Pierwsza zasada termodynamiki 

Doświadczalną podstawą pierwszej zasady jest doświadczenie, która dowodzi równoważności ciepła i pracy mechanicznej przez pokazanie możliwości całkowitej zamiany pracy na ciepło. Uznanie ciepła jako innego niż praca sposobu zmiany energii prowadzi w naturalny sposób do włączenie ciepła do zasady zachowania energii. Pierwsza zasada termodynamiki jest dokładnie tym prawem [Zmiana energii wewnętrznej układu równa jest dostarczonemu do układu ciepłu i pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne:

DU = DQ + DW

Konwencja: DU to przyrost energii wewnętrznej układu. DQ oznacza tu ciepło dostarczone do układu z zewnątrz. Jeśli jednak układ oddaje ciepło, wówczas jego energia wewnętrzna maleje; ciepło bierzemy ze znakiem ujemnym. DW to praca wykonana nad układem przez siły zewnętrzne. Gdy zaś układ wykonuje pracę (jak to ma miejsce podczas rozprężania się gazu), jego energia maleje - pracę bierzemy ze znakiem ujemnym. Istnieją konwencje znaków różne od tutaj przyjętej.  I zasada termodynamiki pozwala na zdefiniowanie energii wewnętrznej jako funkcji stanu: dla wszystkich procesów prowadzących od pewnego określonego stanu do drugiego, zmiana DU ma zawsze tą samą wartość, choć ilości dostarczanego ciepła i wykonanej pracy są na ogół różne dla różnych procesów.

Druga zasada termodynamiki 

Z doświadczenia wiemy, że są procesy zgodne z zasadą zachowania energii, które nigdy nie występują w przyrodzie. Na przykład, nigdy nie obserwujemy, by kamień leżący na podłodze spontanicznie się oziębił i wzniósł do sufitu, uzyskując kosztem ciepła energię potencjalną. Nie spodziewamy się też, by w słoneczny letni dzień zamarzł staw, oddawszy energię wewnętrzną otoczeniu. Zadaniem drugiej zasady termodynamiki jest włączyć do termodynamiki takie fakty doświadczalne, jej podstawą jest zdrowy rozsądek

Druga zasada termodynamiki nie jest ścisłym prawem przyrody, ma jedynie charakter statystyczny. Zdarzenia sprzeczne z nią mogą w rzeczywistości zajść, lecz są mało prawdopodobne. Ściślej mówiąc są tym mniej prawdopodobne, im więcej cząstek liczy układ termodynamiczny. II zasada termodynamiki dobrze sprawdza się w skali makro, gorzej w skali mikro. W zaawansowanym wykładzie mechaniki statystycznej dowodzi się nawet, że pewne wydarzenia sprzeczne z drugą zasadą termodynamiki z pewnością będą miały miejsce (twierdzenie Poincare'go o powrocie). Jednak czas, jaki przychodzi czekać na tego typu zajście w makroskopowym układzie, znacznie przekracza wiek wszechświata, możemy się więc „nie doczekać”...

BUDOWA ATOMU BOHRA

Założenia jakie wprowadził Bohr w swojej teorii, są następujące:
1. Pierwsze założenie Bohra - moment pędu albo kręt elektronu mvr musi być całkowitą wielokrotnością wielokrotności .

Według Bohra istnieje tylko pewien ciąg wybranych torów, po których może krążyć elektron. Ich promienie są proporcjonalne do kwadratów kolejnych liczb całkowitych. Przy poruszaniu się po jednym z tych torów elektron nie traci energii, nie wysyła promieniowania. Założenie to jest sprzeczne z elektrodynamiką klasyczną, według której elektron poruszający się ruchem przyśpieszonym (a w tym wypadku ma przyśpieszenie dośrodkowe) powinien wypromieniować fale elektromagnetyczne. Normalnie elektron krąży po pierwszym, najbliższym torze. Jego promień jest jednocześnie promieniem atomu w jego normalnym stanie. Elektron krążący po jednym z dalszych torów pozostaje na nim zwykle przez czas bardzo krótki, po czym przeskakuje na tor bliższy. Podczas tego przeskoku energia atomu zmniejsza się. Według zasady zachowania energii nie może ona zniknąć. Bohr wprowadza drugie założenie:
2. Drugie założenie Bohra:
· Gdy elektron przeskakuje z toru n- tego na tor i- ty, bliższy, wskutek czego energia atomu zmniejsza się z En na Ei , to różnica energii En - Ei jest wysyłana w przestrzeń w postaci promieniowania w pewnej określonej ilości, czyli kwantu promieniowania hv, gdzie h oznacza stałą Plancka, a v- część wysłanego promieniowania.

