magnetycznego zakreślonego przez poruszający się przewodnik w polu magnetycznym.

Indukcja elektromagnetyczna w obwodzie nieruchomym

Indukcja elektromagnetyczna - zjawisko powstawania siły elektromotorycznej w przewodniku na skutek zmian strumienia pola magnetycznego. Zmiana ta może być spowodowana zmianami pola magnetycznego lub względnym ruchem przewodnika i źródła pola magnetycznego. Zjawisko to zostało odkryte w 1831 roku przez angielskiego fizyka Michała Faradaya

SEM-IndukowanaSilaElektromagnetycznaWwoltach

Zjawisko samoindukcji - powstanie SEM indukcji w obwodzie pod wpływem zmian prądu w nim płynącego.

Prawo Faradaya indukcji elektromagnetycznej, które słownie można sformułować: w obwodzie znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym indukuje się SEM indukcji równa ujemnej szybkości zmian, objętego przez obwód, strumienia magnetycznego wektora
.

Interpretacja efektów indukcji elektromagnetycznej bezpośrednio na podstawie prawa Faradaya może być dość kłopotliwa, dlatego najczęściej korzysta się do tego celu z prostszej metody zwanej regułą Lenza, która stwierdza: Prąd indukcyjny jest zawsze skierowany tak, aby przeciwdziałać przyczynie , która go wywołuje.

Zjawisko samoindukcji: Przez to zjawisko rozumiemy - powstawanie SEM indukcji w obwodzie pod wpływem zmian prądu w nim płynącego.

Z prawa Biota-Savarta wynika, że rozkład pola magnetycznego wytwarzany przez obwód z prądem zależy wyłącznie od geometrii układu a wartości wektora
są proporcjonalne do natężenia prądu płynącego w obwodzie. Oznacza to, że strumień magnetyczny wytwarzany przez obwód jest także proporcjonalny do I, co możemy zapisać w postaci
, gdzie: L - nosi nazwę indukcyjności obwodu.

W przypadku długiego solenoidu możemy znaleźć jego indukcyjność biorąc pod uwagę, że:

-z prawa Ampera, indukja magnetyczna jest równa

-strumień indukcji związany z pojedynczym zwojem wynosi

-strumień indukcji związany z całym solenoidem

Tak więc, indukcyjność solenoidu wyraża się wzorem

gdzie: V - jest objętością solenoidu.

I prawo Maxwella

* I prawo Maxwella stanowi uogólnienie prawa Ampera

I prawa Maxwella orzeka: każdemu prądowi elektrycznemu (przewodzonemu, konwekcyjnemu, przesunięcia) towarzyszy pole magnetyczne, przy czym siła magnetomotoryczna na obwodzie powierzchni S jest równa całkowitemu natężeniu prądu przepływającemu przez tę powierzchnię pomnożonemu przez przenikalność magnetyczną próżni
.

Równanie to opisuje zjawisko indukcji elektromagnetycznej, której istotą jest indukowanie przez zmienne w czasie pole indukcji magnetycznej zmiennego pola elektrycznego, przy czym wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie przestrzeni prostopadły do wektora indukcji magnetycznej. II prawo Maxwella

* Stanowi uogólnienie prawa Faradaya indukcji elektromagnetycznej zapisanego wzorem

- strumień indukcji magnetycznej,

- szybkość zmiany strumienia indukcji magnetycznej,

II prawo Maxwella można sformułować: dookoła obszarów, w których zachodzi zmiana strumienia wektora indukcji magnetycznej
powstaje wirowe pole elektryczne, przy czym SEM indukcji jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia magnetycznego.

Drugie równanie Maxwella stanowi, że rotacja wektora natężenia pola magnetycznego w punkcie przestrzeni jest równa wektorowi gęstości całkowitego prądu występującego w tym punkcie. Prawa strona równania zawiera dwa składniki:

• wektor gęstości prądu elektrycznego
  , który jest sumą wektora gęstości prądu przewodzenia wynikającego z ruchu ładunków w materiale i wektora gęstości prądu unoszenia polegającego na ruchu naładowanych ciał;

• wprowadzony przez Maxwella prąd przesunięcia związany ze zmianami indukcji elektrycznej w czasie, którego wektor gęstości to
  . Miarą gęstości prądu przesunięcia jest amper na metr kwadratowy
  .

ELEKROSTATYKA

Ładunki i pola

Efekty elektryczne są znane od starożytności. Doświadczenia pokazały, że istnieją dwa rodzaje elektryczności:

- ładunki ujemne, otrzymywane przez pocieranie ebonitu

- ładunki dodatnie, otrzymywane przez pocieranie szkła

przy czym: ładunki jednoimienne odpychają się; Ładunki różnoimienne przyciągają się.

