Oznaczenia. EGZAMIN MOC prof. dr hab. inż. Janusz Łuksza

aij - macierz przekształceń współrzędnych,

Fi - składowe wektora siły masowej (objętościowej),

gi - składowe wektora przyspieszenia ziemskiego,

I1, I2, I3 - niezmienniki tensora naprężenia,

ni - składowe wektora normalnego,

N - składowa normalna wektora naprężenia,

S - składowa styczna wektora naprężenia,

Vi - składowe wektora V,

V - objętość,

xi - składowe sił masowych,

δij - macierz zastępowania (delta Kroneckera),

ρ - gęstość,

σi - składowe główne tensora naprężenia,

σo - naprężenie średnie,

σijg - tensor naprężeń głównych,

σ(1), σ(2), σ(3) - uporządkowane naprężenia główne,

νi - składowe wektora prędkości,

- dewiator stanu naprężenia,

- niezmienniki dewiatora naprężenia,

Sokt - styczne naprężenie oktaedryczne,

Nokt - normalne naprężenie oktaedryczne,

S(1), S(2), S(3) - maksymalne naprężenia styczne,

ε - odkształcenie,

εp - odkształcenie poprzeczne,

σp - naprężenie uplastyczniające,

ai - wektor położenia początkowego,

xi - wektor położenia chwilowego,

ui - wektor położenia końcowego,

εij, Lij, Eij - tensory odkształceń skończonych,

lij, eij - tensory odszkształceń nieskończenie małych,

M1, M2, M3 - niezmienniki stanu odkształcenia,

l(1), l(2), l(3) - odkształcenia główne,

lijg - tensor odkształceń głównych,

lo - odkształcenie średnie,

D - dylatacja,

E - moduł Younga,

ν - współczynnik Poissona,

Cijkl - tensor modułów materiału,

K - moduł ściśliwości,

G - moduł ścianania,

U - energia odkształcenia,

Uf - energia odkształcenia postaciowego,

Uv - energia odkształcenia objętościowego,

σH - intensywność naprężenia,

lH, eH, εH - intensywność odkształcenia,

dlij - tensor przyrostów odkształcenia,

- tensor prędkości odkształcenia,

Rm - wytrzymałość na rozciąganie,

Re, R0,2 - granica plastyczności,

Ar - wydłużenie równomierne,

Ac - wydłużenie cakowite,

Z - przewężenie,

U - udarność,

1. Równanie Cauchy'ego:

Wzór (równanie Cauchy'ego) - pozwala na obliczenie składowych wektora naprężenia działającego na płaszczyźnie dowolnie nachylonej, gdyż znamy:

- tensor naprężenia w danym punkcie ciała (σ_ij)

- orientację płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt (n_i)

Równanie Cauchy'ego:

Gdy znamy składowe wektora σ_i to możemy obliczyć:

- jego długość,

- jego orientację.

2. Kierunki i naprężenia główne.

Z twierdzenia pitagorasa:

Składowa normalna jest iloczynem skalarnym σ_i i n_i:

Jak musi być zorientowana płaszczyzna, aby wektor naprężenia σ_i był do niej prostopadły?

n_i - oś (kierunek) główny,
σ - naprężenie główne (moduł naprężenia głównego),
σ_i - wektor naprężenia, działający w przekroju normalnym do n_i o składowych:

po rozwiązaniu równania ze względu na n znajdujemy trzy pierwiastki n₁, n₂, n₃, które są kierunkami głównymi:

Układ równań liniowych posiada niezerowe rozwiązania tylko wówczas, gdy wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych jest równy zero:

gdzie: I₁, I₂, I₃ - niezmienniki tensora naprężenia.

Niezmienniki stanu naprężenia.

Niezmienniki stanu naprężenia są to wyrażenia algebraiczne utworzone ze składowych tensora naprężenia, które nie zmieniają swoich wartości przy transformacjach układu odniesienia.

Dla dowolnego tensora naprężenia:

niezmienniki przyjmują następującą postać:

Jeżeli składowe tensora σ_ij są liczbami rzeczywistymi, to rozwiązanie równania
zawsze istnieje w zakresie liczb rzeczywistych.