W ogólności można powiedzieć, że gdy atom przechodzi z wyższego poziomu energetycznego E1 - E2 w postaci promieniowania monochromatycznego o częstości v określonej wzorem:
hv= E1 - E2
Jeden atom w danej chwili może wysłać tylko jeden kwant światła o określonej długości fali. Od ilości atomów wysyłających kwanty danej częstości zależy natężenie danej linii widmowej(tj. ilość energii wysyłanej w sekundzie, przypadającej na dana linię widomą)

Równanie Schrödingera jest podstawowym równaniem nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, sformułowanym przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.

Najbardziej ogólna postać równania Schrödingera:

gdzie i to jednostka urojona,
jest stałą Plancka podzieloną przez 2π (nazywana niekiedy stałą Diraca, zredukowaną stałą Plancka lub "h kreślonym"), H jest operatorem energii całkowitej, tzw. hamiltonianem układu,
jest funkcją położenia i czasu tzw. funkcją falową.

Hamiltonian układu jest sumą dwóch operatorów, jeden jest operatorem energii kinetycznej -
, a drugi energii potencjalnej. Dla pojedynczej nierelatywistycznej cząstki (v<<c) o masie m pozbawionej ładunku elektrycznego i spinu energia kinetyczna ma postać:

gdzie
jest operatorem pędu, zdefiniowanym w następujący sposób:

Energia potencjalna jest rzeczywistą funkcją skalarną, V = V(r). Łącząc wszystko razem uzyskujemy równanie Schrödingera zależne od czasu:

gdzie
to operator Laplace'a (tzw. laplasjan). Jest to najczęściej spotykana postać równania Schrödingera, jednak nie najbardziej ogólna. Powyższe równanie jest cząstkowym równaniem różniczkowym, nazywanym też falowym równaniem Schrödingera. Dokonując rozdzielenia zmiennych uzyskujemy równanie Schrödingera niezależne od czasu. Równanie to stosuje się do tzw. stanów stacjonarnych (tj. takich w których energia nie zmienia się w czasie) i ma ono postać:

gdzie E jest energią układu. Podane równanie jest równaniem własnym energii. Rozwiązaniem równania własnego są funkcje własne
i wartości własne E. Funkcja własna będąca rozwiązaniem równania Schrödingera nosi nazwę funkcji falowej. Funkcja falowa, w najogólniejszej postaci funkcja zespolona, nie ma bezpośredniego sensu fizycznego. Dopiero jej kwadrat interpretujemy jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki. Powyższa interpretacja pochodzi od niemieckiego fizyka Maxa Borna, który podał ją w 1926 roku. Funkcja falowa
reprezentuje stan kwantowy układu fizycznego | ψ > w przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem (L²) gdzie iloczyn skalarny zdefiniowany jest jako

Analityczne rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera jest możliwe tylko w najprostszych przypadkach. Jednak te najprostsze sytuacje pozwalają nam zagłębić się w naturę zjawisk kwantowych, a niejednokrotnie są one przybliżeniem bardziej złożonych zjawisk. Kilka najbardziej typowych modeli pozwalających się rozwiązać analitycznie to:

• cząstka swobodna

• cząstka w pudle potencjału

• cząstka w pierścieniu

• rozpraszanie na barierze potencjalnej - efekt tunelowy

• cząstka w potencjale sferycznie symetrycznym

• kwantowy oscylator harmoniczny

• atom wodoru

• cząstka w jednowymiarowej sieci (potencjał periodyczny)

Jednak dla wielu układów (np: wielu orbitali atomowych) nie istnieje analityczne rozwiązanie, w takich przypadkach należy stosować przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych, wśród których najpopularniejsze to:

