5. Modele matematyczne charakterystyk przepływowych oporów pneumatycznych

Jak wiadomo, w zależności od warunków, przepływ płynu w przewodzie może mieć charakter laminarny (uwarstwiony) lub turbulentny (burzliwy).

W przypadku przepływu laminarnego zależność strumienia objętości od parametrów przepływu określa wzór Hagena - Poiseuille'a (dla kapilary o przekroju kołowym)

gdzie:
- długość kapilary,
- średnica kapilary,
- lepkość dynamiczna płynącego czynnika,
- różnica ciśnień wywołująca przepływ.

(Dla powietrza pod ciśnieniem atmosferycznym i temperaturze pokojowej
, dla cieczy układów hydraulicznych
)

Znane są wzory dla oporów o innych przekrojach.

W przypadku przepływu laminarnego strumienia objętości powietrza przepływającego przez opór jest wprost proporcjonalny do różnicy ciśnień wywołującej przepływ. W urządzeniach pneumatycznych warunki przepływy laminarne mogą wystąpić przy bardzo małych spadkach ciśnienia rzędu 0,01 bar.

W pneumatyce wysokociśnieniowej praktycznie występują tylko przepływy turbulentne.

W zależności od wartości stosunku ciśnień

,

gdzie:
- ciśnienie absolutne za oporem,
- ciśnienie absolutne przed oporem (stosunek ciśnień
definiuje się dla założonego kierunku przepływu, a więc dla
),

rozróżnia się:

• przepływy dokrytyczne, jeżeli
  (ruch odbywa się z prędkością mniejszą od lokalnej prędkości dźwięku),

• przepływy krytyczne, jeżeli
  (ruch odbywa się z lokalną prędkością dźwięku),

• przepływy nadkrytyczne, jeżeli
  (ruch odbywa się z prędkością większą od lokalnej prędkości dźwięku); przepływ nadkrytyczny może wystąpić tylko w przypadku odpowiednio ukształtowanej dyszy wylotowej - w postaci tzw. dyszy Lavala.

Rys. 0. Charakterystyki przepływowe oporu pneumatycznego: G - strumień masy powietrza płynącego przez opór pneumatyczny,
,
- ciśnienie absolutne za oporem,

- ciśnienie absolutne przed oporem (
)

Znajomość charakterystyk przepływowych oporów, a właściwie modeli matema­ty­cz­nych tych charakterystyk, jest podstawą obliczeń związanych z analizą lub projek­to­wa­niem układów pneumatycznych.

Charakterystyką przepływową oporu pneumatycznego nazywa się zależność natężenia przepływu powietrza płynącego przez opór od czynników wywo­łu­jących ten przepływ. W przypadku oporów pneumatycznych liczba czynników, które mają zauważalny wpływ na natężenie przepływu jest znaczna (ciśnienia, temperatury czynnika przed i za oporem, wymiary geometryczne oporu, jego kształt, przebieg procesów cieplnych i inne). Przy tym wpływ tych czynników na natężenie przepływu może się zmieniać w zależ­­no­ści od charakteru zjawiska przepływu (przepływ laminarny, turbulentny, dokrytyczny, krytyczny, nadkry­tyczny). Złożoność zjawisk związanych z przepływami w oporach pneumatycz­nych powoduje trudności w sformułowaniu modelu matematycznego dogodnego do praktycznych zastosowań i jednocześnie wystarczająco dokładnie wyra­żają­cego rzeczywiste właściwości danego oporu.

Poniżej przedstawiono najczęściej wykorzystywane w obli­cze­niach inżynierskich modele charakterystyk przepływowych oporów, w których występuje przepływ turbulentny i uwidoczniono zachodzące pomiędzy nimi relacje. Ograniczono się do modeli, w których zakłada się stałość parametrów reprezen­tujących właściwości przepływowe zaworu.

Większość wykorzystywanych do obliczeniach inżynierskich matematycznych modeli charakterystyk przepływowych oporów pneu­ma­tycznych to wzory półempiryczne wyprowadzone z równania ruchu płynu nielepkiego (Eulera). Całkowanie tego równania przy zało­żeniu nieściśliwości płynu prowadzi do uzyskania rów­na­nia Bernoulliego, z którego wypro­wadza się wzór, zwany także wzorem Bernoulliego
, (1)

wyrażający zależność strumienia masy
płynu przepływającego przez opór od warun­ków prze­pływu: ciśnienia przed oporem
, ciśnienia za oporem
(w dalszym ciągu przyjęto, że oznaczenia
i
reprezentują ciśnienia absolutne statyczne), gęstości płynu
oraz od para­metru repre­zen­tu­jącego właściwości przepływowe oporu - jego powie­rzchni przepły­wowej
.

