ĆWICZENIE NR 1

Modele matematyczne elementów systemu elektroenergetycznego do analizy w stanach nieustalonych

Podstawową rolę w analizie układów dynamicznych odgrywają modele matematyczne. Tworzy się je na podstawie struktury układu oraz podstawowych praw fizyki rządzących jego elementami. W praktyce każdy model stanowi kompromis między wymaganą dokładnością odwzorowania układu rzeczywistego a trudnościami matematycznymi wiążącymi się z wykorzystaniem modelu. Z tego względu w przypadku skomplikowanych układów tworzy się na ogół modele nie samych układów dynamicznych, a raczej modele pewnych charakterystycznych zjawisk w nich zachodzących.

Analizując stany elektromechaniczne, traktujemy je jako wielowymiarowe zadania numeryczne zawierające bardzo rozbudowane układy równań różniczkowych i algebraicznych. W trakcie obliczeń redukujemy analizowany system do mniejszych rozmiarów, opisując stany elektromechaniczne następującym układem równań różniczkowo - algebraicznych:

X = f ( x,y,u,t)

0 = g (x,y,u,t)

gdzie:

X - wektor pochodnych zmiennych stanu, X - wektor zmiennych stanu, y - wektor odpowiedzi systemu, u - wektor sterowań, t - czas.

Równania różniczkowo-algebraiczne charakteryzują modele matematyczne poszczególnych elementów składowych systemu: generatorów, układów regulacji napięcia i częstotliwości, linii i transformatorów, odbiorników itd. Analizując stany nieustalone elektromechaniczne systemu przyjmuje się najczęściej, że analizowany układ jest swobodny, tzn. działa bez sterowań u = 0. Stany nieustalone poprzedzone są stanami ustalonymi. Stan ustalony systemu jest w tym przypadku tożsamy z rozwiązaniem układu równań dla warunku, w którym zmienne stanu nie ulegają zmianie w czasie, tzn. x = 0.

Modele generatora synchronicznego

Stany przejściowe

W czasie pracy generatora w stanie jałowym z uzwojeniami wirnika jest skojarzony pewien strumień wzbudzenia. Przyjmujemy iż generator pracuje w stanie ustalonym. W czasie wystąpienia zwarcia prądy uzwojeń wirnika zwiększają się tak, że odpowiadający im strumień kompensuje w wirniku strumień pochodzący od uzwojeń stojana. Można to interpretować też w ten sposób, że uzwojenia wirnika wypychają strumień stojana poza wirnik i nie dopuszczają do zmiany skojarzeń magnetycznych. Mówimy, że w stanie nieustalonym uzwojenia wirnika działają ekranująco na strumień stojana. Stan generatora synchronicznego, w którym strumień stojana jest całkowicie wypchnięty poza wirnik, jest nazywany stanem podprzejściowym. Wskutek rozproszenia energii na rezystancjach uzwojeń wirnika prądy podtrzymujące skojarzenia magnetyczne zanikają i stan podprzejściowy nie może się utrzymać. Najszybciej zanikają prądy w uzwojeniach tłumiących ( ze względu na duże rezystancje ). Już po krótkim czasie od wystąpienia zwarcia uzwojenia te nie przeciwstawiają się wejściu strumienia stojana w nabiegunniki wirnika. Strumień ten jest jednak wypychany przez uzwojenie wzbudzenia, w którym prądy zanikają dużo wolniej. Stan, w którym strumień stojana jest wypychany tylko poza uzwojenie wzbudzenia, jest nazywany stanem przejściowym. Po zaniku prądu nieustalonego w uzwojeniu wzbudzenia strumień stojana może przejść przez cały wirnik i zamknąć się przez drogę o małej reluktancji. Stan taki jest nazywany stanem ustalonym. Reaktancja dowolnego uzwojenia odwrotnie proporcjonalna do reluktancji drogi strumienia tego uzwojenia. Każdemu odcinkowi drogi strumienia można przyporządkować pewną reaktancję odwrotnie proporcjonalną do reluktancji tego odcinka. Reluktancja żelaza jest pomijalnie mała w stosunku do reluktancji szczelin. O reaktancji uzwojenia decyduje więc przede wszystkim długość drogi strumienia poza żelazem. Szeregowym odcinkom drogi magnetycznej odpowiada równoległe łączenie reaktancji. Równoległym drogom magnetycznym odpowiada szeregowe łączenie reaktancji.

Wypadkowe reaktancje w poszczególnych stanach nazywamy odpowiednio : X_d``- reaktancją podprzejściową wzdłużną; X<sub>d</sub>` - reaktancją przejściową wzdłużną; X<sub>d</sub> - reaktancją synchroniczną wzdłużną. Ponadto na poniższych rysunkach oznaczono X<sub>l</sub> - reaktancja odpowiadająca drodze rozproszenia strumienia wokół uzwojenia stojana, nazywana reaktancją rozproszenia; X<sub>ad</sub> - reaktancja odpowiadająca drodze przez szczelinę między stojanem a wirnikiem, nazywana reaktancją oddziaływania twornika; X<sub>D</sub> - reaktancja odpowiadająca drodze obejścia uzwojeń tłumiących; X<sub>f</sub> - reaktancja odpowiadająca drodze obejścia uzwojenia wzbudzenia. Między zastępczymi reaktancjami maszyny synchronicznej zachodzi: X<sub>d</sub>``<X_d`<X<sub>d</sub>. W przypadku dużych maszyn reaktancja podprzejściowa X<sub>d</sub>`` jest około dwukrotnie mniejsza od reaktancji przejściowej X<sub>d</sub>` oraz około dziesięciokrotnie mniejsza od reaktancji synchronicznej X_d. W każdym z omawianych stanów generatorowi można przyporządkować zastępcze źródło napięciowe o odpowiedniej reaktancji X_d``,X_d` lub X_d. Rysunek 1.2. przedstawia schematy zastępcze maszyny synchronicznej oraz reaktancje w stanach a) podprzejściowym b) przejściowym.

b)

Rys1.2

Stan zwarcia

W poprzednim rozdziale wprowadzono trzy charakterystyczne stany magnetyczne maszyny synchronicznej i charakterystyczne dla nich reaktancje, odpowiednio: podprzejściową dla stanu podprzejściowego, przejściową dla stanu przejściowego oraz synchroniczną dla stanu ustalonego. W każdym z tych stanów generator zastępowaliśmy źródłem napięciowym o pewnej sile elektromotorycznej za reaktancją odpowiadającą reluktancji na drodze strumienia w danym stanie charakterystycznym. Jeśli wprowadzimy założenia upraszczające traktujące zwarcie jako stan quasi - ustalony, to model w postaci „SEM + reaktancja” jest w zupełności wystarczający. Chcąc jednak przeprowadzić dogłębną analizę uwzględniając przypadki nietypowe należy traktować zwarcie jako stan nieustalony. W czasie tego stanu generator przechodzi płynnie z jednego stanu charakterystycznego do drugiego, a więc fikcyjne siły elektromotoryczne zastępujące generator muszą ulegać pewnym zmianom.