Rozwiązaniem powyższego równania sa poszukiwane naprężenia główne:

Zgodnie z umową, otrzymane naprężenia główne szeregujemy w sposób malejący:

Tensor naprężeń głównych w sposób jednoznaczny opisuje stan naprężenia w punkcie.
Naprężenia główne są ortogonalne (wzajemnie prostopadłe).

3. Rozkład na stany podstawowe.

Rozróżniamy dwa stany podstawowe naprężeń:

hydrostatyczny
σ(1)=σ(2)=σ(3),

czyste ściananie (stan dewiacyjny)
σ(1)+σ(2)+σ(3)=0.

Stan hydrostatyczny powoduje zmianę objętości i nigdy nie prowadzi do trwałej zmiany postaci.

Czyste ścianie to taki stan, w którym suma naprężeń leżących na przekątnej głównej tensora jest równa zero. Następuje trwała zmiana postaci.

Każdy dowolny stan naprężenia rozłożyć można na stan hydrostatyczny i czyste ścinanie.

Dla dowolnego tensora naprężeń:

gdzie pierwszy stan podstawowy to AKSJATOR, a drugi DEWIATOR.

Użyte w powyższym wzorze σ_o to naprężenie średnie.

Dla tensora naprężeń głównych:

Umownie powyższe tensory, zgodnie z umową sumacyjną, zapisujemy w postaci:

gdzie
to dewiator, a iloczyn σ_o i δ_ij to aksjator.

4. Naprężenia oktaedryczne.

Na samym początku szukamy ogólnego wzoru(wyrażenia) na naprężenia styczne na płaszczyźnie dowolnie nachylonej. Musimy znać orientację płaszczyzny i tensor naprężenia.

Nasze rozważania rozpatrujemy dla tensora naprężeń głównych:

Naprężenie styczne na płaszczyźnie oktaedru.
Oktaedr jest to ośmiościan foremny, składa się z ośmiu płaszczyzn (111).
Płaszczyzny (111) są to płaszczyzny łatwego poślizgu w sieci regularnej płasko centrowanej (A1), jako płaszczyzny najgęściej "upakowane" atomami.

wiedząc że:

Wstawiamy n₁, n₂, n₃ do równania na S². Dostajemy wyrażenie na S_okt:

Dla ogólnego tensora:

Naprężenie normalne na płaszczyźnie oktaedru:

Dla ogólnego tensora:

5. Maksymalne naprężenia styczne.

Szukamy takich płaszczyzn, na których naprężenia styczne osiągają wartości maksymalne.
Bierzemy pod uwagę wyrażenie:

i szukamy kiedy to wyrażenie osiągnie wartość maksymalną.

Znamy σ(1), σ(2), σ(3), niewiadome to n₁, n₂, n₃.
W tym wyrażeniu niewiadome są związane warunkiem pobocznym:

Tworzymy funkcję:

gdzie λ - mnożnik Lagrange'a.

Warunek konieczny istnienia fukcji:

Otrzymujemy rozwiązanie:

co pozawala na wyznaczenie maksymalnych naprężeń stycznych:

gdzie:    

Płaszczyzny działania maksymalnych naprężeń stycznych:

     
     

Płaszczyzny (110) to płaszczyzny łatwego poślizgu w sieci regularnej przestrzennie centrowanej (A2).

Sześć płaszczyzn (110) x dwa kierunki [111] = dwanaście systemów poślizgu.

6. Tensor odkształceń skończonych.

Składowe tensorów Lagrange'a i Eulera:




Stąd:







Podobnie:

Tensory odkształceń skończonych we współrzędnych Lagrange'a i Eulera są tensorami symetrycznymi drugiego rzędu.

Z powyższego wynika, że warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby przemieszczenie ciała było ruchem sztywnym (przesunięcie i obrót bez zmian ogległości pomiędzy cząsteczkami) jest, aby składowe tensora L_ij lub E_ij były równe zero w całym obszarze ciała.

7. Tensor odkształceń nieskończenie małych.

Tensor odkształcenia Lagrange'a dla odkształceń nieskończenie małych.

