Wykład 1

Geomatyka

-zespół działań które w sposób systematyczny integrują wszystkie środki stosowane do:

-pozyskiwania

-opracowania

-wykorzystania (zarządzania)

-danych przestrzennych wymaganych jako część operacji naukowych, administracyjnych, prawnych, technicznych związanych z procesami tworzenia środowiska przestrzennego i zarządzania nimi

Pomiar - proces w wyniku którego przypisuje się liczby obiektom i zjawiskom empirycznym

-podstawowy proces we wszystkich układach produkcyjnych związanych z porównaniem z pewnymi przyjętymi standardami

-działanie dostarczające fizyczne i geometryczne informacje o środowisku

Tworzenie baz danych - proces uporządkowania w formie baz danych tych wyników opracowań geodezyjnych, które służą jako punkty wyjściowe do wielu dalszych opracowań np. bazy danych osnowy wysokościowej kraju

Obliczenia geodezyjne - wielkości będące przedmiotem zainteresowania geodezji nie są zazwyczaj bezpośrednio obserwowane są one funkcjami obserwacji:

-model matematyczny

-układ współrzędnych

Obserwacje geodezyjne obarczane są błędem przypadkowym - model stochastyczny (opis błędów, model błędów)

Wyrównanie dostarcza:

-spójnego zbioru wyników

-oceny dokładności ich wyznaczenia

Tworzenie map - proce odwzorowania położenia pomierzonych obiektów na płaszczyznę w odpowiedniej skali:

-jednolity układ współrzędnych

-odwzorowania na płaszczyźnie

-kontrola zniekształceń odwzorowawczych

Interpretacja naukowa

Przykłady:

-monitorowanie procesów geodezyjnych

-prognozowanie zmian klimatycznych

-doskonalenie modeli i atmosfery wnętrza ziemi

Geodezja niższa - geodezja o zasięgu lokalnym

Pomiar:

-kąty płaskie

-odległości

--zredukowane na płaszczyznę (rzut ortogonalny - linie pionu)

Założenie:

-linia pionu ma ten sam kierunek w każdym punkcie

Obliczenia (wyrównanie ):

-na płaszczyźnie

-wspólny lokalny układ współrzędnych płaskich

Mapa:

-zastosowanie skali(podobieństwo)

UWAGA!!! Często wymagane jest dowiązanie do punktów osnowy państwowej. Zakładanie, utrzymywanie i konserwacje osnów geodezyjnych należą do zadań geodezji wyższej.

GEODEZJA WYŻSZA

Geodezja o zasięgu regionalnym, globalnym (planetarnym)

Pomiar:

-kąty płaskie

-odległości

odcinków prostych łączących punkty

Problem - linia pionu jest linią zakrzywioną, jej kierunek jest wyznaczony przez wektor przyspieszenia siły ciężkości, ma różne kierunki w różnych punktach

Obliczenia (wyrównanie)

Należy powiązać obserwacje na różnych stanowiskach, należy różne układy nawiązania ze sobą powiązać

Należy przyjąć powierzchnię odniesienia

-na jakiej powierzchni

jaki wspólny układ współrzędnych

Mapa - odwzorowanie powierzchni odniesienia na płaszczyznę

Fizyczna powierzchnia ziemi

-najbardziej nieregularna (elipsoida)

-trudna do opisania matematycznego

-tradycyjnie opisywane

-graficznie (mapa)

-punktowo (punkty pomiarowe)

Kształt geoidy jest stosunkowo bliski elipsoidzie obrotowej

Geoida

-gładka powierzchnia

-znajomość geoidy pociąga za sobą znajomość wszystkich powierzchni ekwipotencjalnych (znajomość zewn. Pola grawitacyjnego ziemi)

-powierzchnia odniesienia dla wysokości

Elipsoida

-prosta matematyczna powierzchni odniesienia utworzona dla ułatwienia opracowania obserwacji geodezyjnych