Traktując zwarcie w sposób uproszczony (stan quasi - ustalony) nie ujmuje się ilościowo tych zmian i z reguły zakłada się stałość wybranej siły elektromotorycznej.

Dalej zostaną przedstawione modele matematyczne pozwalające na uwzględnienie zmian zachodzących w generatorze synchronicznym, przez wprowadzenie równań różniczkowych i algebraicznych stanowiących model matematyczny interesujących nas stanów nieustalonych w generatorze. W tym celu zostaną przyjęte pewne założenia ułatwiające przedstawienie modelu.

Generator zawiera uzwojenia przedstawione na poniższym rysunku 1.3, a więc, A,B,C, - uzwojenia na stojanie trójfazowe, f - uzwojenie wzbudzenia na wirniku, D - uzwojenie tłumiące w osi wzdłużnej, Q - uzwojenie tłumiące w osi poprzecznej, d,q - osie wirnika (wzdłużna i poprzeczna).

Rys.1.3

Ponadto przyjmujemy następujące założenia:

1. Uzwojenia fazowe są symetryczne.

2. Pojemności uzwojeń pomijamy.

3. Uzwojenia rozłożone na konstrukcjach zastępujemy uzwojeniami skupionymi.

4. Zmiany indukcyjności uzwojeń stojana wynikające z wirowania wirnika są

sinusoidalne i nie zawierają wyższych harmonicznych.

5. Straty histerezy są pomijalne, a oddziaływanie prądów wirowych może być

odwzorowane wspólnie z oddziaływaniem uzwojeń tłumiących.

6. W stanie nieustalonym prędkość wirowania wirnika jest w przybliżeniu równa

prędkości synchronicznej (ω≈ω_s).

7. Obwody magnetyczne są liniowe i odpowiadające im indukcyjności nie zależą od

prądu.

Równania strumieniowo - prądowe

Równania strumieniowo - prądowe w układzie współrzędnych naturalnych

Strumień danego uzwojenia zależy od prądów płynących również w pozostałych uzwojeniach, gdyż między poszczególnymi uzwojeniami występują sprzężenia magnetyczne. Wyraża to poniższe równanie macierzowe:

(1.1)

lub w skrócie

gdzie:

L_S - podmacierz indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń stojana;

L_W - podmacierz indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń wirnika;

L_SW - podmacierz indukcyjności wzajemnych uzwojeń wirnika i stojana;

Większość tych indukcyjności ulega okresowym zmianom wskutek wirowania wirnika i jego niesymetrii magnetycznej. Zgodnie z przyjętym założeniem pomijamy wyższe harmoniczne w tych zmianach i wyrażamy indukcyjności jako sumy składowych stałych i składowych okresowych o jednej częstotliwości.

W przypadku wirnika dwubiegunowego, tak jak w przypadku przedstawionym na rysunku 3. składowe okresowe indukcyjności uzwojeń stojana zmieniają się z okresem równym czasowi połowy obrotu wirnika. Wynika to z faktu, że indukcyjność własna uzwojenia osiąga wartość największą, gdy reluktancja na drodze jego strumienia jest najmniejsza. Jest tak w przypadku, gdy oś wzdłużna wirnika pokrywa się z osią danej fazy. Z rysunku 1.3. wynikają następujące wzory:

L_AA = L_S + ΔL_S cos2γ ;

L_BB = L_S + ΔL_S cos(2γ - 2/3π); (1.2)

L_CC = L_S + ΔL_S cos(2γ + 2/3π);

Przy czym L_S > ΔL_S , obie wartości są stałe w czasie.

Indukcyjności wzajemne uzwojeń stojana są ujemne, co wynika z porównania kierunków strumienia w obu uzwojeniach z osiami uzwojeń. Indukcyjności te przyjmują wartości największe (co do wartości bezwzględnej), gdy oś wzdłużna wirnika jest ustawiona między osiami obu rozważanych uzwojeń. Z rysunku 1.3. wynikają następujące wzory:

L_AB = L_BA = - M_S - ΔL_S cos2(γ + 1/6π);

L_BC = L_CB = - M_S - ΔL_S cos2(γ - 1/2π); (1.3)

L_CA = L_AC = - M_S - ΔL_S cos2(γ + 5/6π);

Indukcyjności wzajemne uzwojeń stojana i wirnika zmieniają się z okresem równym czasowi pełnego obrotu wirnika i przyjmują wartości największe (dodatnie), gdy oś fazy danego uzwojenia stojana oraz oś danego uzwojenia wirnika pokrywają się i mają takie same zwroty. Gdy zwroty są przeciwne, wówczas indukcyjność osiąga wartość najmniejszą (ujemną), a gdy osie są prostopadłe - wartość równą zeru. Z rysunku 1.3. wynikają następujące wzory:

L_Af = L_fA = M_f cosγ; L_AD = L_DA = M_D cosγ;

L_AQ = L_QA = M_Q sinγ;

L_Bf = L_fB = M_f cos(γ - 2/3π); L_BD = L_DB = M_D cos(γ - 2/3π); (1.4)

L_SQ = L_QS = M_Q sin(γ - 2/3π);

L_Cf = L_fC = M_f cos(γ + 2/3π); L_CD = L_DC = M_D cos(γ + 2/3π);

L_CQ = L_QC = M_Q sin(γ + 2/3π);

Indukcyjności własne i wzajemne uzwojeń wirnika są stałe w czasie i nie zależą od położenia wirnika, przy czym ze względu na prostopadłe ułożenie uzwojeń w osi wzdłużnej i poprzecznej ich indukcyjności wzajemne są równe zeru, czyli

L_fQ = L_Qf = 0 oraz L_DQ = L_QD = 0

Większość elementów macierzy L w równaniu strumieniowo - prądowym zależy od położenia wirnika i tym samym od czasu.

Równania strumieniowo - prądowe w układzie współrzędnych wirnika

Wzajemne położenie układu współrzędnych wirnika i stojana jest określone kątem γ=ω*t (zgodnie z oznaczeniem na rysunku 1.3. Korzystając z funkcji trygonometrycznych tego kąta, każdy wektor określony w układzie współrzędnych A,B,C, można jednoznacznie przedstawić w układzie współrzędnych d,q. Wykonuje się to przez rzutowanie wartości jednych współrzędnych na drugie. Po zrzutowaniu wektora prądów otrzymuje się:

(1.5)

gdzie: β_d, β_q, - współczynniki zmiany skali współrzędnych, będące dowolnymi liczbami różnymi od zera.

Równania te określają jednoznacznie tylko przejście od współrzędnych A,B.C, do współrzędnych d,q. Przejście odwrotne nie jest jednoznaczne, gdyż w dwu powyższych równaniach są trzy niewiadome. Obustronną jednoznaczność przekształcenia można uzyskać uzupełniając współrzędne d,q o dodatkową współrzędną. Jako dodatkową współrzędną dogodnie jest przyjąć składową zerową, definiowaną tak samo jak w metodzie składowych symetrycznych,

i_o = β_o(i_A+i_B+i_C) (1.6)

gdzie:

β_o - współczynnik zmiany skali współrzędnych.