Założenie braku lepkości powoduje zbyt dużą niezgodność modelu i przepływu rzeczywi­stego, wobec czego wprowadza się dodatkowy parametr korygujący tę nie­zgodność - współ­czynnik , wyzna­czany doświadczalnie. Iloczyn
, zwany także efektywną powierzchnią przepływową oporu, można trakto­wać jako jeden para­metr określający właściwości przepływowe oporu. Zakłada się także, że tem­peratura gazu przy prze­pływie nie zmienia się i jest równa temperaturze gazu przed oporem
, a gęstość gazu odpo­wiada warunkom za oporem, czyli że
.

Zatem praktyczną postacią wzoru Bernoulliego [2] jest

(2)

lub

(2')

W celu analizy właściwości tego modelu wprowadźmy do modelu (2') zmienną
. Wzór (2') można więc zapisać w postaci

, (2'')

gdzie funkcja
nazywana jest funkcją przepływu. Należy zauważyć, że we wzorach (1) i (2)
oznacza ciśnienie wyższe (przed oporem) niż
(za oporem). Zatem zmienna
może przyjmować wartości tylko od 0 do 1. Łatwo zauważyć, że
oraz, że funkcja
ma maksimum dla
(
nazywane jest krytycznym stosunkiem ciśnień);
.

Zmniejszanie wartość ciśnienia
przy stałej wartości ciśnienia
(zwiększanie spadku ciśnienia na oporze) winno być związane ze wzrostem wartości strumienia masy. W przypadku wzorów (2), (2') i (2'') zmniejszanie wartości ciśnienia
powoduje wzrost wartości
tylko w zakresie zmian zmiennej
od wartości 1 do
. Dalsze zmniejszanie
, co prowadziłoby do zmniejszenia wartości zmiennej
poniżej wartości
, powoduje malenie wartości
, co jest niezgodne z rzeczywistością.

Mówi się, że przepływy odpowiadające zakresowi
to przepływy dokrytyczne; w zakresie tym natężenie przepływu zależy zarówno od różnicy ciśnień przed i za oporem. W zakresie
przepływ jest krytyczny, niezależny od ciśnienia
. W tym zakresie dla
, przy zmniejszaniu ciśnienia
wartość
pozostaje taka jak dla
. Zatem wzory (2), (2') i (2'') stosuje się tylko w przypadku kiedy
(przepływy dokrytyczne), natomiast dla
(przepływy krytyczne) należy wykorzystywać wzór

(2”')

Modyfikacją modelu (2) jest tzw. uśredniony wzór Bernoulliego [2]

, (3)

uzyskany z równania (1) przy założeniu, że gęstość
jest wartością średnią gęstości przed oporem
i za oporem
(i przy utrzymaniu założenia, że
)

Przekształcając wzór (3), otrzymuje się:

W tym przypadku funkcja przepływu

monotonicznie rośnie od wartości
do wartości
; można więc przyjąć, że
. Wzór (3) można więc stosować w całym zakresie zmienności stosunku
.

Całkowanie równania Eulera z uwzględnieniem ściśliwości płynu wg przemiany izoter­mi­cznej prowadzi do modelu przepływu

(4)

lub w innej postaci

gdzie:
,
.

Funkcja
ma maksimum dla
, przy czym
.

Dla
(przepływ dokrytyczny) wykorzystuje się model (4), a dla
(przepływ kryty­czny) model

(4')

Całkowanie równania Eulera z uwzględnieniem ściśliwości płynu wg przemiany poli­tro­powej prowadzi do modelu przepływu zwanego, w przypadku gdy
(przemiana adiabatyczna) wzorem de Saint-Venanta-Wentzela

(5)

lub w innej postaci

gdzie: n - wykładnik przemiany politropowej,
,
.

Funkcja
ma maksimum dla
.

Dla: -

-

-

-

Dla
(przepływ dokrytyczny) wykorzystuje się model (5), a dla
(przepływ kryty­czny) model

(5')

Ze względu na złożoną postać funkcji
, dla
(przemiana adiabatyczna) wykorzystuje się też jej aproksymację zapro­po­no­waną przez Prandtla
, łącznie z zało­żeniem, że
.