-powierzchnia uzyskana poprzez obrót elipsy o półosiach a, b wokół małej osi

spłaszczenie elipsoidy

Średnia elipsoida ziemska - geometr. (środek geometryczny pokrywa się ze środkiem mas ziemi)

Elipsoida odniesienie -najlepiej dopasowana do konkretnego regionu ziemi

Najczęściej wykorzystywane elipsoidy odniesienia

-Besel (Borowa góra)

-Krasowskiego (Putkowo)

-GRS 1967

-GRS 1980

-WGS 84

Figura ziemi a system wysokości

Wys. Elipsoidalna = wys. ......... + undulacja geiody

h = H + N

h - Mierzona po prostej elipsoidy mierzona przez P

N - mierzona po prostej elipsoidy

H - mierzona po zakrzywionej linii pionu przez P

Linia pionu

-fiz. realizowana przez pionowanie instrumentu

-wraz z kierunkiem północy określa się układy współrzędnych w którym dokonuje się pomiarów na punkty

-ma różne kierunki w różnych punktach

[[ jak znaleźć relację pomiędzy kierunkami linii pionu w różnych punktach? ]]

WPROWADZENIE DO POLA SIŁY CIĘŻKOŚCI

ZIEMIA - bryła obracająca się wokół własnej osi

Na punkt obracający się wraz z Ziemią działają siły:

-Siła przyciągania grawitacyjnego (przyciąganie Ziemi i wszystkich innych ciał niebieskich: Słońce, Księżyc)

-Siła odśrodkowa

Siła przyciągania grawitacyjnego + siła odśrodkowa = siła ciężkości

UWAGA !

Satelita nie obraca się z Ziemią, a zatem działa na niego tylko siła przyciągania grawitacyjnego

Wg II Prawa Newtona (druga zasada dynamiki) :

SIŁA = MASA * PRZYSPIESZENIE

Przyspieszenie - siła działająca na masę jednostkową.

Jeżeli punkt jest w przestrzeni nie działa na niego siła odśrodkowa

P' - punkt przyciągający

P - punkt przyciągany (o masie jednostkowej)

Przyspieszenie grawitacyjne Fg w punkcie P(x, y, z) wywołane przyciąganiem masy punktowej m umieszczonej w punkcie P'(x', y' z');

Siła przyciągania grawitacyjnego działająca na masę jednostkową wyraża się następująco:

Fg = - G

l = (x-x', y-y', z-z')

l =

G = 6,673 * 10^-11 m³g*s² (stała grawitacyjna)

W wypadku, gdy masa jednostkowa w punkcie P przyciągana jest jednocześnie przez układ mas punktowych m umieszczonych odpowiednio w punkcie P_i(x_i, y_i, z_i), wówczas przyspieszenie grawitacyjne :

Fg = - G

Przyspieszenie grawitacyjne masy jednostkowej w punkcie P(x, y, z) wywołane przyciąganiem grawitacyjnym Ziemi będzie zatem:

Fg(x, y, z) = - G

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości Ziemi.

przekrój przez Ziemię punkt P obraca się z prędkością kątową  odległość punktu P od osi obrotu to promień równoleżnikowy tego punktu

wektor oparty na osi obrotu punktu P jest kierunkiem działania siły odśrodkowej siła odśrodkowa jest proporcjonalna do wektora

Przyspieszenie siły odśrodkowej F₀ w punkcie P(x, y, z) wywołana ruchem obrotowym Ziemi z prędkością kątową ω (siła odśrodkowa działająca na masę jednostkową); wyraża się następująco:

F₀ = ω² p

ω - prędkość kątowa Ziemi

p - wektor p

gdzie :

Przyspieszenie siły ciężkości (wektor) g wyraża się jako suma:

G = Fg + F₀

Przedstawione pole grawitacyjne w postaci funkcji skalarnej, a nie wektorowej (za pomocą przyspieszenia) jest dużo wygodniejsze.