Macierzowy zapis trzech równań:

(1.7)

lub w skrócie:

i_odq = Wi_ABC (1.8)

Współczynniki β_o, β_d, β_q, są różne od zera. Macierz W jest nieosobliwa i istnieje jednoznaczne określone przekształcenie odwrotne:

i_ABC = W^-1i_odq (1.9)

Operację sprowadzenia wszystkich wielkości do współrzędnych O,q,d, możemy zapisać następująco:

(1.10)

Przekształcenie odwrotne wygląda następująco:

(1.11)

Podstawiając do równania strumieniowo - prądowego przekształcenie odwrotne przedstawione powyżej oraz analogiczne przekształcenie strumieni, otrzymuje się równanie:

(1.12)

po wymnożeniu;

(1.13)

Dobierając współczynniki zmiany skali współrzędnych β_o=1/ , β_d= β_q=, otrzymuje się następującą macierz przekształcenia:

(1.14)

Powyższa macierz W jest macierzą ortogonalną, odwrotność tej macierzy jest równa jej macierzy transponowanej, czyli W^-1 = W^T, a przekształcenie współrzędnych jest przekształceniem ortogonalnym. Macierz ta przekształca podmacierz indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń stojana L_S do postaci:

(1.15)

czyli do macierzy diagonalnej, w której :

L_o = L_S - 2*M_S ; L_d = L_S + M_S + 3/2*ΔL_S ; L_q = L_S + M_S - 3/2*ΔL_S (1.16)

Podmacierz indukcyjności wzajemnych uzwojeń stojana i wirnika jest przekształcana do postaci:

(1.17)

w której k = , podmacierz indukcyjności wzajemnych uzwojeń wirnika i stojana jest przekształcana do takiej samej postaci, gdyż dzięki W^-1 = W^T --> [Author:BiL] zachodzi:

L_SW^T * W^-1 = L_SW^T * W^T = (W*L_SW)^T (1.18)

W literaturze takie matematyczne sprowadzenie wszystkich uzwojeń generatora do wirnika jest nazywane przekształceniem (Odq) lub przekształceniem Parka. Macierz przekształcenia zaproponowana przez Parka nie była ortogonalna i prowadziła do niesymetrycznej macierzy indukcyjności wzajemnych, co w dalszych wyprowadzeniach było powodem pewnych komplikacji. Autorem wyżej opisywanego wyżej przekształcenia jest Concordia.

Podmacierz indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń wirnika nie ulega zmianie. W rezultacie równanie strumieniowo - prądowe generatora przyjmuje postać :

(1.19)

Dzięki ortogonalności macierzy W , macierz indukcyjności zastępczych w tym równaniu jest symetryczna. Wszystkie elementy macierzy są stałe i nie zależą od czasu. Wyeliminowanie czasu z równań strumieniowo - prądowych jest głównym celem i zaletą opisywanego przekształcenia.

Równanie powyższe można zapisać jako trzy niezależne od siebie układy równań opisując trzy niezależne od siebie (nie sprzężone magnetycznie) grupy uzwojeń:

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Powyższe równania opisują generator według poniższego rysunku 1.4.

Rys.1.4

Na rysunku 1.4 uzwojenia w osi q są reprezentowane przez równanie 1.121, trzy uzwojenia zastępcze w osi wzdłużnej wirnika. Dwa z nich ( f oraz D ) reprezentują odpowiednio uzwojenie wzbudzenia oraz uzwojenie tłumiące w osi wzdłużnej wirnika rzeczywistego generatora. trzecie uzwojenie (d) jest fikcyjne zastępuje oddziaływanie uzwojeń stojana rzeczywistego generatora w osi wzdłużnej jego wirnika. Uzwojenie to jest związane z osią wzdłużną i wiruje wraz z wirnikiem zastępczym Uzwojenia na osi d reprezentowane są przez równanie 1.122. Jedno z dwóch uzwojeń odpowiada uzwojeniu tłumiącemu w osi poprzecznej wirnika rzeczywistego generatora, drugie (q) jest uzwojeniem fikcyjnym zastępującym oddziaływanie uzwojeń stojana rzeczywistego generatora w osi poprzecznej jego wirnika. Uzwojenie to jest silno związane z osią poprzeczną i wiruje wraz z wirnikiem zastępczym. Równanie 1.120 reprezentuje trzecią grupę uzwojeń. jest tu tylko jedno uzwojenie, nie sprzęgnięte magnetycznie z dwoma grupami pozostałych uzwojeń.

Równania napięciowo - prądowe

Na rysunku 1.3 przedstawiony został układ uzwojeń reprezentujących generator synchroniczny. Obwody te można podzielić na dwa typu. Do pierwszego z nich należą obwody uzwojeń stojana (A,B,C) oraz klatek tłumiących (D,Q) i są to obwody, w których siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu jest źródłem wymuszenia prądu w obwodzie. Zastosowanie w takim przypadku drugiego prawa Kirchhoffa w takim przypadku przedstawia rysunek 1.5a).

Rys.1.5

Do drugiego typu obwodów należy obwód uzwojenia wzbudzenia w którym źródłem wymuszenia prądu jest zewnętrzne źródło napięcia, a siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu przeciwdziała temu wymuszeniu. Zastosowanie drugiego prawa Kirchhoffa w takim przypadku przedstawia rysunek 1.5b). Te reguły oznaczania kierunków napięć obowiązują także na rysunku 1.3 korzystając z tych reguł, można napisać następujące równania napięciowo - prądowe, opisujące generator w układzie współrzędnych naturalnych:

(1.23)

lub w skrócie

r_ABC i r_fDq są macierzami diagonalnymi. Równania te można przekształcić do współrzędnych (d,q) stosując przekształcenie prądów stosowane poprzednio oraz analogiczne przekształcenie wektorów napięć i strumieni. Stąd otrzymuje się równanie 1.24.

(1.24)

Przy jednakowych rezystancjach faz uzwojeń stojana iloczyn pierwszych trzech macierzy po prawej stronie jest macierzą diagonalną, gdyż:

Wr_ABC*W^-1 = r_ABC (1.25)

Zgodnie z wzorem 1.14 opisującym macierz W jest ona funkcją czasu poprzez zmienną γ=ω*t. Z tego względu pochodną w ostatnim składniku prawej strony równania 1.24 musimy obliczyć jako pochodną iloczynu funkcji:

(1.26)

Po obliczeniach można wykazać, że iloczyn macierzy przekształcenia i jej inwersji jest następującą macierzą:

(1.27)

Macierz tę nazywamy macierzą rotacyjną, gdyż wprowadza do równań napięciowo-prądowych składniki zależne od prędkości wirowania wirnika.

