a) nie zmieni się

b) zmaleje

c) wzrośnie

d) kulka natychmiast się zatrzyma

• 6.11. W naczyniach połączonych w kształcie litery U znajduje się ciecz o masie m i gęstości p. Po wytrąceniu jej ze stanu równowagi ciecz zaczyna poruszać się ruchem harmonicznym (rysunek 6.3). Jaki jest okres tych drgań, jeżeli przekrój poprzeczny naczynia jest równy S? Wskazówka: Oblicz siłę zwracającą, gdy wychylenie słupka cieczy wynosi x.

Rysunek 6.3

• 6.12. Ciężarek o masie m zawieszony jest na sprężynach połączonych szeregowo (jedna pod drugą) o współ­czynnikach sprężystości odpowiednio k₁ i k₂ (ich masy są pomijalnie małe). Jaki jest okres drgań ciężarka wprawionego w drgania harmoniczne? Wskazówka: Każda sprężyna wydłuża się pod wpływem siły o tej samej wartości.

• 6.13. Kulka drgająca harmonicz­ne przemieściła się z punktu położenia równowagi do punktu maksymalnego wychylenia w czasie t= 0,25 s. Jaka jest częstotliwość ruchu?

a) 0,25 Hz b) 0,50 Hz c) 1,00 Hz d) 4,00 Hz

• 6.14. Wykres zależności wychy­lania od czasu przedstawiony jest na rysunku 6.4. Wyznacz amplitudę, okres i częstotliwość tych drgań. Jakie będzie wychylenie, jeżeli faza ruchu φ =7/6π?

Rysunek 6.4

• 6.15. Niewielki kartonik wprawiony jest w ruch harmoniczny w płaszczyźnie poziomej. Okres jego drgań T= 2 s. Na kartoniku leży niewielki ciężarek C, którego współczynnik tarcia o kartonik f= 0,1. Przy jakiej amplitudzie drgań A ciężarek zacznie przesuwać się względem kartonika?

Rysunek 6.7

• 6.16. Płaski krążek drga w płasz­czyźnie pionowej ruchem harmonicz­nym, którego okres drgań T= 0,05π s. Na krążku znajduje się niewielki cięża­rek C. Jaka co najmniej musi być ampli­tuda drgań krążka, aby ciężarek się od niego odrywał?

Rysunek 6.6

• 6.17. Metalowa kulka wisi na nici o długości /, której drugi koniec umoco­wano w sposób przedstawiony na rysun­ku 6.7. Kulkę odchylono o pewien kąt a i puszczono tak, że zderza się z piono­wą ścianą sprężyście bez strat energii. Jaki jest okres drgań kulki?

Rysunek 6.7

a) π/2√l/g b) π√l/g c) π√2l/g d) 2π√l/g

• 6.18. W pewnym ruchu harmo­nicznym szybkość wyraża się wzorem: v₀sin(ωt) gdzie: u₀ = 5 m/s, ω = 100 1/s. Napisz równanie wychylenia x{t) w tym ruchu.

• 6.19. Czym różnią się od siebie ruchy harmoniczne opisane równaniami:

x_l(t) = 0,2sin2πt i x₂(t) = 0,2cosπt?

a) amplitudą

b) okresem

c) przesunięciem fazowym

d) nie różnią się

• 6.20. W pewnym ruchu harmo­nicznym amplituda drgań A = 0,4 cm, okres drgań T= 5 s. Jaka jest maksymal­na szybkość ciała?

• 6.21. Początkowa faza pewnego ruchu harmonicznego ϕ₀ = 0, a okres drgań T= 0,06 s. Po jakim czasie t szyb­kość chwilowa w tym ruchu będzie rów­na połowie szybkości maksymalnej?

• 6.22. W pewnym ruchu harmo­nicznym szybkość zmienia się zgod­nie z zależnością v(t) = v₀cos(2nft), gdzie: v₀ = 20/π cm/s , f= 100 Hz. Jakie jest maksymalne przyspieszenie w tym ruchu?

