Fizyka

RUCH JEDNOWYMIAROWY

Punkt materialny - ciało obdarzone masą, ale nie posiadające objętości (nie może się obracać ani wykonywać drgań).

Prędkość punktu materialnego - wielkość, która określa, jak szybko zmienia się położenie tego punktu w czasie.

Prędkość średnia - zależy jedynie od całkowitego przemieszczenia i całkowitego czasu przemieszczenia

Prędkość stała - jeśli prędkość średnia między dwoma dowolnymi punktami drogi jest taka sama co do wartości i kierunku

Prędkość chwilowa - granica, do której dąży stosunek przyrostu drogi Δs do przyrostu czasu Δt, gdy Δt→0

Ruch jednostajny

Prędkością ruchu jednostajnego nazywamy stosunek przebytej drogi do czasu potrzebnego na jej przebycie.

Przyspieszenie punktu materialnego - informuje o szybkości zmian jego prędkości w czasie

Przyspieszenie średnie:

Przyspieszenie stałe - gdy prędkość zmienia się jednostajnie w czasie

Przyspieszenie chwilowe:

Równania ruchu jednostajnego (a = 0) i jednostajnie zmiennego:

- ruch przyspieszony

- ruch opóźniony

Swobodny spadek ciał

Gdy nie ma oporu powietrza, wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem. Spadek swobodny jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Przyspieszenie swobodnie spadających ciał jest przyspieszeniem ziemskim, zwanym grawitacją - g.

Równania opisujące spadek swobodny:

g = 9,81 m/s²

Ruch jednostajny po okręgu

a - przyspieszenie dośrodkowe

Kierunek prędkości jest w każdym punkcie prostopadły do wektora przyspieszenia

T - okres (czas obiegu okręgu)

ω - prędkość kątowa

RUCH NA PŁASZCZYŹNIE

Rzut ukośny (przykł. ruch na płaszczyźnie)

Ruch na płaszczyźnie:

- wzdłuż osi OX:

- wzdłuż osi OY:

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

I zasada dynamiki Newtona (zasada bezwładności):

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Jeżeli na ciało nie działa żadna wypadkowa siła, to jego przyspieszenie jest równe zeru.

Dynamika punktu materialnego

1. mamy ciało o znanych właściwościach

2. nadajemy mu określoną prędkość początkową

3. pytamy, jaki będzie jego ruch

Problem ten rozwiązujemy za pomocą mechaniki klasycznej zdefiniowanej przez Newtona w postaci trzech praw

Siła

Jeśli ciało wzorcowe (o masie 1 kg) uzyskuje pod wpływem siły w jego otoczeniu w jego otoczeniu przyspieszenie a, to można powiedzieć, że ciała te wywierają na nie siłę F, przy czym wartość liczbowa F jest równa wartości liczbowej a.

Jeżeli na ciało działa równocześnie kilka sił, każda z tych sił nadaje ciału niezależnie pewne przyspieszenie. przyspieszenie wypadkowe równe jest wektorowej sumie tych przyspieszeń.

Masa

m₀ - masa wzorcowa

a₀ - przyspieszenie ciała o masie wzorcowej

a - przyspieszenie ciała o masie m

(a i a₀ uzyskane, gdy między ciałami m i m­₀ umieścimy sprężynę)

Masę można traktować jako ilościową miarę bezwładności.

II prawo Newtona

Przyspieszenie ciała a jest wprost proporcjonalne do wypadkowej siły F działającej na to ciało i mające kierunek zgodny z kierunkiem działającej siły oraz jest odwrotnie proporcjonalne do masy ciała m.

III prawo Newtona

Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą, to ciało B działa na ciało A siłą o tej samej wartości, tym samym kierunku ale przeciwnym zwrocie.

Rodzaje oddziaływań - sprężyste, elektryczne, magnetyczne, grawitacyjne, tarcie itd.

Ciężar

Ciężar ciała W to siła grawitacyjna z jaką Ziemia przyciąga to ciało.

W = m ⋅ g

W - wielkość wektorowa

m - wielkość skalarna

g - przyspieszenie ziemskie

Ciężar ciała o masie m jest różny w różnych punktach na powierzchni Ziemi, ponieważ g zmienia się od punktu do punktu.

Tarcie

Gdy jedno ciało ślizga się po powierzchni drugiego, oba te ciała działają wzajemnie na siebie siłą tarcia mającą kierunek styczny do powierzchni zetknięcia się tych ciał.

Siła tarcia działająca na każde z tych ciał zawsze skierowana jest przeciwnie do kierunku jego ruchu względem drugiego ciała.

Siła tarcia przeciwstawia się ruchowi i nie powoduje ruchu.

Siła tarcia statycznego - to siła działająca między powierzchniami nieruchomymi względem siebie. Maksymalna siła tarcia statycznego równa jest najmniejszej sile, jaka należy przyłożyć do jednego z ciał (jednej z powierzchni), aby je ruszyć.