Po uwzględnieniu w równaniu 1.24 ostatnich zależności otrzymuje się równanie napięciowo-prądowe opisujące generator w układzie współrzędnych (d,q):

(1.28)

Pomijając ostatni składnik Ωψ_odq stwierdzamy, iż równanie to jest niczym innym, jak układem równań wyrażających drugie prawo Kirchhoffa dla obwodów zastępczych generatora pokazanego na rysunku 1.4. Dodatkowy ostatni składnik pojawiający się w tym równaniu dotyczy tylko fikcyjnych uzwojeń 0,d,q, zastępujących uzwojenia stojana. Składnik ten wynika z faktu indukowania się w uzwojeniach stojana sił elektromotorycznych proporcjonalnych do prędkości wirowania wirnika. Siły elektromotoryczne uzwojeń stojana są tu reprezentowane w następujący sposób:

(1.29)

czyli przez siły elektromotoryczne nazwane siłami elektromotorycznymi rotacji.

Równanie napięciowo-prądowe przedstawiające generator synchroniczny w postaci rozwiniętej można zapisać jako układ równań różniczkowych:

(1.30)

Siły elektromotoryczne proporcjonalne do zmian strumieni magnetycznych (składniki ) są nazywane siłami elektromotorycznymi transformacji.

W sytuacji, gdy generator pracuje z izolowanym punktem gwiazdowym uzwojeń stojana (przypadek typowy), pierwsze z powyższych równań jest zbędne, ponieważ dla dowolnego stanu generatora zachodzi i_o=0. Przy niewielkich zmianach prędkości wirowania wirnika (ω≈ω_s) siły elektromotoryczne transformacji (ψ_d`oraz ψ<sub>q</sub>`) są pomijalnie małe w stosunku do sił elektromotorycznych rotacji (-ωψ_d oraz +ωψ_d), które mają wartości zbliżone do odpowiednich składowych napięcia generatora. W takim przypadku różniczkowe równania napięciowo-prądowe uzwojeń stojana mogą być zastąpione równaniami algebraicznymi 1.31:

(1.31)

Równania różniczkowe napięciowo-prądowe uzwojeń wirnika pozostają bez zmian. Można zapisać je w poniższy sposób:

(1.32)

Równania różniczkowe 1.31 i 1.32 wraz z algebraicznymi równaniami 1.21 i 1.22 stanowią pełny opis generatora synchronicznego z pominięciem sił elektromotorycznych transformacji.

Schemat zastępczy generatora synchronicznego

Reluktancjom poszczególnych odcinków drogi strumienia wytwarzanego przez dane uzwojenie można przyporządkować indukcyjności cząstkowe wchodzące w skład wypadkowej indukcyjności tego uzwojenia.

W przypadku uzwojeń na ferromagnetykach ze szczelinami powietrznymi o indukcyjności wypadkowej uzwojenia decydują przede wszystkim reluktancje szczelin oraz reluktancje na drodze strumienia rozproszenia. Dotyczy to także uzwojeń zastępczych generatora synchronicznego przedstawionych na rysunku 1.4. Indukcyjności rozproszenia tych uzwojeń oznaczamy odpowiednio: l_d, l_q, l_f, l_D, l_Q. Równania strumieniowo-prądowe 1.21 i 1.22 możemy teraz zapisać w następujący sposób:

ψ_d = [(L_d - l_d) + l_d]i_d + kM_f i_f + kM_D i_D

ψ_f = kM_f i_d + [(L_f - l_f) + l_f]i_f + L_fD i_D (1.33)

ψ_D = kM_Di_d + L_fD i_f + [(L_D - l_D) + l_D]i_D

ψ_q = [(L_q - l_q) + l_q]i_q + kM_Q i_Q (1.34)

ψ_Q = kM_Q i_Q + [(L_Q - l_Q) + l_Q]i_Q

Z pewnym przybliżeniem zachodzą równości:

(L_d - l_d) = (L_f - l_f) = (L_D - l_D) = kM_f = L_fD = kM_D = L_ad (1.35)

(L_q - l_q) = (L_Q - l_Q) = kM_Q = L_aq (1.36)

gdzie:

L_ad-indukcyjności odpowiadające reluktancji szczeliny między wirnikiem a stojanem, odpowiednio w osi wzdłużnej i poprzecznej (indukcyjności oddziaływania twornika).

W rezultacie równania strumieniowo-prądowe przyjmują postać:

(1.37)

(1.38)

gdzie:

L_d = L_ad + l_f ; L_f = L_ad + l_f ; L_D = L_ad + l_D ; L_q = L_aq + l_q ; L_Q = L_aq + l_q,czyli:

ψ_d = l_d i_d + L_ad(i_d + i_f + i_D)

ψ_f = l_f i_f + L_ad(i_d + i_f + i_D) (1.39)

ψ_D = l_D i_D + L_ad(i_d + i_f + i_D)

ψ_q = l_q i_q + L_aq(i_q + i_Q) (1.40)

ψ_Q = l_Q i_Q + L_aq(i_q + i_Q)

zakładają, że:

ψ_ad = L_ad (i_d + i_f + i_D)

ψ_aq = L_aq ( i_q + i_Q)

,

równania 1.39 i 1.40 przyjmują postać:

ψ_d - l_d i_d = ψ_f - l_f i_f = ψ_D - l_D i_D = ψ_ad

(1.41)

ψ_q - l_q i_q = ψ_Q - l_Q i_Q = ψ_aq

Powyższa postać ułatwi dalsze rozważania w celu utworzenia schematów zastępczych generatora synchronicznego. Uwzględniając te równania w układach równań różniczkowych napięciowo-prądowych otrzymujemy równania różniczkowe napięciowo-prądowe opisujące generator w osi wzdłużnej:

(1.42)

oraz w osi poprzecznej:

(1.43)

Równaniom tym można przyporządkować dwa schematy zastępcze generatora przedstawione poniżej:

Rys.1.6

Model ( e_d”, e”_q , e'_q )

Schematy zastępcze pokazane na rysunku 1.6 wraz z odpowiadającymi im równaniami napięciowo-prądowymi 1.31 i 1.32 oraz równaniami strumieniowo-prądowymi 1.37 i 1.38 stanowią model matematyczny generatora synchronicznego przy pominięciu sił elektromotorycznych transformacji. Model ten na pierwszy rzut oka jest zupełnie inny od uzyskanych w poprzednich punktach modeli, w których generator zastępowaliśmy źródłem napięciowym o sile elektromotorycznej za reaktancją równą (w zależności od rozważanego stanu) reaktancji podprzejściowej, przejściowej lub synchronicznej. Wykażmy, że otrzymany model generatora będzie równoważny zastępczemu źródłu napięcia, którego reaktancja jest równa reaktancji podprzejściowej generatora, a siła elektromotoryczna ulega w trakcie stanu nieustalonego zmianom opisanym równaniami różniczkowymi.

W wyniku częściowej inwersji macierzy, prądy uzwojeń tłumiących oraz uzwojenia wzbudzenia w równaniach 1.37 i 1.38 można przenieść na lewą stronę, otrzymując:

(1.44)

przy czym indukcyjności:

(1.45)

gdzie:

zastępują indukcyjności połączone równolegle w schematach zastępczych generatora, rys1.6. Tak przekształcone równania strumieniowo-prądowe są nazywane równaniami hybrydowymi.