• 6.23. Wisząca na sprężynie kulka została wprawiona w drgania harmo­niczne o amplitudzie A = 25 cm i okresie T= 2 s. Jakie jest maksymalne przyspieszenie tej kulki?

a) 0,25π ² m•s^-2 b) 0,5π² m•s^-2 c) π ² m•s^-2 d) 2π ² m•s^-2

• 6.24. Jaki jest iloraz długości l₁ : l₂ dwóch wahadeł matematycznych, jeżeli częstotliwości ich drgań pozostają w sto­sunku f₁:f₂ = 0,5?

1. l₁ : l₂ = 0,25

2. l₁ : l₂ = 1

3. l₁ : l₂ = 2

4. l₁ : l₂ = 4

• 6.25. Na rysunku 6.8. pokazano wykres zależności wartości przyspiesze­nia od wychylenia w ruchu harmonicz­nym pewnej kulki. Na podstawie wykresu wyznacz okres drgań T tego ruchu.

O 0 5 10 15 20 25 30

Rysunek 6.8.

• 6.26. Jaki jest okres drgań waha­dła matematycznego o długości l = 1m w miejscu, gdzie przyspieszenie ziem­skie g = 9,81 m•s^-2?

• 6.27. Dwa wahadła matematyczne o długościach odpowiednio l₁ = 0,425 m i l₂ = 0,153 m rozpoczęły drgania jednocześnie i z takimi samymi fazami po­czątkowymi. Po jakim czasie (najkrótszym) ich fazy ponownie będą jednakowe?

• 6.28.Wahadło matematyczne o długości l waha się ruchem harmo­nicznym. W pewnym momencie punkt zaczepienia wahadła zaczyna się poru­szać pionowo do góry z przyspiesze­niem o stałej wartości a. Jaki będzie okres T drgań wahadła?

• 6.29. Rakieta oddala się od Ziemi wzdłuż prostej pokrywającej się z promie­niem Ziemi. Z jakim przyspieszeniem porusza się rakieta, jeżeli okres wahań wahadła matematycznego w rakiecie jest dwa razy mniejszy od okresu wahań ta­kiego samego wahadła na Ziemi?

• 6.30. Dwa wahadła matematycz­ne różniące się długością o Δl = 14 cm wprawiono w ruch harmoniczny w tej samej chwili. Zauważono, że na n₁ = 8 pełnych wahnięć pierwszego wahadła przypada n₂ = 6 pełnych wahnięć drugie­go wahadła. Jakie są długości wahadeł?

• 6.31. Wahadło matematyczne o długości l umocowane jest pod dachem samochodu poruszającego się przez pe­wien czas z przyspieszeniem skierowa­nym poziomo o stałej wartości a. Jaki jest okres T drgań wahadła podczas przy­spieszonego ruchu samochodu?

• 6.32. Jaki jest stosunek energii ki­netycznej do energii potencjalnej E_k : E_p kulki drgającej ruchem harmonicznym z fazą początkową ϕ₀ = 0 w chwili t = T/8 s, gdzie T jest okresem drgań wa­hadła?

a) E_k : E_p = 0 b) E_k : E_p = 1/3 c) E_k : E_p=1/2 d) E_k : E_p=1

• 6.33. Jaki jest stosunek energii ki­netycznej do energii potencjalnej E_k : E_p kulki drgającej ruchem harmonicznym z fazą początkową ϕ₀ = 0 w chwili, kie­dy wychylenie kulki z położenia równo­wagi x= 0,5•A, gdzie A jest amplitudą drgań kulki?

a) E_k : E_p = 3 b) E_k : E_p = 2 c) E_k : E_p =1 d) E_k : E_p = 0

• 6.34. Wahadło matematyczne o długości ldrgało ruchem harmonicz­nym o amplitudzie A. Jak zmieni się ener­gia mechaniczna ruchu, jeżeli długość wahadła zwiększymy n = 2 razy, a am­plitudę ruchu zwiększymy k= 4 razy?

