Tomasz Pajączkowski

15.05.2001

Ćwiczenie nr 2a.

Temat: Pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą różnicowego wahadła matematycznego.

Tabela wartości:

	czas [s]
	t1	t2
1	42,9	50,8
2	42,9	50,9
3	42,8	50,8
4	42,8	50,8
5	42,9	50,8
6	42,9	50,9
7	42,8	50,8
8	43,0	50,9
9	42,9	50,8
10	43,0	50,8
Σ	42,79	50,83

Teoria zjawiska:

Przez ciężar ciała rozumiemy siłę z jaką Ziemia przyciąga dane ciało. Siła ta nadaje swobodnie spadającemu ciału przyspieszenie g zwane przyspieszeniem ziemskim. Wartość tej siły można przedstawić wzorem: F = mg.

Wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest stała, ale zależy od położenia punktu na powierzchni Ziemi. Przyczynami tego zjawiska są: a) spłaszczenie kuli ziemskiej, b) ruch obrotowy Ziemi, c) niejednorodność budowy Ziemi.

Jak wiadomo Ziemia ma kształt zbliżony do elipsoidy obrotowej, spłaszczonej od strony biegunów geograficznych, w skutek tego wartość g zależy od szerokości geograficznej i jest największa na biegunie, a najmniejsza na równiku.

Ruch obrotowy Ziemi powoduje powstanie siły odśrodkowej, która zmniejsza ciężar każdego ciała znajdującego się na Ziemi. Siła odśrodkowa jest prostopadła do osi ziemskiej, a więc jej kierunek względem poziomu zależy od szerokości geograficznej. Zmniejszenie ciężaru ciała jest największe na równiku i w miarę zbliżania się do bieguna maleje do zera.

Wartość g zmienia się w skutek działania tych dwóch czynników od wartości ok. 9,78m/s² na równiku do ok. 9,83m/s² na biegunie.

Niejednorodność budowy Ziemi, jak i również ukształtowanie powierzchni Ziemi powodują niewielkie lokalne wahania wartości g.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, wykonujący drgania w płaszczyźnie pionowej. Siłę ciężkości działającą na ten punkt materialny rozkładamy na dwie składowe - równoległą i prostopadłą do nici ( tak jak zostało to pokazane na poniższym rysunku ). Składowa równoległą jest zrównoważona przez siłę naciągu nici, natomiast składowa prostopadła jest bezpośrednią przyczyną drgań tego wahadła.

Ruchem harmonicznym nazywamy taki ruch drgający, w którym siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i zwrócona ku środkowi drgań.

F = -4π²mx/T² gdzie x - wychylenie

Wyprowadzenie wzoru roboczego:

Z powyższego wzoru widać jasno, że siła powodująca ruch wahadła jest siłą wprost proporcjonalną do wychylenia, z czego wynika, że ruch wahadła dla małych wychyleń można uznać za harmoniczny.

Ponieważ g i l są wielkościami stałymi, równanie to wyraża zasadniczą cechę dynamiczną ruchu harmonicznego: przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia.

F = 4π²mx/T² = mg x/Δl

Po przyrównaniu powyższych wartości otrzymujemy: g = 4π²( l2 -l1 )/ΔT² gdzie ΔT = T2 - T1.

Opis metody z opisem przeprowadzonego eksperymentu:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą różnicowego wahadła matematycznego. Cały pomiar przy wykorzystaniu tej metody sprowadza się do wyznaczenia różnicy długości nici Δl na której zawieszona jest kulka i wyznaczenia różnicy czasu okresu wahadła ΔT dla różnych długości nici.

W tym celu należy podciągnąć wahadło do wysokości l₁ w pobliżu górnego krańca podziałki. Następnie odchylić wahadło o ok. 2 cm i puścić swobodnie. Po wykonaniu pierwszych wahnięć włączyć sekundomierz i zmierzyć czas odpowiadający 19 okresom, co też uczyniłem. Pomiar powtórzyłem dziesięciokrotnie.

Następnie wahadło należy opuścić na wysokość l₂ i powtórzyć czynności opisane powyżej.

Uzyskane wyniki zebrałem w powyższej tabeli a następnie na ich podstawie dokonałem końcowych obliczeń i wyciągnąłem ostateczne wnioski.

Obliczenia do wykonanego ćwiczenia:

T₁ = t₂/19 = 2,25s

T₂ = t₁/19 = 2,68s

l₁ = 50 cm = 0,5 m

l₂ = 100 cm = 1 m

Po podstawieniu do powyższego wzoru powyższych wartości otrzymałem: g = 9,40m/s²

Szacowanie niepewności pomiaru:

Δx(t) = 0,1s

U_B(t) = Δx(t)/3^1/2 = 0,058s

U_A(t₁) = U_A(t) = [ Σε²/n(n-1) ]^1/2 = 0,00044 s

U_A(t₂) = U_A(t) = [ Σε²/n(n-1) ]^1/2 = 0,000061 s

U_C(T₁) = 0,000023s

U_C(T₂) = 0,00000032s

U_C(T) = 0,000016s

Δx(l) = 0,1·10^-2m

U_C(l) = Δx(l)/3^1/2 = 0,1·10^-2/3^1/2 = 0,00058m

Wyznaczanie pochodnych cząstkowych:

ðg/ðΔT = 8π²Δl/ΔT³ = 496,54m/s³

ðg/ðΔl = 4π²/ΔT² = 213,51 1/s²

U_C(g) = [ (ðg/ðΔT)² U_C²(ΔT) + (ðg/ðΔl)² U_C²(Δl) ]^1/2 = 0,015m/s²

dla α = 0,95

U = 2· 0,015m/s² = 0,03m/s²

Ostatecznie g = ( 9,40 ± 0,03 ) m/s²

Wnioski:

Wyznaczona wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi g = ( 9,40 ± 0,04 ) m/s². Wartość ta, choć zbliżona do wartości rzeczywistej nieznacznie różni się od niej. Różnica ta spowodowana mogła być zbyt małą wartością Δl, która wynosiła 0,5m, jak również faktu pojawienia się pomyłki która to skutkowała tym, że czas liczony był dla 19 a nie 20 okresów co przyczyniło się pośrednio do dokładności przybliżenia średnich wartości czasu.

F = mg

F₁ = F sinα

sinα = łuk AA'/Δl

dla małych kątów można przyjąć łuk AA' = x

gdzie x - prosta łącząca punkty A i A'

wówczas:

F₁ = mg x/Δl gdzie Δl = l₂ - l₁

---