Uniwersytet Zielonogórski

Wydział Mechaniczny

MIERNICTWO I SYSTEMY POMIAROWE

Laboratorium

Materiały pomocnicze: Błędy pomiarów

Błędy pomiaru

Wnikliwa analiza procesu pomiarowego, będącego zwykle złożonym doświadczeniem fizycznym, albo doświadczeniem przebiegającym z użyciem złożonych przyrządów i układów pomiarowych, prowadzi do wniosku, że wynik pomiarów może różnić się od wartości rzeczywistej wielkości mierzonej. Ważną częścią tego procesu jest więc analiza popełnionych w trakcie pomiaru niedokładności. W tym celu wprowadza się pojęcie błędu pomiaru, nazywanego w przeszłości uchybem.

Błąd pomiaru - niezgodność wyniku pomiaru z wartością rzeczywistą wielkości mierzonej (określenie wg. PN)

Podstawową przesłanką przypuszczenia o niezgodności wyniku pomiaru z wartością rzeczywistą jest znajomość praw fizyki i zasad działania urządzeń i maszyn zbudowanych przez człowieka. Owa wiedza wskazuje na niedoskonałość wspomnianych wytworów ludzkich umy- słów i rąk, a więc także narzędzi pomiarowych.

Podstawowe definicje

Błąd bezwzględny - jest to różnica między wynikiem pomiaru i wartością rzeczywistą wiel- kości mierzonej :

Zauważmy, że błąd bezwzględny wyraża się w tych samych jednostkach, co wielkość mierzona. ( np. cm, A, V, Ω). Może on mieć wartość zarówno dodatnią, jak i ujemną. Często podaje się wartość bezwzględną (moduł) tego błędu.

Błąd względny - jest ilorazem błędu bezwzględnego i wartości rzeczywistej:

Ponieważ nie znamy nigdy wartości rzeczywistej wielkości mierzonej, podane wyżej definicje zdają się być praktycznie nieprzydatne. Istotnie nie potrafimy obliczyć dokładnych wartości błędów, definicje te jednak ustalają ściśle pojęcia obydwu błędów (wiemy o czym mówimy). Często w praktyce zastępuje się wartość rzeczywistą x_R wartością najlepiej ja przybliżającą. Najczęściej funkcję tę pełni średnia arytmetyczna wyników wielokrotnie powtórzonego pomiaru danej wielkości. Błędy są wtedy wyznaczone oczywiście tylko w przybliżeniu.

Błąd względny lepiej charakteryzuje dokładność pomiaru niż błąd bezwzględny, skupia on bowiem w sobie informacje o wartości błędu bezwzględnego i „rozmiarach” wielkości mierzonej. Gdy na przykład jesteśmy informowani o tym, że dokonano pomiaru długości
z błędem bezwzględnym równym 1 mm, nie wiemy co w istocie sądzić o dokładności pomiaru. Nasuwa się naturalne pytanie, co mierzono z takim błędem? Jeśli okazuje się, że pomiarowi poddano odległość między dwoma miastami, jesteśmy pełni podziwu dla mierzącego, gdy jednak dowiemy się, że przedmiotem pomiaru była średnica drutu nawojowego, pomiar taki zdyskwalifikujemy.

Podział błędów ze względu na ich charakter

Z punktu widzenia charakteru błędów dzielimy je na:

- błędy grube (omyłki)

- błędy systematyczne

- błędy przypadkowe

Błąd gruby (omyłka) - jest to błąd wynikający z karygodnej nieuwagi mierzącego.

Przykłady błędów grubych

1) Odczytanie wskazania w niewłaściwych jednostkach - np. w miliamperach zamiast w amperach.

2) Odczytanie wskazania z niewłaściwej podziałki przyrządu, gdy ma on kilka różnych podziałek.

3) Pomyłka w zliczaniu liczby odłożeń miary metrowej przy pomiarze długości sali.

Dobrym sposobem uniknięcia błędów grubych jest kilkakrotne powtórzenie pomiaru, najlepiej przez kilka osób (np. członków grupy laboratoryjnej).