Jeżeli składowe przemieszczenia (u_i) są takie, że ich pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych można pominąć, to równanie:

gdzie:
- nieskończenie mała wyższego rzędu, równa zero,

przyjmuje postać:

Tensor odkształceń w zapisie Lagrange'a dla odkształceń nieskończenie małych (liniowych):

l_ij jest tensorem odkształceń liniowych, jest to tensor symetryczny drugiego rzędu.

Tensor odkształcenia Eulera dla odkształceń nieskończenie małych.

Analogicznie jak dla tensora Lagrange'a jest:

Składowe tensora w zapisie Eulera:

Dla odkształceń nieskończenie małych znika różnica między tensorem w zapisie Lagrange'a i Eulera. Dla nieskończenie małych odkształceń jest bez znaczenia, czy pochodne przemieszczeń są obliczane dla położenia punktów przed czy po odkształceniu.
l_ij = e_ij

Składowe
opisują odkształcenia liniowe.
Składowe
opisują odkształcenia postaciowe.

8. Geometryczna interpretacja składowych odkształcenia l_ij, e_ij.

Rozpatrujemy elementarny prostopadłościan o bokach da₁, da₂, da₃, który po odkształceniu pozostaje prostopadłościanem o bokach dx₁, dx₂, dx₃.
Uwaga: boki obu prostopadłościanów są równoległe do osi układu odniesienia.

Bierzemy pod uwagę zmianę długości krawędzi równoległej do osi x₂: da₂ → dx₂.

Dla sytuacji pokazanej na rysunku:

, bo da₂ jest równoległe do x₂,

, bo da₂ jest równoległe do x.

Ponieważ:

to:


da₁ = 0; da₃ = 0

Dla nieskończenie małych dx₂, da₂ możemy przyjąć uproszczenie:

W efekcie otrzymamy:

Rozpatrując analogicznie zmiany długości pozostałych dwóch krawędzi otrzymamy:

Składowe tensora l_ij leżące na przekatnej głównej (l₁₁, l₂₂, l₃₃) opisują względne zmiany długości odcinków równoległych do osi układu odniesienia - są to odkształcenia liniowe.

Prowadząc identyczne rozumowanie dla tensora e_ij oraz przyjmując:

otrzymamy:

Składowe tensora e_ij leżące na przekatnej głównej (e₁₁, e₂₂, e₃₃) opisują względne zmiany długości odcinków równoległych do osi układu odniesienia - są to odkształcenia liniowe.

Rozpatrujemy zmianę postaci elementarnego prostopadłościanu.

Bierzemy pod uwagę ścianę leżącą w płaszczyźnie x₂, x₃

Superpozycja:

W efekcie otrzymaliśmy:
e_ij dla i ≠ j
l_ij dla i ≠ j

Tensory te opisują zmiany kątów prostych utworzonych przez krawędzie prostopadłościanu równoległe do osi układu odniesienia.

Opisać stan naprężenia w punkcie to znaczy otoczyć ten punkt nieskończenie małym prostopadłościanem i określić zmiany długości boków oraz kąty między nimi.

9. Odkształcenia główne.

Odkształcenia główne są to takie odkształcenia, którym nie towarzyszą odkształcenia postaciowe.

Prostopadłościan zbudowany na kierunkach głównych pozostaje prostopadłościanem.

Składowe odkształcenia głównego obliczamy analogicznie do składowych naprężenia głównego, poprzez rozwiązanie równania trzeciego stopnia:

gdzie M₁, M₂, M₃ - niezmienniki stanu odkształcenia.

Niezmienniki stanu odkształcenia.

Niezmienniki stanu odkształcenia są to wyrażenia algebraiczne, utworzone ze składowych tensora naprężenia, które nie zmieniają swoich wartości przy transformacjach układu odniesienia.

Dla tensora odkształceń l_ij:

Jeżeli składowe tensora l_ij są liczbami rzeczywistymi to rozwiązanie powyższego równania trzeciego stopnia istnieje zawsze w sferze liczb rzeczywistych i są to poszukiwane odkształcenia główne.