Siła tarcia kinetycznego (dynamicznego) - to siła działająca między powierzchniami poruszającymi się względem siebie.

Współczynnik tarcia statycznego μ_s (dla danej powierzchni) - stosunek maksymalnej wartości siły tarcia statycznego do wartości siły normalnej.

F_s ≤ μ_s N

Współczynnik tarcia statycznego μ_s - to stosunek wartości siły tarcia kinetycznego do wartości siły normalnej.

F_k = μ_k N

PRACA I ENERGIA

Praca i energia

Pracę W wykonaną przez stałą siłę F przy przemieszczeniu punktu materialnego po linii prostej w kierunku działanie tej siły definiujemy jako iloczyn siły F i drogi d przebytej prze ten punkt w czasie ruchu.

Założenia: ₁₎ F = const

₂₎ po linii prostej

₃₎ w kierunku działanie siły

W = F⋅d [N⋅m = J]

W - wielkość skalarna

Jeśli przeniesienie punktu nie odbywa się w kierunku siły, to pracę W definiujemy jako iloczyn składowej tej siły F w kierunku ruchu punktu i drogi d przebytej przez ten punkt.

(F⋅cosα) - składowa siły F

Całkowita praca W wykonaną przez siłę zmienną F podczas przemieszczenia ciała z położenia x₁ do położenia x₂ równa jest całce oznaczonej od x₁ do x_­2 funkcji F.

- przypadek jednowymiarowy

- przypadek dwuwymiarowy

Energią kinetyczną E_k nazywamy połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości v.

jedn. energii = jedn. pracy

[J]

Pracę wykonaną przez wypadkową siłę przy przemieszczaniu punktu materialnego równa się zawsze energii kinetycznej tego punktu.

Twierdzenie o pracy i energii

Energia kinetyczna ciała będącego w ruchu jest równa pracy, jaką może wykonać to ciało, zanim się zatrzyma.

Moc

Moc P jest szybkością wykonywania pracy i definiuje się ją wzorem:

P - moc średnia

W - praca całkowita

t - całkowity przedział czasu

Moc chwilowa

Jednostką mocy jest wat:

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

Siły zachowawcze.

Definicja I

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, jest równa zeru. Siła jest niezachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po drodze zamkniętej, nie jest równa zeru.

Definicja II

Siłę nazywamy zachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się pomiędzy dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od kształtu łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym poruszającym się pomiędzy dwoma punktami, zależy od kształtu drogi łączącej te punkty.

Powyższe definicje są równoważne i używa się jednej z nich w zależności od tego, która jest wygodniejsza.

Siły zachowawcze:

- siła sprężysta

- siła ciężkości

- siła elektrostatyczna

Siły niezachowawcze:

- siła tarcia (rozprasza energię)

- siła indukcji działająca w betatronie

Tylko wówczas, gdy nie działają siły niezachowawcze albo kiedy pomijamy pracę przez nie wykonaną, możemy przyjąć założenie o zachowaniu energii mechanicznej.

W przypadku sił tarcia energia mechaniczna zostaje przekształcona w ciepło. Wytworzona energia cieplna jest równa pracy wykonanej przez ciało.

ΔE + Q = 0 (suma energii mechanicznej i cieplnej układu nie zmienia się).

Energia potencjalna.

Energia potencjalna zależy tylko od położenia punktu materialnego. Nie można jej przyporządkować ciału odosobnionemu, lecz należy ją traktować jako własność całego układu.

Każda zmiana energii kinetycznej (E_k) układu jest równoważona przez zmianę energii potencjalnej (E_p) układu, tak że ich suma pozostaje stała przez cały czas trwania ruchu:

E_k + E_p = const

W przypadku ruchu jednowymiarowego, gdy punkt materialny porusza się od x₀ do x, energię potencjalną możemy obliczyć:

gdzie F(x) - siła zachowawcza

Można też zapisać zależność między siłą a energią potencjalną:

Energię potencjalną ciała znajdującego się w punkcie odniesienia, czyli E_p(x₀), przyjmujemy jako równą zero.

Energia potencjalna dla siły grawitacyjnej:

E_p = mgh

Grawitacyjna energia potencjalna na powierzchni Ziemi jest równa zeru i wzrasta liniowo wraz z wysokością h.

Energia potencjalna dla siły (sprężystej) przywracającej równowagę rozciągniętej sprężyny:

k - współczynnik sprężystości sprężyny

x - odległość, na jaką rozciągnięto sprężynę

Energia kinetyczna ciała jest równa pracy, którą może ono wykonać do chwili zatrzymania się. Wyraża się ją przy pomocy wzoru E_k = ½mv².