• rachunek zaburzeń

• metoda Ritza

• metoda Hartree-Focka

• funkcje Greena równania Schrödingera

• kwantowa metoda Monte-Carlo

W celu opisania rozwiązań niestacjonarnych tj. takich w których gęstość prawodopodobieństwa zmienia się w czasie, wprowadza się pojęcie gęstości prądu prawdopodobieństwa. Gęstość prąd prawdopodobieństwa opisuje płynięcie prawdopodobieństwa w przestrzeni. Dla przykładu rozważymy falowy pakiet opisany za pomocą krzywej Gaussa. Krzywa ta jest rozmieszczona wokół punktu x₀. Wyobraźmy sobie, że punkt ten porusza się z prędkością v wzdłuż osi x w prawo, oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki też przesuwa się w prawo, a tym samy kierunek gęstości prądu prawdopodobieństwa ma zwrot w prawą stronę. W języku matematyki wygląda to tak:

Gęstość prądu prawdopodobieństwa j jest
zdefiniowana następująco:

i jest mierzone w jednostkach (prawdopodobieństwo)/(powierzchnia*czas) = r^-2t^-1. Gęstość prądu prawdopodobieństwa spełnia równanie ciągłości:

gdzie P(x,t)=|ψ|² jest gęstością prawdopodobieństwa mierzoną w jednostkach (prawdopodobieństow)/(objętość) = r^-3. Powyższe równanie jest zasadą zachowanie prawdopodobieństwa. Łatwo wykazać, że dla fali płaskiej opisanej równaniem:

gęstość prądu prawdopodobieństwa wynosi:

.

Równanie Schrödingera jest równaniem nierelatywistycznym. Z połączenia szczególnej teorii względności z mechaniką kwantową wynika równanie Kleina-Gordona (nie uwzględnia ono spinu cząstki) i bardziej ogólne równanie Diraca (w którym spin jest uwzględniony).

Równanie Schrödingera jest podstawą jednego z trzech równoważnych sformułowań mechaniki kwantowej, jedno z nich to mechanika macierzowa (historycznie pierwsza) sformułowana przez Wernera Heisenberga. Trzecim jest sformułowanie mechaniki kwantowej w języku całek po trajektoriach (są to całki funkcjonalne, czyli całki z funkcjonału), której autorem jest Richard Feynman.

Równanie Schrödingera jest także podstawą współczesnej chemii. Wszelkie własności atomów i molekuł można otrzymać obliczając stosowne dla nich równanie Schrödingera, jednak wymaga to znacznych mocy obliczeniowych. Fakt ten jest jedną z kluczowych tez przemawiających za redukcjonizmem, co często wyrażane jest stwierdzeniem, że chemia daje się zredukować do fizyki.

Zjawisko Comptona w 1923 roku A.H. Compton odkrył, że długość fali promieniowania rentgenowskiego rozproszonego przez grafit zmienia się. Za wyjaśnienie tego zjawiska otrzymał w 1927 roku nagrodę Nobla. Zjawisko to nazwano od jego nazwiska.

Zjawisko to polega na rozpraszaniu kwantów światła, czyli fotonów na swobodnych lub słabo związanych elektronach. O elektronach tych zakłada się, że ich ruch przed rozproszeniem jest na tyle powolny, że można przyjąć ich prędkość jako równą zeru (w przypadku gdy elektron ma pęd większy niż foton mówi się o odwrotnym rozpraszaniu Comptona). Pęd i energię fotonów określają relacje de Broglie'a: p = h / λ, E = hν. Energię elektronu przed zderzeniem określa wzór relatywistyczny na energię spoczynkową, E = m₀c², gdzie m₀ jest masą spoczynkową. Energia elektronu po zderzeniu jest dana wzorem
, gdzie m jest masą zależną od prędkości.