Dla obu pól sił Fg i F₀ istnieją odpowiednie potencjały (funkcja skalarna) V i Ф takie, że

Fg = VV =

oraz:

F₀ = V Ф =

-Siła jest gradientem potencjału

-Każdemu punktowi przypisany jest skalar

-Punktowi przypisujemy jedną wartość potencjału

Nietrudno pokazać, że potencjał pola grawitacyjnego Ziemi ma postać :

V(x, y, z) = G

d m = ρ dV

gdzie:

ρ - gęstość średnia w elemencie objętości dV

V(x, y, z) = G

(całkowanie po objętości Ziemi)

(siła to gradient potencjału)

Potencjał pola siły odśrodkowej Ziemi wyraża się wzorem:

Φ(x, y, z) =
ω² (x² + y²)

gradientem siły ciężkości jest wektor siły ciężkości

Potencjał pola siły ciężkości W jest zatem:

W = V + Φ = G

oraz:

g = W V =

g - wektor siły ciężkości

UWAGA !

Powyższe wzory nie mają zastosowania praktycznego z uwagi na:

-Nieznajomość dokładnego rozkładu mas wewnątrz Ziemi

oraz

-Dokładnego opisu matematycznego powierzchni Ziemi.

Znajomość W jest równoważna znajomości figury Ziemi oraz wektora g (kierunek linii pionu).

Oś pionowa instrumentu ustawiona jest z linią pionu - to jest kierunek faktycznej siły ciężkości.

W każdym punkcie jest inny kierunek linii pionu.

WIELKOŚCI ZAKŁÓCAJĄCE W POLU SIŁY CIĘŻKOŚCI ZIEMI

Potencjał zakłócający T - różnica potencjału zakłócającego i rzeczywistego w punkcie P

T_I = Wp - Up

Z uwagi na to, że potencjał U normalnego pola siły ciężkości stanowi dobre przybliżenie potencjału W, potencjał zakłócający T jest wielkością małą względem W lub U.

Tp << Wp i Tp << Up

Potencjał zakłócający T jest funkcją harmoniczną na zewnątrz Ziemi, tj. T w przestrzeni spełnia równanie Laplace'a. Jeżeli znamy potencjał rzeczywisty punktu P, możemy policzyć powierzchnię potencjału normalnego.

Gradient - kierunek wektora normalnego do funkcji

Potencjał normalny dla każdego punktu e przestrzeni obliczamy na podstawie modelu normalnego.

Mając z modelu potencjał normalny, można obliczyć gradient normalny.

Odległość między dwoma punktami Q i P to anomalia wysokości; może być rzędu 100m.

WYKŁAD 5 26.03.2002

Podstawy Geometrii Elipsoidy

Parametry geometryczne elipsy:

- a duża półoś

- b mała półoś

Jednoznacznie określają elipsoidę

Inne parametry (funkcje a i b) często używane są do opisu kształtu elipsoidy

spłaszczenie (ok. 1:300 na Ziemi)

pierwszy mimośród

drugi mimośród

liniowy mimośród

Różnica 21 km na biegunie między a i b (przy długości półosi ponad 6000 km).

Mimośrody to małe wielkości.

Związek pomiędzy parametrami a,b,f,e,e'.

Spłaszczenie f oraz pierwszy i drugi mimośród e i e' można rozwiązać w szeregi potęgowe wg potęg e² lub e'².

Przykład

Ponieważ

można zastosować następujący szereg:

Podstawia się: x = e²

Otrzymując:

^­

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH W ELIPSOIDZIE

Z uwagi na symetrię obrotową elips. Definiuje długości λ będą takie same dla wszystkich układów współrzędnych. Przedstawione za definicję różnych szerokości elipsoidalnych.

WSPÓŁRZĘDNE GEODEZYJNE

1. Szerokość geodezyjna

Współrzędne geodezyjne.