Energia potencjalna układu ciał jest równa pracy, którą ten układ może wykonać zmieniając względne położenie swoich części, czyli zmieniając swój stan.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Suma energii potencjalnej i kinetycznej pozostaje wielkością stałą podczas ruchu punktu materialnego.

E - całkowita energia mechaniczna

Zasada zachowania energii.

Całkowita energia, tzn. suma energii kinetycznej, potencjalnej, cieplnej i wszystkich innych rodzajów energii nie zmienia się. Energia może być przekształcona z jednej formy energii w inną, ale nie może być stwarzana, ani zniszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.

E_k + E_p + Q + (inne formy energii) = const

ΔE_k + ΔE_p + ΔQ + (Δ inne formy energii)=0

Energia kinetyczna i potencjalna jest zachowywana tylko w przypadku działania sił zachowawczych. Energia całkowita jest zachowywana zawsze.

Równoważność masy i energii

m₀ - masa spoczynkowa ciała

v - prędkość ciała

c - prędkość światła 3⋅10⁸ m/s

Zasada równoważności masy i energii mówi, że każda ilość dowolnego rodzaju energii dostarczona ciału powoduje zwiększenie jego masy

Postać uogólnionej zasady zachowania energii:

- całkowita energia spoczynkowa

- suma wszystkich innych rodzajów energii

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Środek masy.

Środek masy to punkt ciała, który porusza się w taki sam sposób, w jaki poruszałby się pojedynczy punkt materialny poddany tym samym siłom zewnętrznym. Ruch środka masy ciała jest zwany jest ruchem postępowym tego ciała.

Środek masy dwóch mas m₁ i m₂ leży na prostej łączącej m₁ i m₂ w punkcie C, w odległości x_śr.m. od początku układu.

Całkowita masa układu:

Środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od ich wzajemnego rozmieszczenia.

Jeżeli sumowanie zastąpimy przez całkowanie, to .

Dla r_śr.m.= 0 (środek masy w początku układu odniesienia) całka ∫ rdm = 0. Ta całka i odpowiadająca jej suma nazywana jest pierwszym momentem masy układu.

Ruch środka masy.

Iloczyn całkowitej masy układu punktów materialnych przez przyspieszenie jego środka masy równa się sumie wektorowej wszystkich sił działających na układ. Ma_śr.m. = F₁ + F₂ + ... + F_n

Jeżeli pominiemy siły wewnętrzne działające między punktami materialnymi (zgodnie z III zasadą Newtona siły te będą się znosić), to będą działać tylko siły zewnętrzne i równanie uprości się:

Ma_śr.m. = F_zew.

Środek masy układu punktów porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.

Pęd punktu materialnego.

Pędem punktu materialnego nazywamy wektor p zdefiniowany jako iloczyn jego masy m oraz prędkości v, czyli

p = mv Pęd jest wielkością wektorową.

Obecnie II zasada Newtona brzmi: Zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły działającej na to ciało i jest skierowana zgodnie z tą siłą.

W teorii względności, dla pojedynczego punktu materialnego, druga zasada dynamiki w postaci F = ma jest nieprawdziwa. Jednak w postaci F = dp/dt nadal obowiązuje, jeżeli pęd punktu materialnego zdefiniujemy nie jako m₀v, lecz jako ,

a z tego definicja masy:

Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy.

Zasada zachowania pędu.

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, wtedy całkowity wektor pędu pozostaje stały.

Całkowity pęd układu może być zmieniony tylko przez siły zewnętrzne działające na ten układ.

Pędy poszczególnych punktów układu mogą ulegać zmianom, ale suma tych pędów, jeżeli na układ nie działa żadna wypadkowa siła zewnętrzna, jest stała.

ZDERZENIA

Zderzenia.

Siły, które działają przez czas krótki w porównaniu z czasem obserwacji układu, nazywamy siłami impulsowymi

Cechy zderzenia:

- możemy wyraźnie rozróżnić czas „przed zderzeniem” i „po zderzeniu”

- prawa zachowania - pędu i energii - pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach, które zaszły przed i po zderzeniu

Pęd i popęd.

Zmiana pędu ciała podczas zderzenia:

i - początkowy

f - końcowy

Całka siły w przedziale czasu, w którym działa siła, nazywamy popędem siły J. Zmiana pędu ciała pod wpływem działającej siły jest równa popędowi siły.

Zasada zachowania pędu podczas zderzeń.

Jeżeli nie występują siły zewnętrzne, to całkowity pęd układu nie ulega zmianie podczas zderzenia. Siły impulsowe działające podczas zderzenia są siłami wewnętrznymi, które nie mają wpływu na całkowity pęd układu.

Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej.

Zderzenie sprężyste - gdy energia kinetyczna jest w zderzeniu zachowana.

Zderzenie niesprężyste - energia nie jest zachowana.