Te wzory są podstawą do zapisania zasad zachowania energii i pędu dla procesu zderzenia fotonu z elektronem. W tym zderzeniu foton traci nieco energii, a więc wydłuża się jego długość fali. Jednocześnie foton zmienia swój kierunek ruchu. Kąt jego odchylenia od kierunku pierwotnego oznacza się jako θ. Stąd wynika wzór na zmianę długości fali fotonu:

co wyraża się też:

Δλ = λ₀(1 − cos(θ))

Gdzie λ₀ jest długością fali materii elektronu i nazywana jest długością comptona.

W wiązce światła rozproszonego występują fotony o długości fali λ oraz o długości λ + Δλ .

Ten wynik wskazuje, że kąt ugięcia θ nie zależy od toru elektronu. Stosunkowo łatwo jest więc badać długość fali rozproszonego fotonu w funkcji kąta zmiany jego kierunku. Zgodność danych eksperymentalnych z powyższą teorią jest dowodem na słuszność wzorów de Broglie'a, a więc na słuszność koncepcji dualizmu falowo-korpuskularnego.

Efekt fotoelektryczny, zjawisko fotoelektryczne - zjawisko fizyczne polegające na emisji elektronów z powierzchni przedmiotu (tzw. efekt zewnętrzny) lub na przeniesieniu nośników ładunku elektrycznego pomiędzy pasmami energetycznymi (tzw. efekt wewnętrzny), po naświetleniu jej promieniowaniem elektromagnetycznym (na przykład światłem widzialnym) o odpowiedniej częstotliwości, zależnej od rodzaju przedmiotu. Emitowane w ten sposób elektrony nazywa się czasem fotoelektronami. Energia kinetyczna fotoelektronów nie zależy od natężenia światła a jedynie od jego częstotliwości.

Odkrycie i wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego przyczyniło się do rozwoju korpuskularno-falowej teorii materii, w której obiektom mikroświata przypisywane są jednocześnie własności falowe i materialne (korpuskularne). Wyjaśnienie i matematyczny opis efektu fotoelektrycznego zawdzięczamy Albertowi Einsteinowi, który wykorzystał hipotezę kwantów wysuniętą w 1905 roku przez Maxa Plancka.

PROMIENIOWANIE CIALA DOSKONALE CZARNEGO

Promieniowanie ciała doskonale czarnego ma dla fizyki istotne znaczenie, ponieważ wiąże się z przejściem od fizyki klasycznej do fizyki kwantowej. Odkrycie, iż wiele wartości fizycznych, takich jak energia atomu, nie może przyjmować dowolnych poziomów przyczyniło się właśnie do powstania pojęcia fizyka kwantowa.

Energia atomu okazuje się być skwantowana, co oznacza że przejście od jednego poziomu enegetycznego, do drugiego, może odbywać się wyłącznie skokowo, atom nie może przyjmować dowolnych wartości enegetycznych, lecz ściśle określone przez prawa fizyki. Pojęcie kwantyzacji /ziarnistości/ pojawilo się podczas badań nad promieniowaniem ciała doskonale czarnego.

Dyfrakcja

odchylanie się fal na przykład elektromagnetycznych od prostoliniowego kierunku rozchodzenia się gdy napotykają jakąś przeszkodę lub szczelinę na swej drodze. Szczególnie wyraźnie zjawisko to występuje po przejściu fali prze wąski otwór (szczelinę), którego wymiary są rzędu długości fali lub mniejsze. Podczas dyfrakcji światła na ekranie umieszczonym poza szczeliną obserwuje się jasny pasek, tym szerszy, im szczelina jest węższa, po obu jego stronach widoczne są prążki dyfrakcyjne na przem8ian ciemne i jasne powstałe na skutek interferencji fal wychodzących z różnych punktów szczeliny.
Dyfrakcję elektronów zaobserwowali Davisson i Germer po ogłoszeniu przez de Broglie`a jego hipotezy dotyczącej fal materii.
Dyfrakcję światła wyzyskuje się w analizie spektralnej, stosując tzw. siatki dyfrakcyjne, czyli płaskie zwierciadła lub przezroczyste płytki z szeregiem cienkich, równoległych rys. Siatki te zastępują pryzmaty służące do rozszczepiania światła. W stosunku do bardzo krótkich promieni rolę siatki  dyfrakcyjnej odgrywają kryształy.