• 6.35. Jaka jest całkowita energia drgań ciała o masie m= 25 g wykonują­cego drgania o amplitudzie A = 10 cm i częstotliwości f = 40 Hz?

• 6.36. Na rysunku 6.9. przedsta­wiono kilka wahadeł umocowanych do wspólnej osi. Które z wahadeł może drgać rezonansowo z wahadłem numer 1 ?

Rysunek 6.9

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

• 6.37. Wagon kolejowy został tak skonstruowany, że jego zawieszenie mogło wejść w rezonans mechaniczny przy drganiach pionowych wagonu o okresie T. Przy jakiej szybkości jazdy po torach może wystąpić rezonans, je­żeli niewielkie przerwy między odcin­kami szyn wypadają co l m?

7. fale

Wprowadzenie

• PODSTAWOWY ZWIĄZEK W RUCHU FALOWYM falowym W ruchu spełniona jest równość:

λ = vT (36)

gdzie: λ jest długością fali, v- szybkością rozchodzenia się fali, T- okresem drgań. Związek między częstotliwością i okresem drgań:

f = 1/T (37)

• RÓWNANIE FALI PŁASKIEJ
Fala płaska rozchodząca się w dodatnim kierunku osi a- opisywana jest równaniem:

u(x,t) = Asin2π(t/T-x/λ) (38)

gdzie: u jest wychyleniem z położenia równowagi, x- odległością od źródła fali,

T- okresem drgań.

Wyrażenie:

ϕ = 2π(t/T-x/λ) (38a)

jest fazą fali.

Rysunek I.

• ZJAWISKO DOPPLERA W AKUSTYCE Jeżeli źródło dźwięku i obserwator poruszają się względem siebie, to częstotliwość odbieranej fali dźwiękowej jest inna niż częstotliwość fali nada­wanej:

f = f₀ v-v_o/ v-v_z (39)

gdzie: f jest częstotliwością odbieranej fali dźwiękowej, f₀ - częstotliwością nadawa­nej fali, v - szybkością rozchodzenia się dźwięku w danym ośrodku, v_z - szybkością źródła dźwięku, v_o - szybkością ruchu obserwatora. Do wzoru wstawiamy szybkości v_z i v_a ze znakiem „+", gdy zwroty prędkości są zgodne ze zwrotem prędkość fali albo ze znakiem „-", gdy zwroty prędkości są przeciwne do zwrotu prędkości fali.

• UCIĘCIE FALI NA DWÓCH SZCZELINACH
Fala padająca na dwie szczeliny znajdujące
się w odległości dulega dyfrakcji. Na ekranie
odległym o L w punkcie P następuje interfe­-
rencja fal ugiętych, której wynik zależy od róż- Rysunek II.
nicy dróg Δs. W punkcie P następuje:
wzmocnienie fali, gdy Δs = nλ,
l wygaszenie fali, gdy Δs= (n + ½ )λ
Warunek wzmocnienia w punkcie P:

(40)

d sin α = nλ;

dla L>>d można używać wzoru przybliżonego:

xd/L = nλ (41)

gdzie njest rzędem interferencji.

• SIATKA DYFRAKCYJNA

Jeśli na siatkę dyfrakcyjną o stałej siatki (odległości między szczelinami) d pada prostopadła wiązka światła (rysunek IIIa, IIIb) , to wzmocnienie interferencyjne rzędu n następuje dla kąta ugięcia, takiego, że:

d sin α = nλ. (42)

Rysunek IIIa

Rysunek IIIb

Przykładowe zadania

• 1 . Płaska fala harmoniczna rozchodzi się w przestrzeni z szybkością v = 6 ms^-1. W chwili t₁ = 35 wychylenie z położenia równowagi punktu drgającego o współrzęd­nej x₁ = 5 m jest takie samo jak wychylenie w chwili t₂ = 3,3 s punktu o współrzędnej x₂, Oblicz współrzędną x₂ punktu znajdującego się najbliżej punktu o współrzędnej x₁