Zderzenie całkowicie niesprężyste - dwa ciała po zderzeniu łączą się ze sobą

Korzystając z zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii:

obliczamy: v_1i − v_2i = v_2f − v_1f

W zderzeniu sprężystym zachodzącym w przestrzeni jednowymiarowej względna prędkość zbliżania się cząstek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości oddalania się cząstek po zderzeniu.

Możemy obliczyć:

Szczególne przypadki:

1 - gdy m₁ = m₂, to v_1f = v_2i oraz v_2f = v_1i . ⇒ W przestrzenie jednowymiarowej, przy sprężystym zderzeniu dwóch cząstek o równych masach, cząstki wymieniają prędkości podczas zderzenia.

2 - cząstka o masie m₂ początkowo spoczywa (v_2i = 0)

gdy m₁ = m₂, to v_1f = 0, v_2f = v_1i

gdy m₂ jest dużo większe niż m₁, to:

v_1f ≅ −v_1i oraz v_2f ≅ 0

gdy m₂ jest dużo mniejsze niż m₁, to:

v_1f ≅ v_1i oraz v_2f ≅ 2 v_1i

Podczas zderzenia niesprężystego dwie cząstki pozostają po zetknięciu ze sobą, uzyskując końcową wspólną prędkość v_f.

Zderzenia w przestrzeni dwu- i trójwymiarowej.

Dwie cząstki m₁ i m₂ ulegają zderzeniu. Początkowo m₂ spoczywa (cząstka-tarcza). Odległość b - parametrem zderzenia. (miara bezpośrednia zderzenia). Gdy b = 0, to zderzenie jest czołowe.

Możemy ułożyć trzy niezależne równania:

- dla składowej x

- dla składowej y

- z zasady zachowania energii

Ruch po zderzeniu możemy opisać tylko wtedy, gdy znamy jedną z wielkości po zderzeniu - v_1f, v_2f, α₁ lub α₂.

KINEMATYKA RUCHU OBROT.

Ruch obrotowy bryły sztywnej

Bryła sztywna porusza się czystym ruchem obrotowym, jeśli każdy punkt tego ciała porusza się po okręgu, a środki wszystkich okręgów leżą na linii prostej zwanej osią obrotu.

Bryła sztywna - ciało nieodkształcone pod wpływem przyłożonej siły, ma stałą gęstość, zachowuje swój kształt i objętość, jeśli działające na nią siły nie są zbyt duże.

W ruchu obrotowym występuje:

- prędkość kątowa ω - przyrost drogi kątowej do przyrostu czasu Δt, w którym została zakreślona ta droga

Znak zależy od kierunku obrotu bryły.

- przyspieszenie kątowe α - przyrost prędkości kątowej do przyrostu czasu, w którym ten przyrost zachodzi

Ruch obrotowy bryły nazywamy jednostajnym, gdy prędkość kątowa nie zależy od czasu. Dla takiego czasu:

Ruch obrotowy bryły nazywamy jednostajnie zmiennym, gdy przyspieszenie kątowe α jest stałe. Dla takiego ruchu:

Ruch ze stałym liniowym lub kątowym przyspieszeniem

ruch postępowy ruch obrotowy

(stały kier. ruchu) (nieruch. oś obrotu)

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Punkt materialny o masie m i odległości r od osi obrotu porusza się po okręgu o promieniu r z prędkością kątową ω dookoła tej osi i ma prędkość liniową v = ωr. Jego E_k wynosi zatem :

Całkowita E_k ciała jest sumą energii kinetycznej wszystkich jego punktów. Jeżeli ciało jest sztywne, ω jest stałe dla wszystkich punktów materialnych. Promień r może być różny dla różnych punktów. Stąd całkowita energia kinetyczna K obracającego się ciała:

Moment bezwładności - I

Moment siły

Jeżeli siła F działa na pojedynczy punkt materialny znajdujący się w punkcie P, którego położenie względem punktu 0 inercjalnego układu odniesienia reprezentuje wektor r, to moment siły M względem początku układu 0 definiuje się jako:

M jest wektorem, jego wartość bezwzględna wynosi: M = r⋅F⋅sinθ

gdzie θ - kąt między r i F

Kierunek wektora momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez r i F, a zwrot związany z regułą prawej ręki dla iloczynu wektorowego dwóch wektorów.

Jeżeli zgięte palce prawej ręki przesuwają wektor r w kierunku wektora F poprzez mniejszy kąt, to duży palec wskaże zwrot wektora M.

Moment siły względem osi obrotu równy jest zeru dla sił leżących w jednej płaszczyźnie z osią obrotu.

Moment pędu

Moment pędu l punktu materialnego względem początku układu 0 definiujmy:

p - pęd

l jest wektorem, jego wartość obliczamy:

gdzie θ - kąt między r i p.

Kierunek jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i p, a jego zwrot znajdujemy stosując regułę prawej ręki.