Według większości teoretyków osie główne odkształceń pokrywają się z osiami głównymi naprężeń, a kierunki odkształceń głównych pokrywają się z kierunkami naprężeń głównych.

10. Rozkład stanu odkształcenia na stany podstawowe.

Każdy stan odkształcenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

- objętościowy stan odkształcenia,

- postaciowy stan odkształcenia.

Zmiana objętości opisywana jest przez dylatację (względną zmianę objętości ciała).

gdzie:
,

dla kierunków głównych l₁₁ = l(1).

Opuszczamy iloczyny odkształceń składowych, traktując je jako wielkości nieskończnie małe.

Po przekształceniu w zapisie Lagrange'a oraz Eulera:

Przy odkształceniu objętościowym wszystkie odkształcenia liniowe muszą być sobie równe!

Odkształcenie objętościowe jest wywołane przez hydrostatyczny stan naprężenia, który nigdy nie doprowdzi do trwałych odkształceń. Dylatacja nie powoduje odkształcenia postaciowego.

Odkształcenie postaciowe polega na zmianie postaci ciała, a równocześnie dylatacja równa się zero.

Wprowadzimy pojęcie odkształcenia średniego l_o:

Każdy tensor l_ij możemy rozłożyć na dwa stany postawowe:

gdzie pierwszy stan podstawowy to AKSJATOR, a drugi DEWIATOR.

Niezmienniki dewiatora odkształcenia.

Drugi niezmiennik dewiatora odkształcenia służy do zdefiniowania całkowitego zastępczego odkształcenia:

11. Związki pomiędzy naprężeniami i odkształceniami.

Dla ciała anizotropowego (anizotropia - różne własności w różnych kierunkach).

gdzie C_ijkl to tensor stałych sprężystości.

Ze względu na symetryczność tensorów odkształcenia i naprężenia,

Występuje 6 niezależnych kombinacji dla (i,j) oraz 6 dla (k,l). Liczba niezależnych stałych w tensorze C_ijkl redukuje się do 36.

Można również wykazać, że C_ijkl = C_klij co redukuje ilości niezależnych stałych do 21.

Liczba niezależnych stałych sprężystości materiału w najogólniejszym prawie Hooke'a dla ciała anizotropowego wynosi 21.

Dla ciała izotropowego (izotropia - identyczne własności w różnych kierunkach).

Gdy materiach jest sprężyście izotropowy liczba niezależnych stałych redukuje się do 2.

Składowe aksjatora naprężenia są proporcjonalne do składowych aksjatora odkształcenia, a składowe dewiatora naprężenia są proporcjonalne do składowych dewiatora odkształcenia:

Związki między naprężeniem, a odkształceniem:

(prawo zmiany objętości ciała)	gdzie K to moduł ściśliwości
(prawo zmiany postaci)	gdzie G to moduł ścinania

E - moduł Younga (moduł sprężysości wzdłużnej)
ν - liczba Poissona, gdzie:

Z rozkładu tensora naprężenia na dwa stany podstawowe otrzymamy następującą zależność:

Z rozkładu tensora odkształcenia na dwa stany podstawowe otrzymamy:

Uwzględniając ostatni wzór oraz zależności:

i podstawiając do wzoru:

po przekształceniach otrzymamy zależność:

(pierwsze równanie Lamego)

λ - stała Lamego.
Z równania Lamego możemy określić, w jaki sposób l_ij jest funkcją σ_ij.
Po przekształceniu równania Lamego ze względu na l_ij otrzymamy:

Jest to prawo Hooke'a dla materiałów sprężystych izotropowych.

Dla tensorów głównych:

12. Energia odkształcenia.

Energia odkształcenia sprężystego - jest to praca jednostkowa, zmagazynowana w materiale sprężystym. Ta energia powoduje powrót do początkowych wymiarów, gdy zdejmuje się siłę obciążającą.

Pole pod krzywą oznacza jednostkową pracę odkształcenia sprężystego.

Dla złożonego stanu naprężeń i odkształceń należy obliczyć sumę prac we wszyskich kierunkach odkształcenia.