Błąd systematyczny - jest to błąd, który przy wielokrotnym pomiarze danej wielkości w nie zmienionych praktycznie warunkach, pozostaje stały co do wartości
i co do znaku, albo zmienia się według znanej zależności.

Tak więc błąd systematyczny może być stały lub zmienny. W obydwu przypadkach jest on związany z narzędziem pomiarowym i nie zależy od osoby mierzącej.

Przykłady błędu systematycznego stałego

1. Niedokładne naniesienie kreski działowej na podziałce miernika

2. Błąd wykonania rezystora wzorcowego zrealizowanego metodą nawijania drutu oporowego na izolacyjny korpus, spowodowany błędnym odcięciem tego drutu

3. Inna od założonej szerokość szczeliny powietrznej w obwodzie magnetycznym ustroju pomiarowego magnetoelektrycznego

Przykłady błędu systematycznego zmiennego

1. Siła elektromotoryczne ogniwa wzorcowego Westona zmienia się wraz z temperaturą otoczenia i wnosi do pomiaru błąd, gdy ogniwo używane jest w innej temperaturze niż 20^o C. Możliwe jest jednak wniesienie do wyniku pomiaru stosownej poprawki, ponieważ zależność tej siły elektromotorycznej od temperatury jest ściśle określona

2. Z tego samego, co przednio powodu błąd do pomiaru wnosi stalowa taśma miernicza, gdy używana jest w innej temperaturze niż była wzorcowana przez producenta. Błąd ten możliwy jest do usunięcia, ponieważ znany jest współczynnik rozszerzalności liniowej materiału, z którego została ta taśma wykonana.

Istotną cechą błędu systematycznego jest to, iż można w wielu wypadkach usunąć go z wyniku pomiaru.

Błąd przypadkowy - jest to błąd zmieniający się w sposób przypadkowy zarówno co do wartości, jak i co do znaku przy wielokrotnym powtarzaniu pomiaru danej wielkości w niezmiennych praktycznie warunkach

Sposobem na wykrycie istnienia błędu przypadkowego jest wielokrotne powtórzeni pomiaru danej wielkości w praktycznie stałych warunkach przy użyciu dostatecznie czułych przyrządów pomiarowych. Jest to zadanie przekraczające na ogół możliwości przeciętnego „metrologa - amatora”.

Z powyższego określenia wynika, że błąd przypadkowy ma charakter zmiennej losowej.

Zmienna losowa - jest to wielkość mierzalna, której wartości zależą od przypadku

Wynik pomiaru jest także zmienną losową

Istotnie, jeżeli błąd przypadkowy jest zmienną losową, to również wynik pomiaru ma ten sam charakter, jest on bowiem sumą następujących składników:

gdzie poszczególne symbole oznaczają:

- wynik pomiaru

- wartość rzeczywista wielkości mierzonej

- błąd systematyczny

- błąd przypadkowy

Ponieważ: = const

= const,

więc wraz z przypadkowymi zmianami błędu zmienia się także w sposób przypadkowy wynik pomiaru .

Rozkład normalny błędu przypadkowego

Znakomita większość zmiennych losowych podlega tzw. rozkładowi normalnemu

Rozkład normalny błędu przypadkowego dany jest następującą zależnością:

(1)

gdzie:

- funkcja gęstości prawdopodobieństwa

- błąd przypadkowy

- odchylenie standardowe (miara precyzji)

Na rys. 1 przedstawiony jest obraz funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla dwóch różnych wartość odchylenia standardowego .

Rys.1. Obraz funkcji gęstości prawdopodobieństwa

dla dwóch wartości parametru

Krzywe na rys.1 przedstawiają rozkład normalny błędu przypadkowego dla dwóch różnych doświadczeń losowych o różnej mierze precyzji. Dotyczyć one mogą np. błędów popełnionych przez dwie grupy studentów, które dokonały serii pomiarów przy, czym grupy te, z różnych powodów (jakość sprzętu pomiarowego, stopień skupienia ćwiczących), dokonywały pomiarów z niejednakową precyzją. Krzywe te dotyczyć mogą także dwóch różnych producentów o niejednakowym poziomie technologii produkcji. W szczególności obrazować mogą bezwzględne błędy wskazań poszczególnych przyrządów pomiarowych w wyprodukowanych przez dwóch różnych wytwórców seriach tych wyrobów.