Moment pędu bryły względem osi obrotu (z) można wyrazić poprzez moment bezwładności i prędkość kątową:

L_z = ωI L - całkowity moment pędu

Równanie ruchu obrotowego:

Zmiana momentu pędu punktu materialnego w jednostce czasu jest równa momentowi siły działającej na ten punkt.

ruch prostoliniowy	ruch obrotowy dookoła osi nieruch.
przemieszczenie x	przem. kątowe θ
prędkość	prędkość kątowa
przyspieszenie	przysp. kątowe
masa (bezwładności) M	moment bezwładn. I
siła F = m⋅a	moment siły M = I⋅α
praca W = ∫ Fdx	praca W = ∫ Mdθ
energia kinetyczna	energia kinetyczna
moc P = F⋅v	moc P = M⋅ω
pęd p = M⋅v	moment pędu p = I⋅ω

Najważniejsze równania dla ruchu obrotowego:

I - definicje

Moment siły względem punktu 0 spowodowany wypadkową siłą F działającą na punkt materialny

Wypadkowy moment względem punktu 0 sił zewnętrznych działających na układ punktów materialnych

Moment pędu punktu materialnego względem punktu 0

Wypadkowy moment pędu układu punktów materialnych względem punktu 0

II - równania

Równanie ruchu pojedynczego punktu materialnego, na który działa siła o momencie M. Jest to równanie odpowiadające równaniu F = dp/dt. Równanie M = dl/dt obowiązuje tylko wówczas, gdy M i l są mierzone względem dowolnego punktu 0 nieruchomego w inercjalnym układzie odniesienia.

Równanie ruchu układu punktów materialnych, na który działają siły zewnętrzne o momencie wypadkowym M_zew. Równanie to odpowiada równaniu F = dP/dt. Równanie M_zew = dL/dt obowiązuje tylko wówczas, gdy M_zew i L są mierzone względem:

a) dowolnego punktu 0 nieruchomego w inercjalnym układzie odniesienia

b) środka masy układu

III specjalny przypadek ruchu obrotowego ciała sztywnego dookoła osi nieruchomej w inercjalnym układzie odniesienia

M = Iα

α musi leżeć wzdłuż osi obrotu; I musi odnosić się również do tej samej osi, a M musi być składową skalarną wektora M_zew skierowanego wzdłuż tej samej osi. Równanie to jest odpowiednikiem równania F = Ma dla ruchu prostoliniowego

L = Iω

ω musi leżeć wzdłuż osi obrotu; I musi odnosić się również do tej samej osi, , a L musi być skalarną składową wzdłuż tej samej osi całkowitego momentu pędu. Jeśli oś obrotu jest osią symetrii, to wektory L i ω są skierowane wzdłuż tej samej osi. Równanie to jest odpowiednikiem równania P = Mv dla ruchu prostoliniowego

Zasada zachowania momentu pędu

Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi 0, całkowity moment pędu układu (L) pozostaje stały.

zatem L jest wektorem stałym.

Dla układu n punktów materialnych całkowity moment pędu względem pewnego punktu wynosi:

L = l₁ + l₂ + ... + l_n

Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi 0, to:

L = const = L₀ gdzie L₀ jest stałym wektorem całkowitego momentu pędu.

Momenty pędów poszczególnych punktów materialnych mogą się zmieniać, lecz ich suma wektora L₀ pozostaje stała, gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych wynosi 0.

Jeżeli w czasie ruchu o momencie pędu L_z = ωI = const maleje moment bezwładności I układu punktów materialnych, musi wzrosnąć prędkość ruchu obrotowego ω.

RÓWNOWAGA CIAŁ SZTYWNYCH

Warunki równowagi punktu materialnego i bryły sztywnej

Aby bryła sztywna pozostała w równowadze, muszą być spełnione następujące warunki:

tzn. wypadkowa sił zewnętrznych musi być równa 0 oraz całkowity moment sił zewnętrznych względem dowolnego punktu także musi być równy zero. Warunkiem koniecznym tego, aby prędkość ruchu postępowego bryły sztywnej była 0, jest znikanie sumy wszystkich sił zewnętrznych działających na bryły (1). Warunkiem koniecznym tego, aby prędkość ruchu obrotowego była zerem, jest znikanie wypadkowego momentu wszystkich sił zewnętrznych (2) względem dowolnych osi działających na bryłę.

GRAWITACJA

Pole grawitacyjne - właściwość przestrzeni wokół ciała o masie M, zwanego źródłem pola, polegająca na tym, że na każde ciało obdarzone masą działa siła (siła grawitacyjna).

Prawo powszechnego ciążenia - wszelkie ciała obdarzone masą przyciągają się wzajemnie siłami grawitacyjnymi. Wartość siły wzajemnego oddziaływania grawitacyjnego (F_g) dwu ciał jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas (m₁ i m₂) tych ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości (r) między ich środkami.