Praca jednostkowa odkształcenia:

Wykorzystujemy zależności:

podstawiamy do powyższego wzoru:

Po przekształceniach:

Energię odkształcenia sprężystego możemy rozłożyć na energię odkształcenia objętości i energię odkształcenia postaci:

gdzie U_f - energia odkształcenia postaci, U_v - energia odkształcenia objętości.

Wykorzystamy uogólnione prawo Hooke'a dla materiałów izotropowych sprężyście:

U_f jest miarą wytęrzenia materiału (stopień zbliżenia materiału do stanu krytycznego, moment przejścia w stan plastyczny lub pęknięcie).
Według Hubera jest to kryterium przejścia materiału w stan plastyczny

13!! ZESZYT

14. Tensor przyrostów odkształcenia.

Uwaga: Posłużyliśmy się tutaj tensorem l_ij. Te same własności i zależności można wyprowadzić dla tensorów e_ij, ε_ij.

Tensory przyrostów odkształcenia stosuje się zamiennie z tensorami odkształceń skończonych (odkształcenie małe - sprężyste, odkształcenie skończone - plastyczne).
Przyrost odkształcenia (różniczka zupełna tensora) jest formą "dostosowania" tensorów odkształceń nieskończenie małych (l_ij , e_ij) do dokładnego opisu odkształceń skończonych.

Średni przyrost odkształcenia:

Rozkład tensora przyrostów odkształcenia na dwa stany podstwowe - aksjator i dewiator:

Drugi niezmiennik dewiatora przyrostów odkształcenia:

Dla głównego tensora przyrostów odkształcenia:

Intensywność przyrostów odkształcenia:

Dla materiałów nieściśliwych:

15. Tensor prędkości odkształcenia.

Postać macierzowa tensora prędkości odkształcenia:

- prędkości odkształceń elementów liniowych,

- prędkości odkształceń elementów postaciowych.

Średnia prękość odkształcenia:

Rozkład tensora prędkości odkształcenia na dwa stany podstawowe:

Drugi niezmiennik dewiatora tensora prędkości odkształcenia:

Dla głównego tensora prędkości odkształcenia:

Tesnor głównych prędkości odkształcenia:

Główne prędkości odkształcenia
obliczamy z równania trzeciego stopnia:

gdzie
to niezmienniki tensora prędkości odkształcenia.

Intensywność prędkości odkształcenia:

Dla materiałów nieściśliwych:

Część materiałów wykazuje czułość na prędkość odkształcenia.

10^-8 - 10^-5 s^-1	pełzanie przy niezmiennym obciążeniu lub naprężeniu
10^-5 - 10^-1 s^-1	statyczna próba rozciągania
10^-1 - 10^2 s^-1	dynamiczna próba rozciągania lub ściskania
10^2 - 10^4 s^-1	procesy przeróbki plastycznej z zastosowaniem dużych prędkości
10^4 - 10^8 s^-1	odkształcenie wybuchowe

16. Warunek plastyczności Treski.

Warunek ten nazywany jest też warunkiem maksymalnych naprężeń stycznych.

W ogólności warunek plastyczności to warunek naprężeniowy, który musi być spełniony, aby w danym punkcie ciała materiał przeszedł w stan plastyczny. Innymi słowy warunek to pewna funkcja naprężeń która musi zostać spełniona, F(σ_ij) = 0, w momencie przejścia materiału w stan plastyczny.

Materiał przejdzie w stan plastyczny gdy maksymalne naprężenie styczne osiągnie określoną wartość krytyczną.

S_max = S_krytyczne

Dla jednoosiowego rozciągania σ(1) ≠ 0, σ(2) = σ(3) = 0

Otrzymujemy:

Materiał w danym punkcie ciała przejdzie w stan plastyczny gdy różnica pomiędzy największym a najmniejszym naprężeniem głównym osiągnie wartość naprężenia uplastyczniającego.

17. Warunek plastyczności HMH.

Skrót HMH pochodzi od pierwszych liter nazwisk jego (niezależnych od siebie) twórców - Hubera, Misesa i Hencky'ego.