Krzywa bardziej płaska (= 0,17) charakteryzuje doświadczenie losowe o mniejszej precyzji, ponieważ „obejmuje” ona błędy o większych wartościach.

Co to jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa?

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest pochodną prawdopodobieństwa.

Znajomość krzywej f(x) (do czego wystarcza wyłącznie znajomość parametru ) pozwala odpowiedzieć na następujące ważne praktycznie pytanie:

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w doświadczeniu losowym o danej mierze precyzji pojawią się błędy z interesującego nas przedziału < x₁ , x₂ >? (patrz rys.2)

Rys.2. Krzywa rozkładu normalnego błędu przypadkowego z zaznaczonym przykładowym przedziałem zmienności < x₁ , x₂ > błędu

Odpowiedzią na powyższe pytanie jest całka funkcji f(x) w przedziale domkniętym < x₁ , x₂ >.

Prawdopodobieństwo jest tu proporcjonalne do pola powierzchni ograniczonej krzywą f(x) , osią x oraz odcinkami prostopadłymi do odciętych x₁ i x₂.

Jeżeli szerokość przedziału całkowania mierzona będzie krotnościami odchylenia standardowego to wynik całkowania (wartość prawdopodobieństwa) będzie jednakowy dla wszystkich doświadczeń losowych, których błędy podlegają rozkładowi normalnemu.

Wynik całkowania (dowód pomijamy) dla trzech przedziałów zmienności błędu x przedstawiono niżej:

P (-< x < +) = 0,6826

P ( - 2< x < +2) = 0,9546

P ( - 3< x < +3) = 0,9973

Ostatni z wyników świadczy o tym, że prawdopodobieństwo tego, iż w doświadczeniu losowym mogą pojawić się błędy nie wykraczają poza przedział trzysigmowy jest bliskie jedności.

Reguła trzech sigm

Wysoka wartość prawdopodobieństwa (poziomu ufności) upoważnia do twierdzenia, że przedział trzysigmowy jest praktycznym przedziałem zmienności zmiennej losowej o rozkła- dzie normalnym. Zasada ta nosi nazwę „reguły trzech sigm”

Błąd trzysigmowy

Jest to największa praktycznie wartość błędu przypadkowego, jaki pojawić się może
w doświadczeniu losowym, którego wyniki podlegają rozkładowi normalnemu.

Uwaga: Przedział zmienności, o którym jest tu mowa ma szerokość sześciu sigm, ale błąd może być tylko albo dodatni albo ujemny, dlatego jego największa wartość bezwzględna może wynosić 3

Doświadczalne wyznaczanie przybliżonej wartości parametru

Możliwe jest doświadczalne wyznaczenie przybliżonej wartości odchylenia standar- dowego. Parametr ten określa następująca formuła:

gdzie:

- liczba powtórzeń pomiaru danej wielkości

- wynik i-tego pomiaru

- średnia arytmetyczna wyników pomiarów,

przy czym

Dodajmy, że → gdy n → ∞

Średnia arytmetyczna wyników pomiarów

Wykażemy, że średnia arytmetyczna wyników pomiarów pozbawionych błędu systema- tycznego stanowi przybliżenie wartości rzeczywistej wielkości mierzonej.

Jak zostało to już powiedziane wyżej, wynik pomiaru stanowi sumę następujących składników:

- wynik pomiaru

- wartość rzeczywista wielkości mierzonej

- błąd systematyczny

- błąd przypadkowy

Po usunięciu z tej sumy błędu systematycznego , otrzymuje się,

Powtórzmy n razy pomiar danej wielkości i zapiszmy poszczególne wyniki:

- - - - - - - - -

Zsumujmy stronami powyższe równania.