Założenia te prowadzą do tzw. uproszczonego wzoru de Saint-Venanta-Wentzela:

- dla

(6)

- dla

(6')

W modelach przepływów (2)  (6) jedynym parametrem charakteryzującym zdolności przepły­wowe oporu jest jego efektywna powierzchnia przepływowa
.

Wykorzystując wzór Bernoulliego (2) wprowadzono inny parametr charakteryzujący zdolności przepły­wowe oporu - tzw. współczynnik przepływu
[3,7]. Wartość stru­mienia masy określa się ze wzoru

(7)

gdzie:
- gęstość gazu w warunkach znormalizowanej atmosfery odniesienia (
,
) .

Współczynnik
jest to wyrażona w m³/h wartość strumienia objętości wody o temperaturze od 5⁰C do 30⁰C, która przepływa przez dany opór (zawór) pod wpływem różnicy ciśnień 100000 Pa. Należy zwrócić uwagę, że wzór (7) jest wzorem liczbowym, tzn. że wartość współczynnika liczbowego jest dostosowana do jednostek występujących we wzorze wielkości. Współczynnik
może być podawany w innych jednostkach strumienia objętości, np. w dm³/min; wymaga to zmiany wartości współczynnika we wzorze (7).

Nie wnikając w interpretację fizyczną współczynnika
, na podstawie porównania wzorów (7) i (2) można stwierdzić że wartość
jest proporcjonalna do
, a modele (7) i (2) są równoważne. Mając na uwadze wystąpienie w odniesieniu do wzoru (2) krytycznego stosunku ciśnień
, model (7) wykorzystuje się tylko dla
, natomiast dla
obowiązuje zależność

(7')

Inny model przepływu proponuje norma PN-92/M-73763 [5] (odpowiednik normy ISO 6358).

Wg PN-92/M-73763 strumień masy dla przepływów dokrytycznych oblicza się ze wzoru

(8)

gdzie:
- temperatura znormalizowanej atmosfery odniesienia (
),
- gęstość gazu w warunkach znormalizowanej atmosfery odniesienia,
,
- rzeczywisty krytyczny stosunek ciśnień (największa wartość stosunku
, przy której w danym oporze występuje jeszcze przepływ krytyczny). Wzór (8) należy stosować dla
.

Dla
(przepływ krytyczny) należy stosować wzór:

(8')

Parametrami określającymi zdol­ności przepływowe oporu są w tym przypadku tzw. przewodność dźwiękowa
oraz rzeczywisty krytyczny stosunek ciśnień
.

Łatwo zauważyć, że dla
model ten jest równoważny modelowi (6), ponieważ wtedy

Natomiast dla
model (8) jest równoważny modelowi (3), ponieważ wtedy

.

Łatwo zauważyć, że wszystkie wymienione modele można sprowadzić do jednej struktury

gdzie współczynnik
reprezentuje parametr oporu wyrażający jego właściwości prze­pły­wowe,
- funkcja stosunku ciśnień
.

Aby można było porównać właściwości przytoczonych modeli zapisano je w postaci, w której maksymalna wartość funkcji
.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(8)
dla

(8)
dla

Rys.1. Porównanie różnych funkcji

Rys.2. Porównanie przebiegów funkcji
dla różnych wartości wykładnika poli­tropy

Porównanie różnych funkcji
pokazano na rys.1. Na rys. 2 pokazano przebiegi funkcji
dla różnych wartości wykładnika politropy, na rys. 3 - przebiegi funkcji
dla różnych wartości współczynnika
.

Rys.3. Porównanie przebiegów funkcji
dla różnych wartości współczynnika

Wartości współczynnika
dla wybranego modelu wyznacza się na podstawie zmierzo­nej wartości strumienia masy
i warunków przepływu
,
i
.

Porównując wzory o ujednoliconej strukturze można poczynić szereg spos­trzeżeń.

1. Modele (4)(8) zakładają istnienie przepływów kryty­cznych - niezależnych od wartości ciśnienia za oporem w określonych zakresach wartości stosunku ciśnień
.

Jeżeli współczynniki
tych modeli będą wyznaczone na podstawie pomiaru wartości strumienia masy dla
, przy którym
, (przepływ krytyczny), to wartości współ­czyn­ników
,
,
,
i
będą jednakowe. Wtedy modele (4)(8) w zakresie przepływów krytycznych będą identyczne (w tym zakresie wartości stosunku
, w którym
).