G - stała grawitacyjna, liczbowo równa sile, z jaką oddziaływują na siebie dwa ciała o masie 1 kg każde, oddalone od siebie o 1m.

Prawa ruchu planetarnego Keplera

I prawo Keplera (prawo orbit)

Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym w jednym z ognisk elipsy znajduje się Słońce.

II prawo Keplera (prawo pól)

Prędkość kołowa planety jest stała, co oznacza, że wektor położenia planety zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola (w ruchu planet zachowany jest moment pędu).

III prawo Keplera (prawo okresów)

Stosunek kwadratu okresu (T) obiegu planety wokół Słońca i sześcianu średniej odległości (R) od Słońca jest dla wszystkich planet Układu Słonecznego jednakowy. (Inaczej: drugie potęgi okresów obiegu planet wokół Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca):

CIECZE I GAZY

Ciecze - posiadają własną objętość, więc charakteryzują się sprężystością objętości. Nie posiadają własnego kształtu (przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują), więc sprężystość postaci wynosi zero. W stanie nieważkości przyjmują kształt kuli.

Gazy - nie posiadają własnego kształtu (przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują), jak również własnej objętości (zajmują całą dostępną objętość). Posiadają sprężystość objętości.

Naczynia połączone - jest to układ dwu lub więcej naczyń połączonych tak, by możliwy był między nimi swobodny przepływ cieczy. Po napełnieniu naczyń połączonych cieczą jednorodną (w części łączącej naczynia powinna znajdować się ciecz) obserwujemy takie ich wypełnienie, że powierzchnie swobodne tych cieczy znajdują się na jednakowym poziomie.

Równowaga cieczy w naczyniach połączonych wynika z równowagi ciśnień w tych naczyniach, a nie z równowagi ich ciężarów.

Pływanie ciał

- jeżeli średnia gęstość ciała jest większa od gęstości od gęstości cieczy (ρ₁ > ρ₂), to ciało takie będzie w danej cieczy tonąć

- jeżeli średnia gęstość ciała jest równa gęstości cieczy (ρ₁ = ρ₂), to ciało będzie pływało w dowolnej głębokości (będzie unosić się między powierzchnią a dnem)

- jeżeli średnia gęstość ciała jest mniejsza od gęstości cieczy (ρ₁ < ρ₂), to ciało takie będzie wypływało na powierzchnię cieczy, będzie na niej pływać, zanurzając się tylko częścią swojej objętości. Stosunek objętości zanurzonej części ciała jest równy stosunkowi gęstości ciała do gęstości cieczy.

Ciśnienie

Jest to wartość siły prostopadłej działającej na jednostkę powierzchni.

Ciśnienie hydrostatyczne

ρ - gęstość cieczy

h - wysokość słupa cieczy

Całkowite ciśnienie panujące w cieczy

p₀ - ciśnienie atmosferyczne

p_h - ciśnienie hydrostatyczne

Prawo Pascala

Ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest takie samo w każdej części płynu i na ściankach naczynia.

Prawo Archimedesa

Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu skierowana ku górze i równa co do wartości ciężarowi wypartej przez to ciało cieczy

F_w - siła wyporu

ρ -gęstość cieczy

V - objętość zanurzonego ciała

Przepływ płynów

- ustalony (laminarny) lub nieustalony

- wirowy lub bezwirowy

- ściśliwy lub nieściśliwy

- lepki lub nielepki

(lepkość powoduje pojawienie się sił stycznych między warstwami płynu, poruszającymi się względem siebie - jakby siły tarcia)

Równanie ciągłości

Masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez każdy przekrój strugi musi być taka sama: (ρAV = const)

v_x, v_y, v_z - składowe prędkości płynu

ρ -gęstość cieczy

(W przepływie ustalonym ciśnienie jest największe tam, gdzie prędkość jest najmniejsza)

Równanie Bernoulliego

równanie opisujące przepływ niezaburzony cieczy doskonałej wewnątrz rury o zmiennym przekroju i położeniu:

r - gęstość cieczy

h - wysokość środka przekroju nad poziomem odniesienia

v- prędkość dla danego przekroju

p - ciśnienie w miejscu danego przekroju.

Może być użyte do wyznaczania prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnień.

Dynamiczna siła nośna - przykład zastosowania równania Bernoulliego

Jest to siła działająca na takie ciała jak skrzydło samolotu, narta wodna lun kręcąca się piłka palantowa, i która wywołana jest ruchem tych ciał w jakimś płynie. Trzeba ją odróżnić od statycznej siły nośnej, która jest siłą wyporu i działa zgodnie z prawem Archimedesa (np. siła działająca na balon)

Działaniu tej siły towarzyszy niesymetryczny rozkład linii prądu - zagęszczone nad skrzydłem samolotu, a rozrzedzone pod skrzydłem. Taką cyrkulację uzyskuje się poprzez odpowiednie ukształtowanie skrzydła. Zgodnie z równaniem Bernoulliego ciśnienie nad skrzydłem jest mniejsze niż pod skrzydłem i dzięki temu powstaje dynamiczna siła nośna skierowana ku górze.