Interferencja

From Wikipedia

Skocz do: navigation, szukaj

Interferencja to zjawisko nakładania się fal. Interferencja jest przypadkiem ogólniejszego zjawiska superpozycji fal będącej przykładem superpozycji rozwiązań równań różniczkowych.

W fizyce wyróżnia się dwa rodzaje interferencji. Optyka najczęściej rozpatruje przypadek interferencji fal sinusoidalnych o zbliżonej częstotliwości i amplitudzie fali. Akustyka i analiza sygnałów częściej zajmują się nakładaniem się fal o złożonych kształtach.

Polaryzacja to własność fali poprzecznej (np. światła). Fala spolaryzowana oscyluje tylko w pewnym wybranym kierunku. Fala niespolaryzowana oscyluje we wszystkich kierunkach jednakowo. Fala niespolaryzowana może być traktowana jako złożenie wielu fal drgających w różnych kierunkach.

W naturze większość źródeł promieniowania elektromagnetycznego wytwarza fale niespolaryzowane. Polaryzacja występuje tylko dla fal rozchodzących się w ośrodkach, w których drgania ośrodka mogą odbywać w dowolnych kierunkach prostopadłych do rozchodzenia się fali. Ośrodkami takimi są trójwymiarowa przestrzeń lub struna.

Gdy ośrodek fali nie może drgać w dowolnych kierunkach prostopadłych względem rozchodzenia się fali zjawisko polaryzacji jest niemożliwe. Dotyczy to np: drgań na powierzchni membrany i na granicach faz. Przykładem tego są m.in. fale morskie. Fale dźwiękowe również nie podlegają zjawisku polaryzacji, bo są falami podłużnymi.

Równanie stanu jest związkiem między parametrami układu termodynamicznego, który jest spełniony jeżeli układ jest w równowadze z otoczeniem. Wiąże ono ciśnienie układu z jego gęstościa energii:

P = P(ε)

gdzie:

• P - ciśnienie

• ε - gęstość energii

Gaz doskonały

Przykładowo dla gazu doskonałego równanie stanu ma postać

PV = nRT = k_BTN

gdzie

• P - ciśnienie

• V - objętość

• n - ilość moli

• R - stała gazowa

• T - temperatura w skali Kelvina

• k_B - stała Boltzmanna

• N - liczba cząsteczek gazu.

Stąd:

P = k_BT(N / V) = k_BTρ_N

Gdzie gęstość cząstek jednorodnie zbudowanego gazu doskonałego ρ_N to:

Gęstość masy ρ to:

gdzie m to masa cząsteczkowa.

Gęstość energii ε to

gdzie

mc² - całkowita energia cząsteczki o masie m

Otrzymujemy stąd równanie stanu gazu doskonałego:

Równanie politropy

Bardziej ogólną postać od równania gazu doskonałego daje równanie politropy

gdzie

n - wykładnik politropy.

Inne formy materii

Różne rodzaje materii mają różna równania stanu. Równanie stanu jest istotnym równaniem determinującym budowę i ewolucje gwiazdy. W kosmologii równanie stanu determinuje ewolucję Wszechświata. Istotną rolę odgrywa energia dla której ciśnienie jest ujemne. Za Arystotelesem nazywamy ją kwintesencją (piąty element). Opisuje ją równanie stanu

P = wρ_kwic²   gdzie   w < − 1 / 3

Materia ultrarelatywistyczna (gdy masa m → 0), np. gaz fotonowy, opisane jest podobnym równaniem stanu z ω =1/3.

Rozkład Maxwella-Boltzmanna podaje jaki ułamek ogólnej liczby cząsteczek gazu doskonałego porusza sie w danej temperaturze z określoną szybkością - zależnośc ta ma charakter gęstości prawdopodobieństwa. Założeniem jest równowaga termiczna gazu.Obliczenia wykonane przy pomocy rozkładu Maxwella-Boltzmanna są szczególnie ważne w kinetyce chemicznej i katalizie.

gdzie:

• v - szybkość cząsteczki gazu

• m - masa cząsteczki gazu (m = M/N_A, gdzie M - masa molowa gazu, N_A - stała Avogadra)

• k - stała Boltzmanna, k = R/N_A (R - (uniwersalna) stała gazowa, N_A - stała Avogadra)

