KRYTERIUM NYQUISTA

Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala badać stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie.

Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym przedstawionym na rysunku.

Rys. Schemat blokowy układu

Transmitancja układu otwartego wynosi

przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej
otrzymamy

przy. czym

jest równaniem charakterystycznym układu otwartego; zakładamy, że stopień tego równania równa się n.

Transmitancja układu zamkniętego wynosi

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

jest również stopnia n, ponieważ stopień
nie jest nigdy większy od stopnia N₀(s).

Zbadamy zmianę argumentu funkcji

.

Przypadek 1. Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s. Zgodnie z kryterium Michajłowa

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli

Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać:

Oznacza to, że wykres krzywej
nie może obejmować początku układu współrzędnych (musi się zaczynać i kończyć na jednej prostej wychodzącej z początku układu). Ten sam warunek odniesiony do charakterystyki częstotliwościowej (amplitudowo-fazowej) układu otwartego
będzie sformułowany jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa
dla pulsacji
od 0 do
nie obejmuje punktu
, to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny.

Przykładowe wykresy krzywych
oraz
układów stabilnego i niestabilnego (po zamknięciu) zestawiono na rysunku.

Rys. Charakterystyki układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

W przypadku złożonego kształtu krzywych
wygodnie jest posługiwać się wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw. „regułą lewej strony", która mówi, że układ zamknięty jest stabilny wtedy, kiedy punkt
znajduje się w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki
, idąc w stronę rosnących
. Zastosowanie tej reguły można sprawdzić na przykładzie charakterystyk podanych na rysunku.

Rys. Charakterystyki
układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

Przypadek układów astatycznych, których charakterystyki pokazano na rysunku ostatnim, wymaga bliższego wyjaśnienia. Jeżeli układ otwarty zawiera np. jeden element całkujący, to charakterystyka
dla
zaczyna się w punkcie o współrzędnej urojonej
i mogą powstać wątpliwości, czy charakterystyka ta obejmuje punkt
, czy nie. Transmitancja operatorowa układu otwartego ma wówczas postać

.

Transmitancja widmowa
jest odwzorowaniem osi liczb urojonych płaszczyzny zmiennej zespolonej s za pomocą funkcji
. W danym przypadku charakterystyka
ma dla pulsacji
punkt nieciągłości; amplituda przyjmuje wartość nieskończenie wielką, a faza zmienia się skokowo o 180°.

Jeżeli zaliczymy biegun zerowy transmitancji G(s) do lewej półpłaszczyzny, to możemy obejść go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu r, zgodnie z rysunkiem a). Dla wartości s bliskich zera mamy wtedy

,

przy czym
, a transmitancja
przyjmuje postać

.

Ponieważ iloraz wielomianów
dla
ma stałą wartość k, zatem

przy czym
. Jeżeli teraz wektor
zmienia swój argument od 0 do
(interesują nas dodatnie wartości
), to G₀(s) zmienia argument od 0 do -
po okręgu o promieniu R (rys. b).

Uzupełnienie charakterystyki
ćwierćokręgiem o nieskończenie wielkim promieniu pozwala właściwie sprowadzić przypadek układu astatycznego pierwszego rzędu do układu statycznego, którego charakterystyka zaczyna się na dodatnim odcinku osi
. W analogiczny sposób można wykazać, że w przypadku układu astatycznego drugiego rzędu charakterystykę
zaczynającą się w punkcie o współrzędnej rzeczywistej
należy uzupełnić półokręgiem o promieniu
, zmieniającym argument od 0 przez
do
.

Odwzorowanie osi
z wyłączeniem bieguna zerowego dla układu astatycznego o transmitancji

Przypadek 2. Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma
pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie. Zgodnie ze

lub, ponieważ
jest krzywą symetryczną, względem osi liczb . rzeczywistych,

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli

Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać

Warunek ten, odniesiony do charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego
, będzie sformułowany, jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla pulsacji
od 0 do
okrąża m/2 razy punkt
w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Zastosowanie kryterium Nyąuista w podanym ostatnio sformułowaniu wymaga więc znajomości liczby pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo ogranicza jego znaczenie.

Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce są zwykle w stanie otwartym stabilne
.

	110
		Wykład Podstawy Automatyki prof. dr hab. inż. Stanisław Płaska

---