Stąd:

Symetria krzywej rozkładu normalnego błędu przypadkowego (patrz rys.1, a także rys.2) wskazuje na to, że błędów dodatnich i ujemnych o tych samych wartościach bezwzględnych jest tyle samo, gdy liczba powtórzeń dąży do nieskończoności, co oznacza, że ich suma jest dokładnie równa zeru. W przypadku skończonej liczby powtórzeń suma ta jest tylko w przybliżeniu równa zeru, więc u nas napiszemy:

skąd

,

co należało wykazać.

Średnia arytmetyczna tym lepiej przybliża wartość rzeczywistą wielkości mierzonej, im większej liczby powtórzeń dokonano

Rozkład normalny wyniku pomiaru

Jak to zostało już powiedziane wyżej, w ślad za przypadkową zmiennością błędu przypadkowego, również wynik pomiaru jest także zmienną losową. Łatwo wykazać, że rozkład tej zmiennej jest rozkładem normalnym.

Istotnie, dla błędu przypadkowego mamy znaną już zależność (1):

(2)

Ponadto jak wiadomo,

Po usunięciu błędu systematycznego wynik pomiaru będzie przedstawiał się następująco:

Stąd

Podstawiając ostatnie wyrażenie do (2) w miejsce , otrzymamy:

(3)

Krzywa (3) ma ten sam kształt co krzywa (2), jest tylko przesunięta na osi odciętych względem tej drugiej o wartość x_R.

Klasa dokładności miernika wskazówkowego

Seryjna produkcja elektrycznych mierników wskazówkowych jest doświadczeniem losowym. Ze zrozumiałych powodów każdy wyprodukowany egzemplarz jest indywidualnym, niepowtarzalnym tworem. Błąd wskazań poszczególnych egzemplarzy jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Stwierdzenie to wymaga pewnych wyjaśnień.

Jeżeli zmienna losowa jest sumą wielu zmiennych losowych, niekoniecznie o rozkładzie normalnym, mających niewielki przedział zmienności, to ma ona rozkład normalny.

Nie ulega wątpliwości, że błąd wskazań miernika jest sumą wielu błędów, z jakimi wykonane zostały jego poszczególne elementy składowe, ma on więc rozkład normalny.

Wytwórca określa dla całej wyprodukowanej serii przyrządów pomiarowych błąd trzysigmowy i oznacza go

Odnosi go następnie do zakresu pomiarowego przyrządu , wyznaczając w ten sposób względny maksymalny wskazań:

Określiwszy ten błąd, nadaje następnie każdemu przyrządowi z wyprodukowanej serii tę sama klasę dokładności „k” , wybierając spośród ośmiu znormalizowanych wartości:

0,05%

0,1%

0,2%

0,5%

1%

1,5%

2,5%

5%

NAJMNIEJSZĄ, która spełnia nierówność:

k ≥ δ_max

Na przykład, jeżeli błąd δ_max = 0,34 % całą seria przyrządów pomiarowych zyska klasę dokładności k = 0,5.

Pamiętając o okolicznościach związanych z określeniem błędu trzysigmowego, powinniśmy wiedzieć, że dana klasa dokładności oznacza, iż na 10 000 wyprodukowanych przyrządów pomiarowych tylko w 27 egzemplarzach bezwzględny błąd wskazań Δ_max może być większy od 3σ, albowiem przedział trzysigmowy wyznaczony jest z ufnością (prawdopodobieństwem) P = 0,9973.

Użytkownik interpretuje klasę dokładności zgodnie z zależnością (4).

(4)

nie zna on bowiem okoliczności związanych z nierównością, którą posługiwać się musiał wytwórca.