φ - szerokość geodezyjna (może być B)

λ - długość geodezyjna (może być L)

określone przez normalną do elipsoidy

Współrzędne geodezyjne (φ,λ) można traktować jako współrzędne na powierzchni elipsoidy (współrzędne krzywoliniowe) wyrażone są one liniami:

- południków (λ = const)

- równoleżników (φ = const)

Każdy południk to połówka elipsoidy.

Układ współrzędnych geodezyjnych mogą być odniesione do elipsoid o różnych rozmiarach rużnych położeniach ich środka. Układy takie mają nazwę Globalnych Układów Geodezyjnych (G) - służy łączeniu lokalnych układów.

2. Szerokość zredukowana

Ujęcie szerokości zredukowanej p zilustrowano na osiowym przekroju elipsoidy (płaszczyzną południka)(z,p) gdzie oś p jest przecięciem płaszczyzną południka z płaszczyzną równika. Odległość P od osi z jest promieniem równoleżnika.

Równania parametryczne elipsy południka w funkcji szerokości zredukowanej β

P' = γ = a cosβ

z' = a sinβ

Korzystając z okręgu o promieniu b otrzymamy

Szerokość geograficzna

KRZYWE NA ELIPSOIDZIE

1. Długość łuku południka

Element ds łuku południka ds = mdφ

Długość łuku południka Sm liczone od równika wyrarza się:

Podstawiając do wyrażenia m otrzymamy:

Jest to całka eliptyczna drugiego stopnia - nie posiada elementarnego rozwiązania tzn. nie daje się wyrazić skończoną liczbą funkcji elementarnej.

ROZWIĄZAĆ:

-Całkowanie numeryczne.

-Rozwinięcie funkcji podcałkowanej w szereg i całkowanie wyrazu po wyrazie.

Korzystając z szeregu dwumianowego po całkowaniu i uporządkowaniu otrzymuje się:

To samo można zapisać:

Współrzędne A,B,C,D liczy się raz dla danej elipsoidy (do danych parametrów a,b).

W równaniu szereg nieskończony jest obcięty. Błąd obcięcia jest rzędu e²ⁿ. Wielkość e²ⁿ dla elipsoidy przyjmuje wartość:

e² = 6,7*10^-3

e⁴ = 4,5*10^-5

e⁶ = 3,0*10^-7

e⁸ = 2,0*10^-5

Obcięcie szeregu na poziomie 2eⁿ. Spowoduje błąd rzędu e²⁽ⁿ⁺¹⁾. Na przykład odrzucenie wyrazu rzędu e⁸ i wyższych spowoduje max bł. A=1,57 e⁹ co do φ=90⁰(10000km)odpowie 1-3cm obliczonej długość łuku poz.

Długość łuku..............odpowiadająca określonej Δd na różnych szerokościach φ tylko nieznacznie się różnią. Stad w wielu wypadkach można przyjmować, że:

1^cc łuku odpowiada 30,9 km

1^c łuku odpowiada 111,3 km

10000 km = 10⁵ km = 10⁸

Połowa południka podzielona została na 10⁸ i stąd wziął się metr.

Wykład 6. 09-04-2002r.

Koncepcja linii geodezyjnych.

Na elipsoidzie przekrój normalny w P₁ przez P₂ nie pokrywa się z przekrojem normalnym w P₂ przez P₁. Przekrój normalny na elipsoidzie nie jest jednoznaczną linią łączącą 2 punkty.

Linia geodezyjna na powierzchni:

W każdym punkcie linia geod. Normalna główna do linii geod. pokrywa się z normalną do powierzchni.

W myśl tej definicji linia geod. daje się przedstawić przy pomocy równania różniczkowego 2-go rzędu.

W większości przypadków (w tym na elipsoidzie) linia geod. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Powierzchni i jest jednoznaczna.

Przykłady linii geodezyjnych na różnych powierzchniach (rzuty na płaszczyznę).

Całkując równanie różniczkowe linii geod. na elipsoidzie otrzymuje się równanie Clairaut linii geod.