W ogólności warunek plastyczności to warunek naprężeniowy, który musi być spełniony, aby w danym punkcie ciała materiał przeszedł w stan plastyczny. Innymi słowy warunek to pewna funkcja naprężeń która musi zostać spełniona, F(σ_ij) = 0, w momencie przejścia materiału w stan plastyczny.

Wyprowadzenie według Hubera.
Huber sformułował warunek energii właściwej odkształcenia postaciowego:

Materiał przejdzie w stan plastyczny gdy właściwa energia jednostkowa sprężystego odkształcenia postaciowego osiągnie określoną wartość krytyczną.

U_f - energia właściwa odkształcenia postaciowego (sprężystego)

U_f = U_{f krytyczne}

gdzie    


G - moduł ścinania,
σ_H - intensywność naprężenia.




Dla jednoosiowego rozciągania σ(1) ≠ 0, σ(2) = σ(3) = 0

Otrzymujemy:

Materiał w danym punkcie ciała przejdzie w stan plastyczny gdy intensywność naprężeń osiągnie wartość naprężenia uplastyczniającego.

18. ZESZYT

A Umocnienie odkształceniowe.

Umocnienie odkształceniowe - całokształt zmian własności materiału pod wpływem przeróbki plastycznej na zimno (poniżej temperatury rekrystalizacji).

Zmieniają się własności:

mechaniczne:

- wytrzymałościowe (np. R_0,2, Rm, HB),

- plastyczne (np. Z, As, Ar, U...).

elektryczne,

magnetyczne,

inne własności (np. odporność na korozje).

Naprężenie uplastyczniające to naprężenie powodujące przejście materiału w stan plastyczny przy jednoosiowym stanie naprężenia.

Wyznaczany jest w próbie jednoosiowego rozciągania, beztarciowego ściskania lub skręcania wielokrotnego.

Krzywa umowna - umowne naprężenie:

Naprężenie rzeczywiste:

Położenie krzywej zależy też od temperatury i rzeczywistej prędkości odkształcenia.

Krzywa umocnienia - krzywa zmian σ_p w funkcji odkształcenia, otrzymana w próbach: jednoosiowego rozciągania, beztarciowego ściskania lub wielokrotnego skręcania.

k - hipotetyczna wartość σ_p dla ε=100%,
n - wykładnik umocnienia, 0 ≤ n ≤ 1,

Należy ogólnie przyjąć, że σ_p = f (ε, t), gdzie t - temperatura.

B Plastyczność.

Plastyczność to zdolność materiału do trwałego odkształcenia bez utraty spójności materiału (tzn. bez pęknięć).

Plastyczność nie jest własnością, lecz przedstawia stan w jakim znajduje się materiał

Wpływ warunków odkształcenia na plastyczność:

- temperatura (aktywacja dyslokacji): im wyższa temperatura tym większa jest plastyczność. Dla stali występują odstępstwa od tej zasady (tzw. zakres kruchości),

- układ krystalograficzny:

sieć regularna płasko centrowana, sieć A1: Au, Ag, Cu, Al, Ni, Fe γ,

sieć regularna przestrzennie centrowana, sieć A2: Fe, W, Cr, Mo,

sieć heksagonalna, sieć A3: Zn.

- skład chemiczny - wzrost C, P i S oraz obecność w stali H₂, N₂ i O₂ obniża jej plastyczność,

- struktura - drobnoziarnista jest bardziej plastyczna niż gruboziarnista,

- stan naprężenia - im mniejsze jest naprężenie średnie tym materiał wykazuje większą plastyczność.

Obróbka cieplna, która kształtuje strukturę stali, ma ogromny wpływ na plastyczność materiałów. Im większe naprężenie ściskające tym plastyczność jest większa.

Wskaźniki określające plastyczność:

Ar - wydłużenie równomierne,

Ac - wydłużenie całkowite,

Z - dS/S₀ = (S₀-S_n)/S₀ - przewężenie,

Jeżeli stosunek Re/Rm spada, to plastyczność rośnie.
Jeżeli udarność (praca łamania) rośnie, to plastyczność rośnie.

Próby technologiczne:

próby tłoczności,

próby spęczniania,

próby dla drutów,

próba wielokrotnego przeginania / skręcania.

---