Obecnie przyjmuje się objaśnienie Maxwella, wg którego zachodzi tzw. „oddziaływanie bliskie”:

1⁰ - ładunki wytwarzają wokół siebie pole elektryczne

2⁰ - pole oddziałuje na dany ładunek, czego przejawem jest działanie siły.

Pole elektryczne graficznie przedstawia się za pomocą linii sił, które zostały wprowadzone przez Faradaya.

Natężenie pola elektrycznego

Prawo Coulomba: Mówi ono, że ładunek punktowy Q₁ działa na inny ładunek punktowy Q₂ siłą, opisaną wzorem

Przenikalność elektryczna próżni: jest jedną ze stałych fizycznych, a jej wartość została określona w układzie SI: varepsilon_0 = 8,854187818cdot 10^{-12} F/m

* Jeżeli we wzorze Coulomba potraktujemy ładunek Q₁ jako wytwarzający pole elektryczne, to siła działająca w danym punkcie pola na ładunek Q₂ jest do tego ładunku proporcjonalna; inaczej, jeśli zapisać

widać, że prawa strona równania jest zależna tylko od ładunku Q₁ - wytwarzającego pole, a zatem charakteryzuje pole pochodzące od ładunku Q₁.

Wektor natężenia pola elektrycznego: Wektor ten jest jednym z dwu podstawowych wektorów pola elektrycznego i charakteryzuje je pod względem siłowym. Jednostką wektora
, zwykle używaną, jest V / m.

Zjawisko indukcji elektrycznej

Na ładunki znajdujące się w polu elektrycznym działają siły, jeśli te ładunki są ładunkami swobodnymi (np. elektrony w metalu, jony w elektrolitach i gazach), to mogą się one przemieszczać tak długo, aż zostanie osiągnięty jakiś nowy stan równowagi. Taki efekt przemieszczenia ładunków swobodnych nazywamy zjawiskiem indukcji elektrycznej.

Prawo Gaussa: strumień indukcji elektrycznej przez powierzchnię zamkniętą jest równy ładunkowi całkowitemu, zawartemu wewnątrz tej powierzchni. *** Dla próżni zachodzi
, zatem prawo Gaussa można również zapisać w równoważnej postaci

Prawo Gaussa odgrywa szczególnie ważną rolę w rozwiązywaniu problemów, gdy rozkład ładunków charakteryzuje się symetrią (sferyczną, powierzchniową, liniową).

Potencjał elektryczny

Pole elektryczne statyczne charakteryzuje się tym, że praca W_e nie zależy od drogi, po której jest ona wykonana; zależy wyłącznie od położenia punktów początkowego (A) i końcowego (C) - jest polem potencjalnym i każdemu punktowi pola możemy przypisać istnienie pewnej energii potencjalnej, zgodnie ze wzorem

*** W elektrodynamice operuje się wielkością zwaną potencjałem elektrycznym, który definiuje się wzorem:

Natężenie pola - ujemny gradient potencjału

Punkty o tym samym potencjale tworzą tzw. powierzchnię ekwipotencjalną, Powierzchnia w polu potencjalnym, której wszystkie punkty mają jednakowy potencjał. Powierzchnie potencjalne określa się dla wszystkich pól potencjalnych np. pola elektrostatycznego, pola grawitacyjnego. Powierzchnie ekwipotencjalne są w każdym punkcie pola prostopadłe do wektora siły, czyli do linii natężenia pola.

Energia układu ładunków

Jak należy rozumieć i jak określić energię układu ładunków elektrycznych która jest nazywana także energią pola elektrycznego ? Ogólnie definiuje się ją poprzez pracę, jaką musiały by wykonać siły zewnętrzne, aby dany układ ładunków został utworzony lub zamiennie - jako praca sił elektrycznych, która prowadziła by do rozdzielenia układu na elementarne fragmenty nie oddziałujące na siebie (czyli znajdujące się w nieskończoności od siebie).

Jeśli w pewnej części przestrzeni tworzymy układ np. czterech ładunków Q₁, Q₂, Q₃ i Q₄ odpowiednio w punktach 1, 2, 3 i 4, to:

- sprowadzamy z
do punktu 1 ładunek Q₁ : ze względu na brak innych ładunków (brak na tym etapie pola elektrycznego) praca z tym związana W₁ = 0

- sprowadzamy do punktu 2 ładunek Q₂ : odbywa się to w istniejącym już polu, wytworzonym przez ładunek Q₁ - praca wykonana przez siłę zewnętrzną jest równa W₂

- sprowadzamy do punktu 3 ładunek Q₃; przemieszczenie tego ładunku odbywa się w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunki Q₁ i Q₂ - praca związana z takim przemieszczeniem wynosi W₃

- sprowadzamy ładunek Q₄ do punktu 3 - praca z tym związana W₄ jest wykonana w polu wytworzonym przez trzy ładunki już istniejące w tej części przestrzeni.