Załóżmy, że rezystancja uzwojenia twornika jest pomijalnie mała i zostanie dodana do rezystancji transformatora blokowego lub sieci wyprowadzającej moc z generatora. Po uwzględnieniu w równaniach algebraicznych stojana powyższych zależności na ψ_d i ψ_q, otrzymujemy następujące zależności napięciowo-prądowe:

(1.46)

Zastępując generator dwoma źródłami napięciowymi, jak na poniższym rysunku, otrzymujemy następujące równania wynikające z drugiego prawa Kirchhoffa:

u_q = ωL”_d i_d + e”_q (1.47)

u_d = -ωL”_q i_q + e”_d

Rys1.7

Równania algebraiczne 1.46 będą zgodne z powyższym schematem zastępczym jeśli zastępcze siły elektromotoryczne będą następujące:

(1.48)

W sieci wzdłużnej wirnika działają dwa strumienie ψ_f, ψ_D indukujące prostopadłą do nich siłę elektromotoryczną e_q” pojawiającą się w zastępczym uzwojeniu stojana w osi poprzecznej. W osi poprzecznej działa tylko uzwojenie tłumiące, którego strumień ψ_Q w stanie nieustalonym generatora indukuje siłę elektromotoryczną e_d” pojawiającą się w zastępczym uzwojeniu stojana w osi wzdłużnej. Po zaniknięciu prądów w uzwojeniach tłumiących działa tylko obwód wzbudzenia. Jest to stan przejściowy. Można więc oznaczyć:

(1.49)

Przyjęte wyżej zastępcze siły elektromotoryczne wprowadzimy teraz do równań różniczkowych wirnika 1.32. Korzystając ze zmodyfikowanych równań strumieniowo-prądowych w wersji 1.41, równania 1.32 możemy przedstawić w następującej postaci:

(1.50)

Wyrażając strumienie w tych równaniach za pomocą przyjętych sił elektromotorycznych otrzymujemy:

(1.51)

Na podstawie równań hybrydowych, strumienie zastępczych uzwojeń stojana (pomnożone przez ω) można wyrazić w sposób:

ωψ_d = L_d” i_d + e_q” ; ωψ_q = L_q” i_q - e_d” ,stąd po podstawieniu do równań 1.41:

ωψ_ad = ωψ_d - ω l_d i _d = ω(L_d” - l_d)i_d + e_q”

ωψ_aq = ωψ_q - ω l_q i _q = ω(L_q” - l_q)i_q + e_q” (1.52)

Podstawiając ostatnie równania 1.51 i 1.52 do równań różniczkowych 1.50, otrzymujemy równania:

(1.53)

w których

e_f = α₄ u_f

(1.54)

gdzie: X_l = ωl_d = ωl_q jest reaktancją rozproszenia uzwojeń stojana

Powyższe równania opisują stany nieustalone w generatorze. Do tych równań należy dołączyć jeszcze równanie ruchu wirnika generatora:

(1.55)

gdzie: P_T - moc turbiny , D - współ. tłumienia

Moc czynną generatora z uwzględnieniem oddziaływania uzwojeń tłumiących obliczamy korzystając ze wzoru:

P = e_d i_d + e_q i_q + (X”_d - X”_q) i_d i_q (1.56)

Równania 1.53 przy uproszczeniu wynikającym z T'_d0 >> T”_d0 (typowy przypadek) przyjmują postać:

T'_d0'_q = e_f - (α₁ e'_q - α₂ X”_di_d - α₃e”_q)

T”_d0”_q = - (e”_q - α₈ X”_di_d - α₅e'_q) (1.57)

T”_q0”_d = - (e”_d + α₁₀ X”_qi_q)

Model

Pomińmy uzwojenia tłumiące. W schemacie zastępczym zakładamy r_D = r_Q = ∞ oraz l_D = l_Q = 0, oznacza to wyłącznie pewnych gałęzi z tego schematu. Otrzymujemy:

T”_d0 = T”_q0 = 0 ; X'_d = X'_q ; X”_q = X'_q = X_q (1.58)

współczynniki występujące w równaniach przyjmują wartości:

α₁₀ = α₈ = 0; α₅ = 1; α₁ ≠ 0; α₂ ≠ 0; α₃ ≠ 0

Drugie i trzecie równanie przestają być teraz równaniami różniczkowymi i mają postać:

e”_d = 0; oraz e'_q = e”_q.

Równania algebraiczne przyjmują postać:

u_q = X'_di_d + e'_q i u_d = - X'_qi_q (1.59)

odpowiadają one schematom zastępczym oraz wykresowi jak poniżej (Rys 1.8):

Rys1.8

a więc:

e_q = e'_q - (X_d - X'_d) i_d (1.60)

P = e'_qi_q + (X'_d - X'_q) i_di_q (1.61)

T'_do '_q = e_f - e_q (1.62)

Równania 1.59 i ostanie równanie 1.62 wraz z równaniami ruchu 1.55 i powyższym wzorem na moc 1.61 stanowią model matematyczny generatora z pominięciem uzwojeń tłumiących oraz prądów wirowych w wirniku. Jest model uproszczony uwzględniający w przybliżeniu tylko wolnozmienne stany nieustalone zachodzące w uzwojeniu wzbudzenia.

Model Żdanowa ()

Wadą w poprzednim modelu generatora było założenie e'_d = const będące rezultatem braku w osi poprzecznej jakiegokolwiek uzwojenia zastępczego reprezentującego uzwojenie tłumiące oraz prądy wirowe w wirniku. Pewne sztuczne rozszerzenie tego modelu można uzyskać zakładając, że zastępcza siła e'_d zmienia się zgodnie ze stałą czasową przejściową w osi poprzecznej T'_q0. Otrzymujemy: e_d = e'_d + (X_q - X'_q) i_q, i tworzymy równanie różniczkowe:

T'_q0 '_d = - e_d (1.63)

przy czym ze względu na brak w osi wzbudzenia składnik e_f tutaj nie występuje.

Równania poniższe 1.64 tworzą model generatora synchronicznego:

T'_do '_q = e_f - e_q = -1/ T'_d0 [e'_q - (X_d - X'_d) i_d - e_f] (1.64)

T'_q0 '_d = - e_d = -1/ T'_q0 [e'_q - (X_q - X'_q) i_q]

u_q = X'_di_d + e'_q i u_d = - X'_qi_q + e'_d

oraz uzupełnione równania ruchu generatora.

Model ten jest powszechnie uznawany za wystarczająco dokładny, do badania elektromechanicznych stanów nieustalonych. Praktyka wykazuje, że dość sztucznie dopisane tu drugie równanie różniczkowe przyczynia się do poprawy dokładności tak, że model ten pod względem dokładności można umiejscowić między modelem () a jego bardzo uproszczoną wersją w postaci modelu (). Wadą tego modelu w stosunku do modelu () jest występowanie w równaniu ruchu zastępczego współczynnika tłumienia obliczanego na ogół w sposób bardzo przybliżony.