• DANE

• szybkość fali v = 6 ms^-1

czasy t₁ = 3 s i t₂ = 3,3 s

współrzędna x₁ = 5 m

• SZUKANE

współrzędna x₂

• ROZWIĄZANIE

Z równości wychyleń u₁ = Asin2πf(t₁- x₁/v) i u = Asin2πf(t₂- x₂/v) wynika:

sin2πf(t₁- x₁/v) = sin2πf(t₂- x₂/v)

Z równości sinusów wynika:

2πf(t₁- x₁/v) = 2πf(t₂- x₂/v)+kπ

Po skróceniu przez 2π mamy:

f(t₁- x₁/v) = f(t₂- x₂/v)+k

Po uporządkowaniu otrzymamy:

x₂-x₁ = kv/f + v(t₂-t₁)

Ponieważ t₂ > t₁ najmniejsza odległość między punktami będzie dla k = 0. Stąd:

x₂ = x₁+v(t₂-t₁)

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy x₂ = 6,8 m.

• ODPOWIEDŹ

Punktem leżącym najbliżej punktu x₁ w którym spełniony jest warunek zadania, jest punkt o współrzędnej x₂ = 6,8 m.

• 2. Fala płaska pada na nieprzezroczysty ekran, w którym wykonane są dwie wą­skie równoległe szczeliny. Stosunek odległości między szczelinami do długości fali wynosi k= 20. Oblicz odległość między prążkami interferencyjnymi rzędów n₁ = 5 i n₂ = 7. Przyjmij, że odległość ekranu od szczelin L = 5 m jest bardzo duża w porównaniu z długością fali.

• DANE

stosunek= d/λ = 20

rzędy widma n₁ = 5 , n₂ = 7

odległość ekranu od szczelin L = 5 m

• SZUKANE

odległość x między prążkami

• ROZWIĄZANIE

Ze względu na dużą odległość L możemy zastosować wzór (41). Dla rzędów widma n₁ i n₂ mamy zatem:

x₁ = n₁Lλ/d i x₂ = n₂Lλ/d

Podstawiając d/λ = k, otrzymujemy:

x₁ = n₁L/k i x₂ = n₂L/k

Odległość między prążkami wynosi:

x₂- x₁ = L(n₂- n₁)/k

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy x₂ - x₁ = 0,5 m.

• ODPOWIEDŹ Odległość między prążkami rzędów 5 i 7 jest równa 0,5 m.

• 3. Nieruchomy nadajnik wytwarza falę akustyczną o częstotliwości f₁ która do­ciera do nieruchomego odbiornika. Podczas emitowania dźwięku zaczął wiać wiatr z szybkością v_w w kierunku od nadajnika do odbiornika. Udowodnij, że częstotliwość odbieranego dźwięku nie uległa zmianie wskutek wiatru.

• DANE

częstotliwość dźwięku f₁

szybkość wiatru v_w

• SZUKANE

Częstotliwość dźwięku odbieranego f₂

• ROZWIĄZANIE

Gdy wiatr nie wieje, zastosowanie wzoru (39):

f ₂ = f₁ v-v_o/ v-v_z

z szybkością źródła v_z = 0 oraz szybkością odbiornika v₀= 0 prowadzi do wniosku f ₂ = f₁. Rozpatrzmy zjawisko Dopplera z punktu widzenia układu odniesienia związanego z poruszającym się z szybkością v_w powietrzem. Względem powietrza nadajnik oddla się z szybkością v_w, a odbiornik zbliża się z szybkością v_w. Pamiętając o regułach stosowania znaków we wzorze (39), możemy napisać:

f ₂ = f₁ v+v_w/ v+v_w = f₁

Udowodniliśmy, że zarówno gdy wieje wiatr, jak i gdy panuje cisza, częstotliwość, odbieranej fali dźwiękowej jest taka sama jak fali nadawanej.