α - azymut linii geod. w danym jej punkcie;

β - szerokość zredukowana danego punktu linii

Azymut linii geod. w punkcie na równiku określa szerokość najbardziej wysuniętego na północ punktu linii geod.

W ogólnym przypadku linia geod. nie jest krzywą zamkniętą. Wzajemne przekroje normalne i linia geod.

W ogólnym przypadku linia geodezyjna nie jest krzywą zamkniętą. Wzajemne przekroje normalne i linia geod.

Kąt Δα₁ pomiędzy dwoma przekrojami normalnymi może osiągnąć 0''02 dla S=50 km.

Na elipsoidzie mierzy się azymut od północy tzn. od południka.

Kierunek północy na mapie - kierunek topograficzny. Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Północ astronomiczna - kierunek od połud. astronomicznego.

Redukcje azymutu Δα₂ oraz odległość od przekroju normalnego do linii geodezyjnej obliczona ze wzoru:

Do standardowych odległości S wielkości te wynoszą:

S 50 km 100km 200km

0''007 0''028 0''112

S₁-S 2*10^-11m 9*10^-10m 2*10^-8m

Rozwiązanie zadań geometrycznych na elipsoidzie

Określenie wzajemnego położenia 2 pktó P₁ i P₂ na elipsoidzie ujęte jest w postaci zadań:

Zad. wprost

Dane: -współrz. geod. φ₁, λ₁, punkt P₁

-kierunek (azymut) α_1,2

_-odległość ds_1,

Obliczyć: -współrzędne geod. φ₂, λ₂ punktu P₂, azymut α_21.

-Zad. odwrotne

Dane: -współrz. geod. φ₁, λ₁, punkt P₁

-współrz. geod. φ₂, λ₂, punkt P₂

-kierunek (azymut) α_1,2

_-odległość ds_1,2

Obliczyć: -kierunki (azymuty) α_1,2, α_2,1

_-odległość ds_1,2

Metody rozwiązania tych zadań różnią się koncepcją, zasięgiem i dokładnością. Można je sklasyfikować w następujące grupy:

1.Mat. Bezpośrednie

-rozw. Trójkąta elipsoidalnego P₁, P₂, B z wykorzystaniem pomocniczej kuli, (met. Bessela, Robbinsa)

2.Met. wykorzystujące szeregi potęgowe

-słaba zbieżność - krótkie odległości

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

3.Met-y wykorzystujące punkt pomocniczy (rzut jednego punktu na południk drugiego punktu)

-dłuższe odległości

(met.-y Clarke'a Schreibera)

Zarys metody Gaussa

Met. oparta jest na rozwinięciu w szereg Taylora φ, λ, α na elipsoidzie w otoczeniu punktu wyjściowego względem parametru naturalnego, tj. długości linii geodezyjnej S.

Oznaczając: Δφ=φ₂-φ₁

Δλ=λ₂-λ

Δα=α₂₁-α₁₂

Otrzymuje się:

Do obliczenia pochodnych mażna posłużyć się zależnościami zachodzącymi dla linii geod.

Ze zróżniczkowania równań Clairaut dla linii geod.

Rozwiązanie zadania wprost

C_φ, C_λ, C_α-współczynniki

Rozwiązanie zadania odwrotnego

Met. najczęściej stosowana do rozwiązywania zadania odwrotnego

Wykład 7 2002 r

Związki pomiędzy współrzędnymi astronomicznymi i geodezyjnymi

Transformacje pomiędzy współrzędnymi geodezyjnymi i kartezjańskimi

1. P( φ,λ,h ) --> [Author:m.r.] P( x,y,z )

r_p = r_Q + h_n

gdzie:

a ponieważ

to

2. P( x,y,z ) P( φ,λ,h ) --> [Author:m.r.]

Ścisłe wzory transformacyjne są bardzo złożone . w praktyce transformacje wykonuje się iteracyjnie

Naziemne pomiary geodezyjne zazwyczaj odnoszą się do fizycznego kierunku pionu i do chwilowej osi obrotu Ziemi. Kierunki te leżą podstaw definicji lokalnego układu współrzędnych astronomicznych . współrzędne zwykłe są obliczane w globalnym układzie geodezyjnym.