W tym miejscu należy ostrzec adepta sztuki metrologicznej przed pochopnym traktowaniem klasy dokładności. Błąd względny, z jakim mierzy on daną wielkość będzie równy klasie dokładności tylko w szczególnym, raczej rzadko zdarzającym się, przypadku, wtedy mianowicie gdy podczas pomiaru wskazówka przyrządu spoczywa na końcowej kresce działowej podziałki. W pozostałych wypadkach względny błąd wskazań będzie większy, niekiedy nawet znacznie, od klasy dokładności, o czym za chwilę.

Błędy pomiaru miernikiem wskazówkowym

Całkowity błąd popełniany przy pomiarze przyrządem wskazówkowym zawiera dwa charakterystyczne składniki:

przy czym:

- bezwzględny błąd pomiaru

- bezwzględny błąd wskazań

- bezwzględny błąd odczytu

Przyjrzymy się teraz poszczególnym składnikom błędu pomiaru.

Względny błąd wskazań

Bezwzględny błąd wskazań jest równy trzysigmowemu błędowi wskazań zawartemu w klasie dokładności k przyrządu i obliczanemu z zależności (4).

Względny błąd wskazań określa się przez odniesienie tego błędu do wartości wskazywanej przez przyrząd W.

(5)

gdzie:

k - klasa dokładności przyrządu

Z_P - zakres pomiarowy tego przyrządu

W - wartość wskazywana przez przyrząd

Zauważmy, że: dla 0 ≤ W ≤ Z_P

Przekształćmy zależność (5) do postaci (6)

(6)

Tablica pomocnicza do ręcznego sporządzenia wykresu zależności (6)

W/ZP	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
δWSK	10k	5k	3,3k	2,5k	2k	1,7k	1,4k	1,25k	1,1k	k

Wykres zależności ( 6 ) sporządzony przy pomocy programu EXCEL.

Rys. 4. Względny błąd wskazań w funkcji zmiennej W/Z_P

dla przyrządu klasy 0,5

Przebieg krzywej wskazuje na to, że błąd δ_WSK rośnie do nieskończoności, gdy wskazanie przyrządu zmierza do zera. Osiąga on wartość równą klasie dokładności dla W=Z_P. Błąd zmienia się stosunkowo niewiele w zakresie wskazań (0,6Z_P - Z_P). Dla W = 0,5Z_P błąd osiąga już wartość równą dwukrotnej wartości klasy dokładności .

Z powyższego wynika ważna zasada doboru zakresu pomiarowego przyrządu wskazówkowego do danego pomiaru. Zakres należy mianowicie dobrać tak, aby pomiar odbywał się przy odchyleniu wskazówki wynoszącym przynajmniej 0,6 zakresu pomiarowego, co zapewnia dopuszczalnie mały błąd wskazań. Jest to stosunkowo łatwe do osiągnięcia w laboratorium uczelnianym, w którym studenci mają do dyspozycji przyrządy o szerokiej gamie zakresów.

Błąd odczytu

Jest to błąd wynikający z niepewnego oszacowania położenia wskazówki przyrządu między dwiema sąsiednimi kreskami działowymi podziałki.

Bezwzględny błąd odczytu określa się następująco:

gdzie

Z_P - zakres pomiarowy przyrządu

d - liczba działek podziałki

p - parametr wyrażający wprawę mierzącego

Przyjmuje się:

p = 0,2 dla średnio wprawnego eksperymentatora

p = 0,1 dla wprawnego metrologa

Względny błąd odczytu

Błąd ten określa się podobnie jak względny błąd wskazań, odnosząc błąd bezwzględny do wskazania przyrządu.

(7)

Całkowity względny błąd pomiaru miernikiem wskazówkowym

Jest on sumą błędu wskazań i błędu odczytu:

(8)

Przykład Woltomierz laboratoryjny klasy 0,5 (k = 0,5 %) ma podziałkę równomierną o 75 działkach (d = 75) i zakres pomiarowy Z_P = 30 V. Oblicz całkowity względny błąd pomiaru napięcia, jeżeli woltomierz ten wskazuje W = 24 V. Przyjmij p = 0,2.