• T - temperatura

oraz warunek normalizacji funkcji rozkładu (prawdopodobieństwo ):

Ciśnienie

Ciśnienie nazywamy wielkość fizyczną równą stosunkowi wartości siły do powierzchni na która ona działa, do wielkości tej powierzchni. Ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia jest wprost proporcjonalne do liczby cząsteczek gazu w jednostce objętości do ich średniej energii kinetycznej

pV=2/3Ek

p-ciśnienie; N-liczba cząstek; V-objętość ; E_k-średnia energia kinetyczna  

Rozkład Fermiego-Diraca opisuje sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym, np. w atomie. Rozkład Fremiego-Diraca jest wersją rozkładu Boltzmanna dla fermionów - w tym wypadku elektronów - dla których obowiązuje zakaz Pauliego.

Zgodnie z teorią kwantową, w każdym stanie energetycznym, charakteryzującym się określoną energią, pędem oraz spinem, może się znajdować co najwyżej jeden elektron. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie o energii E jest tym mniejsze, im większa jest ta energia. Przy zmniejszaniu E prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym stanie wzrasta, nie może jednak przekroczyć jedności (co oznacza, że na każdym z dostatecznie niskich poziomów energetycznych znajduje się 1 elektron). Zależność tę wyraża dokładnie funkcja rozkładu Fermiego-Diraca :

gdzie:

• P - obsadzenie -prawdopodobieństwo znalezienia elektronu (przeciętna liczba elektronów) w stanie energetycznym o energii E

• E - energia poziomu

• E_F - energia Fermiego (nie poziom Fermiego), czyli energia odpowiadajaca poziomowi energii dla którego w każdej temperaturze P=0,5

• k - stała Boltzmanna, k = R/N_A (R - stała gazowa, N_A - stała Avogadra)

• T - temperatura bezwzględna

Dla takich energii, że (E - E_F) >> kT otrzymujemy zalezność analogiczną do klasycznego rozkładu Boltzmanna:

Model atomu wodoru według Nielsa Bohra

Podstawowe równania ruchu elektronu w atomie wodoru
- siła elektrostatyczna jest źródłem siły dośrodkowej oraz
- postulat Bohra dotyczący skwantowania momentu pędu elektronu w atomie wodoru.




stąd po prostych przekształceniach




i dalej otrzymamy




czyli można wyliczyć prędkość.

Jak się okazuje prędkość elektronu w atomie wodoru jest skwantowana. Wartość prędkości musi przyjmować wartości dyskretne, skwantowane.

Powrót na górę strony





i dalej po wstawieniu do drugiego równania można wyliczyć promień.

Jak się okazuje również promień orbit elektronu w atomie wodoru jest skwantowany. Wartości promienia orbity muszą przyjmować wartości dyskretne, skwantowane.




lub w innej postaci (wyrażamy przez prędkość na pierwszej orbicie i promień pierwszej orbity).




Obliczenia wartości prędkości i promienia
dane liczbowe



Powrót na górę strony


po podstawieniu danych do wyrażenia na prędkość na pierwszej orbicie otrzymamy




i przeprowadzeniu rachunku jednostek




długość pierwszego (najmniejszego promienia atomu wodoru) otrzymamy następująco




a rachunek jednostek dla tego wyrażenia

Do końca XIX wieku nie było jasne, dlaczego w pomieszczeniach zamkniętych, promieniowanie podczerwone nie przekształca się w promieniowanie rentgenowskie. Posługując się fizyką klasyczną wyglądało na to, że promieniowanie podczerwone w naszych domach powinno się w zakres widzialny, następnie w ultrafiolet, promieniowanie rentgenowskie i gamma. Jednak, na szczęście, obserwacje i doświadczalne badanie widma ciała doskonale czarnego wskazywały coś całkiem innego. Paradoks ten nazwano katastrofą w ultrafiolecie. Problem ten rozwiązał w 1900 roku Max Planck, kiedy to przedstawił poprawne wyprowadzenie wzoru, opisującego widmo ciała doskonale czarnego. Był to początek ery fizyki kwantowej.

---