Lokalny układ współrzędnych astronomicznych (LA)

Punkt może być wszędzie w przestrzeni , nie tylko na Ziemi

Szerokość astronomiczna - kąt jaki tworzy kierunek wektora siły ciężkości punktu P z płaszczyzną równika ( prostopadle do osi obrotu Ziemi i przechodzą przez środek mas Ziemi.)

Długość astronomiczna- kąt dwuścienny jaki tworzy płaszczyzna południka punktu p z płaszczyzną Greenwich.

Lokalny układ współrzędnych astronomicznych (LA)

Środek układu : w punkcie P

Oś podstawowa ( z) : normalna do powierzchni poziomej w P(W_p=const )

Oś drugorzędna ( x ) :północny kierunek stycznej w P do południka astronomicznego

Oś trzeciorzędna ( y) : prostopadła do osi x i z w układzie lewoskrętnym

Współrzędne astronomiczne (Ф,Λ) można wyznaczyć z pomiaru -

Określając jednocześnie kierunek linii pionu w P

Stąd

Współrzędne astronomiczne W_x, W_y , W_z tworzą układ współrzędnych naturalnych

Uwaga:

Nie można pomierzyć bezpośrednio współrzędnej W

Mierzoną wielkością jest różnica potencjałów dw = - gdn ( niwelacja geometryczna + grawimetria )

Różnica potencjałów dW określa się względem powierzchni odniesienia ( geoida w = w_o )

Transformacje między lokalnymi układami współrzędnych astronomicznych i geodezyjnych i ukł. współrzędnych globalnych.

LA
LG
G

1. LA
   LG

Skręcenie układu LA względem LG określone jest przez odchylenie pionu Q. Składowe odchylenie składa się :

φ

η = (Λ-λ)cosφ

Dodatkowo , rzutując η na płaszczyznę x_LG y_LG otrzymuję się różnice pomiędzy azymutem astronomicznym A i azymutem geodezyjnym.

3.Transformacje wektora r_1,2 układu LA do LG ma postać

transformacje odwrotną ( LG do LA ) otrzymuje się przekształcając powyższe wyrażenie wykorzystując własności macierzy obrotowych.

2,LG
G

-Transformacja składa się z obrotów

-Obrót osi układu LG do osi układu G

-Przesunięcie środka układu LG do układu LG do środka układu G

Obrót układu LG układu G wykonana jest w kolejności

-Zmiana układu G na prawoskrętny P₂

-Pokrycie się obu osi z R₂ ( 90 - φ )

-Pokrycie się obu osi y: R₃ (180 - λ )

LA
G

Kombinacja wzorów transformacyjnych LA→LG i LG→daje

WYKŁAD 8

ODWZOROWANIE MAPOWE

Pomiar obiektów na FPZ redukuje się na elipsoidę obrotową o znanych parametrach. Mapa jest obrazem pow. Ziemi na płaszczyźnie. Odwzorowanie mapowe określa jednoznacznie podporządkowanie punktów pow. elipsoidy obrotowej punktom pow. Ziemi, rozwijanej na płaszczyznę.

UWAGA: Nie istnieje idealne odwzorowanie mapowe Ziemi (zniekształcenie: rozciąganie , ściskanie , nieciągłości).