Dipol elektryczny i jego pole

Dipol Elektryczny: Układ dwóch jednakowych ładunków różnoimiennych znajdujących się w pewnej odległości od siebie.

Wielkością charakteryzującą dipol jest wielkość wektorowa
nazywana elektrycznym momentem dipolowym i zdefiniowana wzorem

gdzie:
- jest wektorem odległości między ładunkami, którego zwrot jest skierowany od ładunku ujemnego do ładunku dodatniego.

Dipol elektryczny w zewnętrznym polu

adunek (monopol) q V(r) ~ 1 / r

dipol : dwa jednakowe ładunki przeciwnego znaku, rozsunięte względem siebie

V(r) ~ 1 / r²

kwadrupol : rozsunięte względem siebie dwa przeciwne dipole V(r) ~ 1 / r³

oktupol : rozsunięte względem siebie dwa przeciwne kwadrupole V(r) ~ 1 / r⁴

multipole : tworzone wg reguły wyżej podanej - bardziej skomplikowane układy

ładunków.

Polaryzacja dielektryków

Przez dielektryk, inaczej nazywany - izolator, ogólnie rozumiemy substancję, która nie przewodzi prądu elektrycznego. Wielkością charakteryzującą własności elektryczne dielektryka jest jego względna przenikalność elektryczna, zwykle oznaczana symbolem
.

Względną przenikalność elektryczną materiału definiujemy poprzez stosunek pojemności kondensatora z dielektrykiem i tego samego kondensatora próżniowego

Przykładowe wartości
: próżnia 1,0, powietrze 1,00059, guma 2,5, szkło 11, alkohol etylowy 24, woda 81

Wyróżnić można dwa typy dielektryków:

1. dielektryki niepolarne nie posiadają własnego momentu dipolowego (dla
   ich
   ); dla
   powstaje indukowany
   , który jest równoległy do
   i do niego proporcjonalny. Cechą charakterystyczną dielektryków niepolarnych jest brak zmian względnej przenikalności od temperatury, tzn.
   

2. dielektryki polarne posiadają własny moment dipolowy (np. dro biny wody), ich
   ; w zewnętrznym polu elektrycznym
   dla nich także zachodzi efekt indukcyjny oraz następuje częściowe ustawianie momentu własnego zgodnie z kierunkiem pola tak, że całkowity średni moment dipolowy można opisać wzorem
   , gdzie współczynnik
   zależy od temperatury T i opisuje stopień uporządkowania drobin dielektryka polarnego. Względna przenikalność elektryczna takiego dielektryka zależy od temperatury, tzn.
   

Efektem makroskopowym - gdy dielektryk znajduje się w polu elektrycznym - jest pojawienie się przy jego granicznych powierzchniach - „efektywnych”, związanych (nie mogą istnieć niezależnie od siebie oraz przemieszczać się wewnątrz dielektryka) ładunków -Q_p i +Q_p zw. ładunkami polaryzacyjnymi.

Dielektryki: ogólnie dzielimy na niepolarne i polarne, w których indukowane momenty dipolowe zawsze praktycznie natychmiast znikają po usunięciu pola elektrycznego. W dielektrykach polarnych uporządkowanie momentów zwykle także zanika w czasie stosunkowo krótkim.

Elektrety - dielektryki polarne, w których zanik uporządkowania dipoli zachodzić może bardzo wolno (mieszanina wosku z żywicą).

Piroelektryki - po szybkim podgrzaniu kryształu pojawia się moment dipolowy różny od zera (turmalin)

Piezoelektryki - występuje polaryzacja dielektryka pod wpływem działania naprężenia.

Ferroelektryki - kryształy dielektryczne o strukturze domenowej - analog ferromagnetyków.

Praca prądu elektrycznego jest sumą prac sił opisujących oddziaływanie poruszających się ładunków elektrycznych z siecią krystaliczną przewodnika (grzałki, żarówki, itp.) lub z innymi poruszającymi się ładunkami wytwarzającymi pole magnetyczne (silniki prądu stałego).

Praca prądu elektrycznego w obwodzie prądu stałego jest równa iloczynowi napięcia źródła energii elektrycznej, natężenia prądu przepływającego przez odbiornik oraz czasu przepływu prądu. W przypadku zmian natężenia prądu lub napięcia praca jest sumą prac elementarnych podobnie jak w przypadku zmian siły.

Jednostką pracy w tym przypadku jest wolt·amper·sekunda równy dżulowi (J)

W skali makroskopowej, przy przepływie prądu elektrycznego przez rezystor, praca prądu zamieniana jest na ciepło. Przy przepływie prądu przez silnik elektryczny praca prądu zamieniana jest na pracę mechaniczną.

+

-

Q₂

Q₁

---