Zadania

• 7.1. Na rysunku 7.1. przedstawiono położenie punktów w chwili t₀ pewnego ośrodka, w którym rozchodzi się fala poprzeczna. Którą z wielkości charakteryzujących falę można wyznaczyć na podstawie tego wykresu?

Rysunek 7.1

a) amplitudę fali

b) częstotliwość fali

c) szybkość rozchodzenia się fali

d) okres drgań fali

• 7.2. Szybkość rozchodzenia się fali po powierzchni morza wynosiła v = 3 m/s, a odległość między sąsiednimi grzbieta­mi fal l= 6 m. Ile razy w czasie t= 1 min fala ta uderzyła o brzeg morski?

a)10 razy

b) 15 razy

c) 20 razy

d) 30 razy

• 7.3. Na rysunku 7.2. przedstawio­no obraz położenia cząstek w fali po­przecznej w chwili t₀. Cząstka A ma w tym momencie prędkość v_A zazna­czoną na rysunku. Narysuj kierunek roz­chodzenia się fali i zwrot wektora pręd­kości fali dla t> t₀.

Rysunek 7.2.

• 7.4. Jaka jest szybkość rozchodze­nia się w jednorodnym ośrodku fali po­przecznej o długości λ i częstotliwości f?

1. v = λ/f

2. v = λ•f

3. v = 1/λ•f

4. v = f/λ

• 7.5. Jaka jest długość fali o czę­stotliwości 400 Hz, jeżeli szybkość jej rozchodzenia się wynosi v = 340 m/s? a)λ=85 cm b) λ =1,0 m c) λ= 1,7 m d) λ= π m

• 7.6. Pocisk wystrzelono pionowo do góry z szybkością v₀ = 800 m/s. Na jakiej wysokości nad ziemią dźwięk wy­strzału dogoni pocisk? Szybkość dźwię­ku w powietrzu v = 340m/s. Przyjmij, że opór powietrza można pominąć. Przy­spieszenie ziemskie g=9,8 m/s.

• 7.7. W ośrodku rozchodzi się fala płaska o amplitudzie A = 0,04 m, okre­sie T i długości fali λ. O ile, w chwili t=1/4 T, odchyli się od położenia rów­nowagi cząstka ośrodka odległa od źró­dła fali o l = l λ?

a) 0 cm b) √2 cm

c) 2√2 cm d) 2 cm

• 7.8. Wędkarz zaobserwował, że spławik jego wędki wskutek jednostaj­nego falowania powierzchni wody wy­konuje 30 pełnych drgań w czasie t = 10 s. Odległość między kolejnymi grzbietami fal wędkarz ocenił na x= 1,5 m. Jaka jest szybkość rozchodzenia się fal po powierzchni wody?

a) v = 2m/s b) v = 3m/s c) v = 4,5m/s d) v = 20m/s

• 7.9. Cząstka ośrodka uczestniczą­ca w ruchu falowym, znajdująca się w odległości x = 3 cm od źródła fali, wy­chyliła się o u= 0,5 A w chwili t = 1/6T, gdzie A jest amplitudą, a T - okresem drgań. Jaka jest długość fali?

• 7.10. Z jaką szybkością rozcho­dzi się fala, jeżeli wzbudzające ją źró­dło drga z częstotliwością f= 500 Hz i powoduje rozprzestrzenianie się fali o długości λ= 2,9 m?

•7.11. Kuter rybacki płynie po morzu ze stałą szybkością v= 15m/s. Po­wierzchnia morza faluje tak, że często­tliwość drgań cząstek wody wokół punk­tu równowagi f= 0,2 Hz, a odległość mię­dzy sąsiednimi grzbietami fal l = 10 m.

---