W stanach nieustalonych na pracę generatora synchronicznego mają wpływ także układy regulacji.

Układy regulacji wzbudzenia i regulacji napięcia

Schemat ogólny układu wzbudzenia i regulacji napięcia pokazano na rysunku 1.9 a).

Rys1.9 a.

Napięcie wzbudnicy ustala regulator na podstawie uchybu regulacyjnego, który zależy od wartości zadanej i zmierzonej oraz od sygnału członu korekcyjnego i sygnału wytworzonego przez stabilizator systemowy zwany również destabilizatorem małych kołysań.

Na rysunku 1.9b) pokazano uniwersalny schemat blokowy układu wzbudzenia i regulacji napięcia za wzbudnicą prądu stałego.

Rys.1.9 b

Napięcie na zaciskach generatora U po przejściu przez człon pomiarowy jako U_fl jest porównywane z wartością nastawioną U_S, napięciem wyjściowym członu korekcyjnego U_fb oraz dodatkowym napięciem z zewnątrz U₀, tworząc w ten sposób napięcie regulacji U_h. Napięcie U_h po przejściu przez regulator i ograniczniki jako U_a jest porównywane z napięciem wynikającym z nastawienia i tworzy sygnał wejściowy członu inercyjnego modelującego wzbudnicę. Wzbudnica jest zamodelowana jako człon inercyjny z nieliniowym członem, odzwierciedlającym nasycenie dróg magnetycznych w żelazie, w pętli sprzężenia zwrotnego. Pętlę sprzężenia zwrotnego modeluje się jako człon różniczkujący o wzmocnieniu K_f i stałej czasowej T_f.

Destabilizator małych kołysań

Destabilizator małych kołysań jest elementem różniczkującym wyposażonym w filtr wielkich częstotliwości. Schemat blokowy destabilizatora przedstawiono na rysunku 1.10 Patrząc od prawej strony składa się on z ogranicznika wartości sygnału wyjściowego, transmitancji zastępczej oraz sumatora sygnałów wejściowych.

Rys1.10

Modele turbin i ich regulatorów prędkości

Na rysunku 1.11 przedstawiono schemat blokowy modelu turbiny parowej wraz z regulatorem prędkości. Rysunek 1.11 a) przedstawia schemat funkcjonalny, natomiast rysunek 1.11 b) przedstawia schemat blokowy turbiny parowej.

Rys.1.11a

Rys1.11b

Na wejściu regulatora pojawia się sygnał równy odchyleniu prędkości kątowej, natomiast na wyjściu pojawia się sygnał równy mocy turbiny wymuszonej przez regulator P_R. Sygnał odchylenia mocy jest przekazywany do serwomotoru, który jest odwzorowywany za pomocą członu całkującego z bezpośrednim sprzężeniem zwrotnym. Na wyjściu serwomotoru pojawia się sygnał równy mocy dolotowej turbiny P_dν.

Modele matematyczne odbiorów

Odbiorem nazywamy cześć systemu pobierającą energię elektryczną z danego węzła sieci najwyższych napięć. W skład obioru kompleksowego wchodzą rozległe sieci rozdzielcze wysokiego i średniego napięcia wraz z niewielkimi źródłami mocy czynnej i biernej oraz ogromną liczbą odbiorników i sieci oraz instalacji niskiego napięcia. Model odbioru jest więc zarazem uproszczonym modelem części systemu elektroenergetycznego. Zadaniem tego modelu jest odwzorowanie zmian mocy czynnej i biernej z danego węzła przy zmianach napięcia i w węźle i częstotliwości w systemie.

Charakterystyki statyczne

Charakterystyki statyczne odbiorów są to zależności mocy od napięcia i częstotliwości, czyli: P(U,f) oraz Q(U,f). Jeżeli przyjmiemy, że częstotliwość jest stała wówczas wspomniane charakterystyki przyjmują postać P(U), Q(U) oraz nazywają się charakterystykami napięciowymi Przy stałym natomiast napięciu zależności P(f), Q(f) nazywamy oczywiście charakterystykami częstotliwościowymi Charakterystyki te najczęściej wyraża się w jednostkach względnych:

, (4.1)

za jednostki napięcia i częstotliwości przyjmuje się odpowiednio napięcie znamionowe sieci [U]=U_N oraz częstotliwość znamionową [f]=f_N. Przez moc znamionową i tym samym jednostkę mocy rozumie się moc odbioru przy napięciu i częstotliwości znamionowych, czyli:

[P] = P_N =P(U_N,f_N), [Q] = Q_N = Q(U_N,f_N). Przykład charakterystyk statycznych (napięciowych) odbiorów kompleksowych podano na rysunku 4.1.

Rys.4.1.

Takie zagięcie charakterystyki mocy biernej jest typowe dla odbiorów zawierających silniki asynchroniczne, które przy obniżaniu napięcia zwiększają poślizg, a wskutek tego pobierają większą moc bierną.

W otoczeniu napięcia znamionowego, w zakresie zmiany napięcia +0,1U_zn charakterystyki napięciowe P(u) można wyrazić ogólnym równaniem liniowym:

P₀=a+bu, (4.2)

gdzie: a i b - współczynniki

Błąd wynikający z zastosowania wzoru 4.2, w podanym wyżej zakresie zmiany napięcia, nie przekracza na ogół 1,5%, a więc mieści się w granicach błędu pomiarowego. Przyjęcie liniowej zależności P = f(U) znajduje swoje uzasadnienie również w tym, że w rzeczywistych warunkach pracy systemu elektroenergetycznego odchylenia napięcia wychodzące poza zakres (0,9 - 1,1)U_zn są raczej rzadko spotykane.

Na rysunku 4.2 przedstawiono linearyzację charakterystyki napięciowej.

Rys.4.2.

Przybliżenia liniowe dane są wzorami: p = c_uu + (1-c_u); q = b_uu + (1-b_u)

w których współczynniki kierunkowe prostych są pochodnymi funkcji p, q względem napięcia:

(4.3)

obliczonymi w punkcie linearyzacji u = 1.

Współczynniki te określają wrażliwość mocy odbioru na zmiany napięcia w otoczeniu napięcia znamionowego i nazywane są współczynnikami podatności napięciowej. Wartości współczynników podatności zależą przede wszystkim od składu strukturalnego odbioru, czyli udziału poszczególnych grup odbiorników. Przykładowo dla typowych odbiorów wartości te mieszczą się w następujących zakresach:

-zakłady mechaniczne: c_u = 0,6-0,8; b_u = 2,3-3,1;

-zakłady elektrotechniczne: c_u = 3-4, b_u = 5-8;

-duże miasta z drobnym przemysłem w okresie przedpołudniowym: c_u = 0,6-1,2;

b_u = 2,4-3;

-duże miasta z drobnym przemysłem w okresie wieczornym: c_u = 1,5-1,7, b_u = 1,8-2,6.