Jeżeli natomiast strumień masy
zostanie zmierzony w warunkach przepływu dokry­tycznego, to wyznaczone na tej podstawie wartości współczynników
będą różne, zależne od rodzaju funkcji
występującej w danym modelu.

Zatem, aby współczynnik
charakteryzował opór niezależnie od przyjętego modelu prze­pływu, należy go wyznaczać na podstawie wartości strumienia masy zmierzonej w warun­kach przepływu krytycznego (gdy
).

2. Modele (6), (7) oraz model (8) dla
są identyczne, pomimo że właściwości przepły­wowe oporu reprezen­towane są przez różne parametry:
,
,
.

3. Wartości efektywnej powierzchni przepływowej
wyznaczane na podstawie róż­nych modeli są różne. Zatem współczynnik
nie jest współczynnikiem jedno­znacznie charakteryzującym właści­wości przepływowe oporu; należy go stosować tylko dla modelu, na podstawie którego został wyz­na­czony.

4. Wzór Bernoulliego - model (2) i uproszczony wzór de Saint-Venanta-Wentzela - model (6) są modelami identycznymi.

5. Model (3) i model (8) dla
są identyczne.

6. W modelach (2), (3), (4), (6), (7) właściwości przepływowe oporu reprezen­to­wane są przez jeden tylko parametr:
albo
; w modelach (5) i (8) przez dwa para­metry, odpowiednio
i
oraz
i
.

W przypadku modelu (5) zmiany parametru
(od 1 do 1,4 - wykładnik poli­tropy) w niewielkim stopniu wpływają na wartości natężenia przepływu - w grani­cach 10 % wartości tego natężenia (rys.2).

Większe zmiany parametru
nie mają fizycznego sensu, aczkolwiek rzeczywiste zależ­ności wartości przepływu od
często odpowiadają przebiegom funkcji
dla wartości parametr
nie mających interpretacji fizycznej.

W przypadku modelu (8) funkcja
nie ma interpretacji fizycznej (tylko geometryczną - ćwiartka elipsy), a parametr
oznacza doświadczalnie określoną wartość
.

Można by, analogicznie jak w przypadku funkcji
, odstąpić od fizycznej interpre­tacji funkcji
i wyko­rzy­stywać w szerszym niż dotychczas zakresie zmian parametru
, co umoż­liwiłoby lepsze dostosowanie modelu (5) do rzeczy­wistych właściwości oporu. Przykładowo na rys. 4 pokazano przebiegi funkcji
dla
i
oraz odpo­wiadające im przebiegi funkcji
.

Rys.4. Porównanie przebiegów funkcji
i odpowiadających im przebiegów funkcji

Powyższe wnioski sformułowano jedynie na podstawie matematycznej postaci poszcze­gólnych modeli, bez oceny zgodności tych modeli z rzeczywistymi zależnościami prze­pływu od warunków przepływu. Wykazanie wzajemnych relacji pomiędzy poszczegól­nymi modelami pozwala na ocenę przydatności poszczególnych modeli i umożliwia racjonalny wybór modelu najkorzystniej wyrażającego właściwości danego oporu rzeczy­wistego.

Literatura

1. Bukowski J., Kijkowski P.: Kurs mechaniki płynów. PWN, Warszawa 1980

2. Holejko D., Lammel L., Niewczas W., Żelazny M.: Pneumatyczne urządzenia auto­ma­tyki. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1986

3. Iwaszko J.: Funkcja przejścia pomiędzy parametrami C i b opisanymi w ISO 6358 a współczynnikiem wymiarowym K_v dla elementów pneumatycznych. Hydraulika i Pneumatyka 4/1999

4. Kościelny W., Woźniak C.: Modele charakterystyk przepływowych oporów pneumatycznych. IX Krajowa Konferencja PNEUMA'95. Mat. konf. str. 73 - 82

5. PN-92/M-73763 (ISO 6358-1989) Napędy i sterowania pneumatyczne. Elementy pneumatyczne. Wyznaczanie parametrów przepływowych

6. PN-92/M-73703 (ISO 8778) Napędy i sterowania pneumatyczne. Znormalizowana atmosfera odniesienia

7. Stelmach J.: Projektowanie przemysłowych układów automatyki. WNT, Warszawa 1980

1

---