Współrzędne:

• na elipsoidzie (kuli) - Φ,λ, elipsoidalne sferyczne,

• na płaszczyźnie X,Y, kartezjańskie,

Odwzorowanie mapowe:

x=f_l(Φ,X), y=f_l(Φ,λ)

Przy określaniu odwzorowania niezbędne jest:

• określenie początku układu X , Y,

• określenie orientacji układu X , Y względem elipsoidy,

• wybór jednostek miary na osiach współ. X ,Y,

KLASYFIKACJA ODWZOROWAŃ MAPOWYCH

1azymutalne,

-stożkowe,

-walcowe,

2Z uwagi na punkty wspólne pow. odwzorowującej i pow. odwzorowywanej:

-styczne,

-sieczne,

3Z uwagi na orientację pow. odwzorowującej względem pow. odwzorowywanej:

-normalne,

-poprzeczne,

-ukośne,

4Z uwagi na własności odwzorowywawcze:

-wiernokątne (konforemne zachowani kształtów),

-wiernopolowe

-wiernoodległościowe

5Z uwagi na rodzaj matematycznej zależności odwzorowawczej:

geometryczne,

-półgeometryczne,

-niegeometryczne,

W gedezji powszechne zastosowanie mają odwzorowania wiernokątne zachowują one :-kształty,

-kąty pomiędzy liniami

ODWZOROWANIA WALCOWE MERCATORA:

W 1569 Mercator opracował mapę świata dla potrzeb nawigacji morskiej w oparciu o odwzorowanie walcowe normalne.

Pkt. pow. elipsodi odwzorowywane są ze środka geom. elipsoidy na pł. walca o przekroju kołowym stycznego do elipsoidy na równiku. Jest to odwzorowanie konforemne , w którym południki i równoleżniki odwz. się na linie proste. (siatka ortogonalna)

-południki równoległe,

-równoleżniki - o wzajemnej odległości rosnącej wraz z odległością od równika.

Zaleta odwz.: Każda prosta linia na mapie przecina równoleżnik pod stałym kątem linia jest obrazem tzw. loksodram (linie o stałym azymucie)

Wada: Ogromne zniekształcenia przy odwz. obszarów okołobiegunowych.

ODWZOROWANIE WALCOWE POPRZECZNE MERCATORA

W 1825 Gauss wykorzystując koncepcje Mercatora opracował konforemne odwz. walcowe poprzeczne znane jako odwz. poprzeczne Mercatora. Odwz. konforemne Gaussa, lub odwz. Gaussa - Krugera.

Pkt. pow. el. odwz. są ze środka geometr. el. na pł. walca o przekroju eliptycznym stycznego do el. wzdłuż południka styczności.

Jest to odwz. konforemne w którym południk styczny do walca oraz równik odwz. się na linie proste.

Pozostałe południki odwzorowane są na krzywe zbiegające się na biegunach o wzajemnej odl. rosnącej wraz z odl. południka styczności zwanego południkiem osiowym.

Równoleżniki - odwz. się na krzywe zbiegające się równolegle na poł. osiowym i rozchodzące się w miarę oddalania się od poł. osiowego.

Linie odwzorowywania się poł. i równ. tworzą siatkę ortogonalną.

Zniekształcenie skali odwz. rośnie z kwadratem odl. od poł osiowego wyrażonej w dł. geograficznej.

Odwz TM dla określonego terytorium przeprowadza się oddzielnie w sąsiednich strefach 6­_­^o 8^o 2^o 1^o

Zazwyczaj początek ukł .współ. płaskich X Y znajduje się w punkcie przecięcia równilka południkiem osiowym L₀

Oś X - skierowana jest wzdłóż południka osiowego na północ

Y - wzdłóż równika na wsch

TM - odwz będące podstawą odwzorowań mapowych

Używamy:

• styczne TM

• sieczne modyfikacje T

Dla regionów okołobiegunowych zastosowano stereograficzne odwzorowanie azymutalne .

UNIWERSALNE ODWZ WALCOWE POPRZECZNE

UTM - dla potrzeb wojskowych w celu stworzenia jednolitego systemu wsp płaskich dla map całego świata

Jest odwz. sieczne na walec o przekroju eliptycznym .

Zniekształcenie skali m₀ = 0,9996 dla UTM podzielono świat na 0,6^o strefy (mapa świata 1:1000000)

Nr strefy zgodnie z ruchem wskazówek zegara

I strefa 180^o - W<α< 1^o W

GEODEZJA WYŻSZA

Wykład 1

1

---