Niektórzy autorzy w rozważaniach praktycznych używają pojęcia tzw. współczynnika nachylenia napięciowej charakterystyki pobieranej mocy czynnej, który zezwala na bezpośrednią ocenę względnej zmiany pobieranej mocy przy względnej zmianie napięcia. Współczynnik ten odniesiony do warunków znamionowych, określony jest wzorem 4.4:

, (4.4)

jeśli współczynnik odniesiony jest do rzeczywistej wartości napięcia (U_n) w warunkach normalnej pracy odbioru.

Jak wynika z pierwszego wzoru 4.4, współczynnik α_uzn jest liczbą bezwymiarową. Jeśli wartość α_uzn = 0,6, oznacza to, że na 1% zmiany napięcia w stosunku do poziomu znamionowego pobierana moc czynna zmienia się o 0,6%.

Znajomość udziałów poszczególnych typowych grup odbiorników oraz wartości α_uni dla poszczególnych typowych grup odbiorników - teoretycznie pozwala na analityczne określenie współczynnika α_un dla danego odbioru według wzoru 4.5:

(4.5)

gdzie:

α_uni - współczynnik względnego nachylenia napięciowej charakterystyki pobieranej mocy czynnej i - tej grupy odbiorników wchodzących w skład obciążenia danego odbioru,

P_oni - moc czynna pobierana przez i - tą typową grupę,

P_on - sumaryczna moc czynna pobierana przez dany odbiór.

Dokładne wartości współczynnika α_un otrzymuje się przez doświadczalne zdjęcie napięciowych charakterystyk pobieranej mocy czynnej.

Charakterystyka Q = f(U) może być w zakresie zmiany napięcia (0,7-1,1)U_zn wyrażona równaniem drugiego stopnia o postaci:

Q = a₁ + b₁U +c₁U², (4.6)

w zakresie zmiany napięcia +0,05U_zn charakterystykę tę można z wystarczającą dla praktycznych obliczeń dokładnością określić równaniem liniowym:

Q = a₂ + b₂U (4.7)

Wartości a,b,c są współczynnikami.

W zakładach przemysłowych największy wpływ na ogólny charakter obciążenia mają silniki asynchroniczne.

Moc bierną pobieraną przez silniki asynchroniczne Q_S składa się z mocy biernej magnesowania Q_μ i rozproszenia Q_r:

Q_S = Q_μ + Q_r (4.8)

Moc bierną magnesowania można wyznaczyć z relacji:

(4.9)

gdzie:

U - napięcie na zaciskach silnika,

X_μ - reaktancja magnesowania.

Jeśli pominąć zakrzywienie charakterystyki magnesowania to można przyjąć, że moc bierna magnesowania przy obniżaniu napięcia zmniejsza się z kwadratem napięcia, a przy uwzględnianiu zmiany Xμ zmniejsza się znacznie szybciej.

Rys.4.3. Zależność mocy biernej magnesowania od napięcia. 1-dla X_μ=const, 2-dla X_μ=F(U) przy częstotliwości znamionowej; 3-dla X_μ=F(U) przy częstotliwości f<f_zn.

Równanie 4.9, po przejściu na wielkości względne i przyjęciu za wielkości podstawowe mocy biernej magnesowania pobieranej przy napięciu znamionowym i napięcia znamionowego, przybierze postać:

rQ_μ = _rU² (4.10)

(indeks r umieszczony z lewej strony wielkości oznacza wielkości względne).

Moc bierną rozproszenia pobieraną przez silnik asynchroniczny określa zależność 4.11, wyprowadzona na podstawie uproszczonego schematu zastępczego silnika asynchronicznego, w którym pominięto rezystancję stojana:

(4.11)

gdzie:

s - poślizg silnika,

s_k = R₂/X_z - poślizg krytyczny,

U - napięcie zasilania silnika,

R'₂ - rezystancja wirnika sprowadzona na stronę stojana,

X_z - reaktancja zastępcza silnika.

Niezmiennej wartości częstotliwości parametrami określającymi warunki pracy danego silnika jako elementu systemu są: napięcie zasilające i moment obciążenia. Przy zmianach napięcia zasilania zmianie ulega moment elektromagnetyczny rozwijany przez silnik. Elektromagnetyczny moment obrotowy silnika, przy danej wartości napięcia, określa równanie:

(4.12)

M_maxzn - moment maksymalny rozwijany przez silnik przy napięciu znamionowym.

Ogólne równanie momentu obciążenia w funkcji poślizgu ma postać:

M₀ = M_op + (M_ozn - M_op)(1-s)^k ; (4.13)

gdzie:

M_op - początkowa wartość momentu obciążenia przy obrotach n=0,

M_ozn - znamionowa wartość momentu obciążenia,

k - współczynnik zależności momentu obciążenia od obrotów.

Rozwiązując zagadnienie dla przypadku k = 0, mamy do czynienia ze stałym momentem obciążenia M_o = const. Po pewnych przekształceniach otrzymujemy w jednostkach względnych zależność na moc bierną pobieraną przez silnik asynchroniczny:

(4.14)

gdzie:

; (4.15)

Na podstawie relacji 4.14 można wyznaczyć charakterystykę Q_s = F(U) w kierunku napięć malejących do wartości _rU = , stanowiącej punkt graniczny jej określoności. Rysunek 4.4 przedstawia charakterystykę Q_s = F(U).

Rys. 4.4 Charakterystyka napięciowa statyczna pobieranej mocy biernej-1 i czynnej-2 silnika asynchronicznego.

Na rysunkach 4.5 i 4.6 pokazano napięciowe charakterystyki statyczne mocy biernej silników asynchronicznych obciążonych momentem typu wentylatorowego i momentem stałym. Z porównania podanych charakterystyk wynika, że silniki obciążone momentem wentylatorowym osiągają U_min przy niższych wartościach napięcia zasilania niż silniki obciążone momentem stałym. Ogólnie również można powiedzieć, że im mniejszy jest stopień obciążenia silnika, tym bardziej stroma jest charakterystyka Q_s = F(U), a minimum tej zależności przesuwa się w kierunku malejących wartości napięcia.

Rys.4.5 Rys.4.6

W otoczeniu częstotliwości znamionowej charakterystyki częstotliwościowe p(f), q(f) można zastąpić przybliżeniami liniowymi:

p = c_ff + (1-c_f); q = b_ff + (1-b_f) (4.16)

w których współczynniki kierunkowe są pochodnymi:

, (4.17)

obliczonymi w punkcie linearyzacji f = f_N. Współczynniki te są nazywane współczynnikami podatności częstotliwościowej. O ich wartościach decyduje przede wszystkim skład strukturalny odbioru. Typowe wartości:

-zakłady mechaniczne: c_f ≈ 1,1; b_f = -(2,3-3,1);

-duże miasta z drobnym przemysłem w okresie przedpołudniowym: c_f = 0,8-1,1; b_f ≈-3;

-duże miasta z drobnym przemysłem w okresie wieczornym: c_f = 0,4-0,8; b_f ≈ -2,6.