Rozwiązanie

Korzystamy z wzoru ( 8 ):

= 0,625 % + 0,333 % ≈ 0,96%

Pierwszy składnik wyniku jest błędem wskazań, drugi zaś błędem odczytu. Jak widać nie można w tym wypadku pominąć błędu odczytu, gdyż stanowi on ok. jednej trzeciej błędu całkowitego. Gdyby przyjąć współczynnik wprawy mierzącego równy p = 0,1 całkowity błąd pomiaru wyniósłby:

= 0,625 + 0,167 % = 0,792 %,

wtedy błąd odczytu stanowiłby już tylko 21% błędu całkowitego.

Błędy w pomiarach pośrednich

Podamy na wstępie niezbędne określenia.

Pomiar bezpośredni - pomiar, którego wynik odczytuje się bezpośrednio ze wskazań przyrządu pomiarowego

Przykłady:

- pomiar natężenia prądu amperomierzem

- pomiar napięcia woltomierzem

- pomiar mocy watomierzem

Pomiar pośredni - pomiar, którego wynik oblicz się, podstawiając do równania pomiaru wyniki pomiarów pośrednich

Przykłady:

- pomiar ładunku elektrycznego (Q = i t)

- pomiar mocy prądu stałego (P = U I)

- pomiar rezystancji metodą techniczną (R = U/I)

Wprowadzenie do obliczania błędów w pomiarach pośrednich

Niech y będzie wielkością mierzoną pośrednio, zaś x₁, x₂, ... ,x_n wielkościami mierzonymi bezpośrednio, przy czym,

y = f(x₁, x₂,...,x_n) (9)

Błąd bezwzględny maksymalny (graniczny), z jakim mierzona jest wielkość y, oblicza się według formuły (10)

(10)

gdzie: |Δx₁|, |Δx₂|, ... ,|Δx_n| - błędy maksymalne (trzysigmowe), z jaki mierzone są wielkości x₁ , x₂ , ... , x_n

Błąd względny maksymalny (graniczny) definiuje się zgodnie ze znaną definicją błędu względnego.

(11)

gdzie:

y_R - wartość rzeczywista wielkości mierzonej

y - wynik obliczony wg równania pomiaru (9)

|Δy| - błąd maksymalny obliczony wg formuły (10 )

Wzór (10) otrzymuje się, rozwijając w szereg Taylora funkcję wielu zmiennych (9) i odrzucając w tym rozwinięciu wyrazy w potęgach wyższych niż pierwsza. Wyrazy w potęgach wyższych mają w tym wypadku pomijalnie małe wartości, ponieważ są potęgami błędów stanowiących na ogół niewielkie wartości ułamkowe.

Przykłady obliczania błędów w pomiarach pośrednich

Przykład 1

Oblicz względny błąd maksymalny (graniczny), z jakim mierzone jest rezystancja metodą techniczną (rys (4)), jeżeli zakres pomiarowy woltomierza wynosi Z_V = 7,5 V ; amperomierz Z_A = 15 mA : klasy dokładności obu przyrządów są jednakowe i wynoszą k_A= k_V = 0,5 ; zaś ich wskazania odpowiednio: U_V = 6,8 V I_A = 9,5 mA. Pomiń błąd odczytu oraz załóż, że woltomierz nie pobiera prądu.

Rys.4. Schemat układu do pomiaru rezystancji metodą techniczną

Rozwiązanie

Równanie pomiaru: R_x= f(U_V,I_A)

Skorzystamy z formuły (11)

Podstawiając do powyższej zależności dane liczbowe, otrzymamy:

Komentarze

1. Drugi składnik błędu jest wyraźnie większy od pierwszego, co wynika z faktu, że wskazania miliamperomierza bardziej różniły się od jego zakresu pomiarowego niż woltomierza.

2. Patrząc na postać ogólną ostatecznego rozwiązania, stwierdzimy, że względny błąd pomiaru osiąga minimalną wartość w przypadku, gdy wskazania obu przyrządów są równe ich zakresom pomiarowym i równy jest wtedy sumie klas dokładności tych przyrządów.