DRGANIA

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Ponieważ są to funkcje harmoniczne, ruch periodyczny nazywany jest ruchem harmonicznym.

Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to taki ruch nazywamy drgającym (wibracyjnym lub oscylacyjnym). Ruch oscylacyjny np. ruch wahadła zegara, ciężarka na końcu sprężyny, ruch atomów w cząsteczkach itp.

Ze względu na tarcie rozpraszające energię, ruch wahadła stopniowo zanika, a struna skrzypiec po jakimś czasie przestaje drgać. Gdy uwzględnimy istnienie sił tłumiących, ruch okresowy nazywamy ruchem harmonicznym tłumionym. Aby usunąć efekt tłumiący należy dostarczyć energię układowi drgającemu, co kompensuje rozpraszanie energii z powodu tarcia. Ruchem drgającym można także poruszać fale radiowe, mikrofale i światło widzialne, które są drgającymi wektorami pola elektrycznego i magnetycznego (drgania elektromagnetyczne).

Okresem ruchu harmonicznego T jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu (najkrótszy czas, po upływie którego ruch zaczyna się powtarzać).

Częstością ruchu ν jest liczba drgań (cyklów) na jednostkę czasu. Częstość jest odwrotnością okresu.

Jednostką częstości jest jeden cykl na sekundę lub 1 herc [Hz].

Położeniem równowagi w ruchu drgającym nazywamy położenie, w którym na punkt materialny nie działa siła wypadkowa. Przemieszczenie (wychylenie liniowe lub kątowe) jest to odległość (liniowa lub kątowa) drgającego punktu materialnego od położenia równowagi w dowolnej chwili.

Punkt materialny podlegający ruchowi harmonicznemu przechodzi tam i z powrotem przez punkt położenia równowagi, w którym jego energia potencjalna osiąga wartość minimalną. Siła działająca na punkt materialny w dowolnym jego położeniu daje się określić z funkcji energii potencjalnej przez równanie:

x - punkty graniczne

W ruchu harmonicznym położenie równowagi jest zawsze położeniem równowagi trwałej. Całkowita energia mechaniczna E drgającego punktu materialnego jest sumą jego energii kinetycznej i potencjalnej E = E_k + E_p gdzie E pozostaje stałe, jeżeli nie działają siły niezachowawcze, takie jak siła tarcia.

Oscylator harmoniczny

Punkt materialny porusza się tam i z powrotem wokół położenia równowagi. Funkcja energii potencjalnej zmienia się z kwadratem wychylenia x:

k - współczynnik sprężystości lub stała sprężystości

Siła działająca na punkt materialny wynosi:

Oscylujący punkt materialny nosi nazwę prostego oscylatora harmonicznego, a jego ruch nazywamy ruchem harmonicznym prostym. W ruchu takim energia potencjalna zmienia się jak kwadrat przemieszczenia, a siła działająca na punkt jest proporcjonalna do przemieszczenia, lecz ma kierunek przeciwny. W ruchu harmonicznym prostym granice wychyleń są jednakowe po obydwu stronach położenia równowagi. Wartość bezwzględną maksymalnego przemieszczenia (wychylenia), nazywamy amplitudą ruchu harmonicznego prostego.

Ciało o masie m przyczepione do idealnej sprężyny o współczynniku sprężystości k i mogącej się swobodnie poruszać po doskonale gładkiej powierzchni jest przykładem prostego oscylatora harmonicznego. Ruch drgający masy jest ruchem harmonicznym prostym.

Do wzoru F = ma za siłę podstawimy −kx, a na miejsce przyspieszenia a drugą pochodną przemieszczenia względem czasu:

Otrzymujemy:

Aby rozwiązać to równanie należy znaleźć taką zależność przemieszczenia x od czasu t, aby równanie było spełnione. Równanie to nazywamy równaniem ruchu oscylatora harmonicznego prostego.

Zagadnienie prostego oscylatora harmonicznego jest ważne z powodów:

- drgania mechaniczne o małej amplitudzie można sprowadzić do drgań harmonicznych prostych albo do kombinacji tych drgań

- prosty oscylator harmoniczny ilustruje właściwości charakterystyczne dla wielu rodzajów układów fizycznych (w akustyce, optyce, mechanice itp.)

Prawo Hooke'a

F = −kx

Dotyczy sprężyn i innych ciał sprężystych pod warunkiem, że deformacja nie jest za duża. Jeżeli deformacja ciała stałego przekracza pewną granicę (granicę sprężystości), nie wróci ono do swego poprzedniego kształtu po ustaniu siły odkształcającej.