Dla szerszych zmian napięć charakterystyki napięciowe odbiorów mogą być aproksymowane wielomianami potęgowymi. Są to na ogół wielomiany stopnia nie wyższego niż trzeci. Najczęściej stosuje się wielomiany drugiego stopnia następującej postaci:

p = αu² - (2α -c_u)u + p₀; q = βu² - (2β-b_u)u + q₀; (4.18)

Zaletą stosowania wielomianów potęgowych jest możliwość dobrego odwzorowania zagięcia charakterystyk napięciowych w pobliżu napięć znamionowych, typowego dla obiorów o dużej zawartości małych silników asynchronicznych. Wadą stosowania tych wielomianów potęgowych jest fakt, że na ogół dają one nierealne duże moce przy małych napięciach, a w skrajnym przypadku przy u = 0 otrzymuje się p(u =0) = p₀ ≠ 0, q(u =0) = q₀ ≠ 0, co jak wiadomo jest fizycznie niemożliwe. Zastosowanie takich charakterystyk do symulacji elektromechanicznych stanów nieustalonych wywołanych zwarciami w sieci może spowodować duże trudności numeryczne, zwłaszcza gdy odbiór o wartościach p₀ ≠ 0, q₀ ≠0 znajduje się blisko węzła zwarcia. Z tego względu zaleca się stosowanie aproksymacji dwuodcinkowej, przy czym pierwszej części charakterystyki może odpowiadać admitancja o stałej wartości dołączona do modelu sieci.

Rys.4.7 Aproksymacja dwuodcinkowa 1,2 charakterystyki

Przy braku informacji o kształcie charakterystyk odbiorów, w badaniach elektromechanicznych stanów nieustalonych wywołanych zwarciem w sieci najczęściej korzysta się ze średnich wartości współczynników podatności napięciowej, a charakterystyki odbiorów zastępuje się funkcjami wykładniczymi następującej postaci:

(4.19)

Modele dynamiczne

Modele dynamiczne są to modele które uzależniają zmiany mocy od szybkości zmian napięcia i częstotliwości. W każdej maszynie wirującej jest zmagazynowana pewna energia mechaniczna zależna od częstotliwości w sieci oraz energia magnetyczna zależna od wartości napięcia. Przy zmianach napięcia lub częstotliwości odbiory dostosowują się do nowych warunków, przy czym zgodnie z zasadą ciągłości energii musi odbywać się to na drodze pewnego stanu nieustalonego odpowiadającego bezwładności mas wirujących oraz obwodów elektromagnetycznych. W zależności od kierunku zmian napięcia i częstotliwości może następować pobieranie lub oddawanie energii przez odbiór. Po szybkim zmniejszeniu się częstotliwości w systemie odbiory oddają część swojej energii mechanicznej. Po nagłym zmniejszeniu napięcia odbiory oddają część swojej energii magnetycznej, co ma głównie znaczenie dla przebiegu zmian mocy biernej oraz napięć w trakcie stanu nieustalonego.

Modele dynamiczne można podzielić na trzy grupy, co przedstawia rysunek 4.8:

Rys.4.8

Model pierwszej grupy a) polega na rozdzieleniu mocy odbioru na trzy odbiorniki zastępcze:

M_a - zastępczy silnik asynchroniczny,

M_s - zastępczy silnik synchroniczny;

Y - stała admitancja.

Silniki asynchroniczne i synchroniczne opisuje się równaniami różniczkowymi podobnymi do równań modelu (). Do równań ruchu wirników tych silników wprowadza się zastępcze momenty oporowe w postaci charakterystyk mechanicznych. Mimo dużego skomplikowania (dwa razy po cztery równania różniczkowe plus równania algebraiczne) model ten nie zawsze dobrze odwzorowuje przebieg stanu nieustalonego.

Druga grupa modeli zawiera modele polegające na uzupełnieniu charakterystyk statycznych transmitancjami, których zadaniem jest odwzorowywanie stanu nieustalonego, który powstaje przy szybkim przesuwaniu punktu pracy wzdłuż charakterystyk statycznych. W modelu takim w trakcie stanu nieustalonego zmiany mocy czynnej i biernej są niezależne od siebie, co może być wadą przy pewnych typach odbiorników.

W grupie trzeciej rolę admitancji przejmują równania różniczkowe w postaci zmiennych stanu. W przykładzie pokazanym powyżej zmiennymi wymuszającymi są składowe napięcia we współrzędnych prostokątnych a zmiennymi wyjściowymi - poprawki prądu odbioru w tych samych współrzędnych. Poprawki te dotyczą różnicy między prądem w stanie nieustalonym a prądem wynikającym z charakterystyki statycznej. Zmienne stanu x₁, x₂ nie mają szczególnej interpretacji fizycznej i są zmiennymi pomocniczymi biorącymi udział w stanie nieustalonym.

W praktyce modele dynamiczne są rzadko stosowane z uwagi na trudności związane z uzyskaniem wiarygodnych parametrów tych modeli dla konkretnych odbiorów kompleksowych. W obliczeniach inżynierskich związanych z planowaniem i eksploatacją systemów elektroenergetycznych na ogół nie wykracza się poza przybliżone dane o charakterystykach statycznych.

Model stałej admitancji

W uproszczonych badaniach elektromechanicznych stanów nieustalonych systemu elektroenergetycznego odbiory zastępuje się najczęściej admitancjami. Modele tego typu stosuje się w sytuacjach gdy:

• brak jakichkolwiek informacji o odbiorze,

• duża odległość danego odbioru od miejsca zakłócenia i niewielki wpływ tego na przebieg stanu nieustalonego,

• chęć maksymalnego uproszczenia modelu systemu (kosztem dokładności) w celu uzyskania większej szybkości obliczeń,

• ograniczone możliwości danej metody obliczeniowej.

Rozpatrywany odbiór zastępuje się admitancją:

(4.20)

w którym U₀, S₀ są odpowiednio napięciem i mocą odbioru w zadanym stanie pracy systemu.

W innym dowolnym stanie moc tracona na tej admitancji dana jest wzorem:

(4.21)

stąd w jednostkach względnych przyjmuje się:

(4.22)

czyli:

(4.23)

Oznacza to, że stałe admitancje dobrze odwzorowują odbiory o współczynnikach podatności napięciowej c_u = b_u = 2. W innych przypadkach metoda wprowadza błędy w ocenie stanów nieustalonych.

Zastępowanie odbiorów stałymi admitancjami bardzo ułatwia wszelkie obliczenia i prowadzi do bardzo prostych algorytmów programów badania stabilności i symulacji elektromechanicznych stanów nieustalonych Z tego wzglądu ten prosty model jest chętnie stosowany w praktyce.

LITERATURA

1. J.Machowski S.Bernas „Stany nieustalone i stabilność systemu elektroenergetycznego”

2. Praca zbiorowa pod redakcją A.Boguckiego „Podatność częstotliwościowa i napięciowa systemu elektroenergetycznego i jego elementów”

3. Z.Kremens M.Sobierajski „Analiza systemów elektroenergetycznych”

4. P.Kacejko J.Machowski „Zwarcia w sieciach elektroenergetycznych”

za

_.•

_.•

_.•

a)

b)

a)

wirnik

stojan

c)

a)

b)

---