Przykład 2

Oblicz względny błąd maksymalny (graniczny), z jakim mierzona jest moc prądu stałego wydzielająca się w rezystorze, jeżeli wartość jego rezystancji wynosi R₀ = 10 Ω, błąd, z jakim określona jest jego rezystancja |δ_Ro| = 1% ; wskazanie amperomierza I_A = 1,7A ; jego zakres pomiarowy Z_A = 3A ; zaś klasa dokładności k_A = 0,5. Pomiń błąd odczytu amperomierza.

Rys.5. Schemat ideowy układu pomiaru mocy prądu stałego

Rozwiązanie

P = R₀ (I_A)² P=f(R₀I_A)

Podstawiając do ostatniego wyrażenia dane, otrzymamy:

Przykład 3

Oblicz względny błąd graniczny (maksymalny), z jakim mierzona jest rezystancja R₁ w układzie mostka Wheatstone'a (rys.6), jeżeli rezystancje jego rezystorów R₂ , R₃ , R₄ określone są z błędami:

|δ_R2| = |δ_R3| = |δ_R4| = 0,02%.

Rozwiązanie

W wyniku regulacji poszczególnych rezystancji mostka, doprowadza się go do stanu równowagi, to znaczy do stanu, w którym zanika prąd I_G w gałęzi galwanometru. Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

Równanie równowagi R₁ = f(R₂ , R₃ , R₄)

Rys.6. Schemat ideowy mostka Wheatstone'a

Podstawiając do otrzymanej zależności dane liczbowe, otrzymamy:

Przykład 4 Oblicz maksymalny błąd względny, z jakim określona jest rezystancja zastępcza n rezystorów R₁, R₂, ... ,R_n połączonych szeregowo, jeżeli rezystancja każdego z nich dana jest z błędem 0,5%.

Rozwiązanie

Równanie pomiaru: R_Z = R₁ + R₂ + ... +R_n R_Z = f(R₁, R₂ , ... ,R_n)

Wniosek: Względny błąd graniczny, z jakim określona jest rezystancja zastępcza n rezystorów połączonych szeregowo jest równa błędowi, z jakim określony jest każdy z tych rezystorów. Jest to ważny wniosek w związku z szeregowym łączeniem wielu rezystorów (w skrajnym wypadku 50 lub 60) w laboratoryjnym oporniku dekadowym.

Przykład 5.  Oblicz maksymalny błąd względny, z jakim określona jest rezystancja zastępcza n rezystorów połączonych równolegle, jeżeli rezystancja każdego z nich dana jest z błędem |δ| = 0,5%.

Rozwiązanie

Rys.7. Układ n rezystorów połączonych równolegle

Wzór na rezystancję zastępczą n rezystorów połączonych równolegle byłby zbyt skomplikowany w rozważaniach ogólny, dlatego tutaj przyjmiemy inną metodę rozwiązania. Wyznaczymy mianowicie rezystancję zastępczą dwóch pierwszych rezystorów i obliczymy błąd tej rezystancji, redukując jednocześnie układ do liczby n-1 rezystorów. Postępując dalej według tej zasady dojdziemy ostatecznie do układu tylko dwóch rezystorów połączonych równolegle, dla którego wyznaczyć można już łatwo ostateczny poszukiwany błąd.

Rezystancja zastępcza dwóch pierwszych rezystorów jest określona, jak wiadomo, następującą zależnością:

R₁₂ = f(R₁, R₂)

Rezultat otrzymany dla tego cząstkowego rozwiązania upoważnia nas do sformułowania następującego wniosku ogólnego. Względny błąd graniczny, z jakim określona jest rezystancja zastępcza n rezystorów połączonych równolegle jest równy błędowi, z jakim określona jest rezystancja pojedynczego rezystora.

Gdyby poszczególne rezystancje obarczone były różnymi błędami, błąd rezystancji zastępczej stanowiłby pewną wypadkową błędów, nie byłby jednak równy sumie błędów, czego moglibyśmy się obawiać. Uwaga ta dotyczy również Przykładu 4.

2

---