Udowodnienie wzoru:

x - rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego

Okres ruchu:

ω - częstość kołowa (kątowa)

RUCH FALOWY

Fale powstające w ośrodkach sprężystych, których przykładem są fale dźwiękowe rozchodzące się w powietrzu, nazywamy falami mechanicznymi. Powstają one w wyniku wychylenia jakiegoś ośrodka sprężystego z normalnego położenia, będącego położeniem równowagi, co w następstwie powoduje drganie fragmentu wokół tego położenia. Dzięki sprężystym właściwościom ośrodka drgania te przekazywane są kolejno do coraz dalszych jego części i w ten sposób zaburzenie (fala) przechodzi przez cały ośrodek.

Rodzaje fal

Fale rozróżniamy obserwując, jaki kąt tworzy kierunek ruchu cząstek materii z kierunkiem rozchodzenia się samych fal:

- fala poprzeczna - ruchy cząstek materii przenoszącej falę są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się tej fali

- fale podłużne - cząstki przenoszące falę mechaniczną poruszają się do przodu i do tyłu wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali (np. fale dźwiękowe w ośrodku gazowym).

Fale biegnące wzdłuż liny lub sprężyny są jednowymiarowe. fale powierzchniowe lub zmarszczki na wodzie są dwuwymiarowe. Fale dźwiękowe oraz fale wybiegające radialnie z małego źródła są trójwymiarowe.

Dla danej fali periodycznej wprowadzamy powierzchnię, których wszystkie punkty mają tę samą fazę drgań. Powierzchnie takie nazywamy powierzchniami falowymi albo czołami fali. Każdą linię prostą prostopadłą do czoła fali i wskazująca kierunek ruchu fali nazywamy promieniem fali.

Powierzchnie falowe mają różne kształty:

- fala płaska - gdy rozchodzi się tylko w jednym kierunku

- fala kulista - rozchodzi się we wszystkich kierunkach wychodzących z punktu będącego źródłem fali

Równanie krzywej, gdy t = 0

y = f(x) t = 0

y - przemieszcz. poprzeczne w punkcie x

Równanie krzywej po czasie t (fala przesuwa się na odległość vt w prawo, gdzie v to stała prędkość rozchodzenia się fal):

y = f(x − vt) t = t

Równanie fali biegnącej w lewo:

y = f(x + vt) t = t

Równanie na ciąg fal w t = 0

y_m - amplituda sinusoidy

y - wychylenie poprzeczne

λ - długość fali danego ciągu falowego

Długość fal reprezentuje odległość między dwoma najbliższymi czołami fali.

Równanie po przesunięciu w prawo:

Okres T jest czasem, w którym fale przebiegają odległość równą jednej długości fali λ. λ = vT

k - liczba falowa; ω - częstość kołowa

przesunięcie w prawo

przesunięcie w lewo

Najogólniejsze wyrażenie dla fali sinusoidalnej przesuwającej się w prawo:

ϕ - stała fazowa lub faza początkowa

Zasada superpozycji

Dwie (lub więcej) fale mogą przebiegać ten sam obszar przestrzeni niezależnie od siebie. Fale biegną niezależnie jedna od drugiej - oznacza to, że przemieszczenie dowolnej cząstki w ustalonej chwili czasu jest po prostu sumą przemieszczeń, które wywołałyby poszczególne fale. Ten proces wektorowego dodawania przemieszczeń nazywamy superpozycją.

Prędkość fal

F - siła (naprężenia liny)

μ - masa przypadająca na jednostkę długości liny

M - masa; L - długość; T - czas

Długość fali

v - prędkość

f - częstość

DŹWIĘK

Fale dźwiękowe są podłużnymi falami mechanicznymi. Mogą się rozchodzić w ciałach stałych, cieczach, gazach.

Falami dźwiękowymi nazywamy fale o takich częstościach, które w działaniu na ludzkie ucho i mózg wywołują wrażenia słyszalne. Zakres słyszalny 20-20000 Hz.

Podłużne fale mechaniczne o częstościach niższych od częstości słyszalnych to infradźwięki, a o częstościach wyższych - ultradźwięki.

Prędkość rozchodzenia się impulsu podłużnego w ośrodku:

B - moduł ściśliwości lub moduł sprężystości objętościowej

ρ₀ - gęstość płynu na zewnątrz strefy zagęszczenia

Δp - stosunek przyrostu ciśnienia wywieranego na ciało

−ΔV/V - zmiana objętości wywołana taką zmianą ciśnienia.

Prędkość dla fali dźwiękowej w gazie

p₀ - ciśnienie gazu niezaburzonego

χ - stała równa stosunkowi ciepła właściwego gazu przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego w stałej objętości

2

9

E = mc²

---