1.Różniczka funkcji jednej zmiennej + interpretacja geometryczna

2. Przestrzeń metryczna definicja + przykład

3.Wypukłość.Wklęsłość wykresu f-cji.Punkty przegiecia

4. Pojęcie relacji i własności relacji

5. Ciągłość funkcji jednej zmiennej. Rodzaje punktów nieciągłości

6. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne + przykłady. Twierdzenie Cantora

7. Interpretacja całki w zastosowaniu ekonomicznym

8. Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne+ superpozycja i metryka

9. Definicja pochodnej f-cji jednej zmiennej + interpretacja geometryczna

10. Całka nieoznaczona .Właściwości

11. Własności ciągu zbieżnego liczb rzeczywistych

12.Ekstremum lokalne funkcji jednej zmiennej

13. Własności relacji:

14. Przebieg zmienności funkcji

15. Metody całkowania

16. Liczby zespolonoe

17. Rodzaje punktów i typy zbiorów przestrzeni metrycznej

18. Granice niewłaściwe ciągu liczbowego. Wyrażenia nieonaczone.

19. Pojęcie szeregu liczbowego

20. Definicja granicy funkcji jednej zmiennej. Interpretacja geometryczna.

21. Pochodne funkcji elementarnych

22. Twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji, ilorazu funkcji złożonej, funkcji odwrotnej

23.Twierdzenie Taylora. Wzór Maclaurina

24.Różniczka funkcji,ekonomiczne charakterystyki zmienności funkcji

25.Całka oznaczona Definicja Własności

26. Całki niewłaściwe

27. Własności funkcji różniczkowalnych w przedziale

28. Twierdzenia o granicach funkcji

1.Różniczka funkcji jednej zmiennej + interpretacja geometryczna

Zakładamy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x₀, takim że x_{0 +} Δx ∈ Ơ(x₀; δ).

Różniczką funkcji f(x) w punkcie x₀ dla przyrostu Δx nazywamy iloczyn pochodnej funkcji f(x) w punkcie x₀ oraz przyrostu Δx i piszemy

dy / _{x = x0} = f '(x₀) _* Δx

W ogólnym przypadku mamy: dy = f '(x) _* dx dla każdego punktu, dla którego spełnione są powyższe założenia.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA:Oznacza to że różniczka funkcji dy jest przybliżoną miarą faktycznego przyrostu wartości funkcji Δy, przy czym przybliżenie to jest tym dokładniejsze im przyrost argumentu Δx jest mniejszy.

2. Przestrzeń metryczna definicja + przykład : Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X=/0 wraz z funkcją odległości ( metryką) d(p,q) ozn. <x,d>./// Odwzorowanie: d : XxX ->(p,q) -> d(p,q) e R dla dowolnych p,q e X nazywamy metryką (odległością) w zbiorze X < = > a) d(p,q)>=0 ; b) d(p,q)=0 < = > p=q aksjomat tożsamości; c) d(p,q)=d(q,p) aksjomat symetrii; d) d(p,q)+d(q,r)>=d(p,r) aksjomat trójkąta./// Jeżeli jest przestrzeń metryczna <x,d> oraz zbiór y<x to <y,d> nazywamy podprzestrzenią przestrzeni metrycznej <x,d>./// Otoczeniem punktu p e X o promieniu b nazywamy zbiór O(p,b)={peX; d(p,q)<b}/// Przykłady: x=R d(x,y)=|x-y| x=R^2 d(x,y)=pierw.[(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2] lub d(x,y)= |x1-y1| + |x2-y2| lub d(x,y)=max{|x1-y1|;|x2-y2|}.

3.Wypukłość.Wklęsłość wykresu f-cji.Punkty przegiecia: Krzywa (wykres funkcji f(x) ) jest wklęsła w przedziale (a,b)  gdy krzywa położona jest poniżej stycznej poprowadzonej w dowolnym punkcie wewnętrznym danego przedziału.

Krzywej wypukła , gdy krzywa położona jest powyżej stycznej.///Punkt X_O jest punktem przegięcia krzywej , gdy w sąsiedztwie tego pkt krzywa zmienia się z wklęsłej w wypukłą (lub odwrotnie).///* Badanie wklęsłości, wypukłości i punktów przegięcia oparte jest na analizie drugiej pochodnej.:Na ogół w określonych przedziałach: Jeżeli f ”(x) >0,to krzywa wypukła//Jeżeli f ”(x) <0, to krzywa wklęsła//Dla punktów przegięcia mamy :warunek konieczny: jeżeli f”(x)=0,to miejsca zerowe drugiej pochodnej są kandydatami na pp//warunek dostateczny: zmiana znaku drugiej pochodnej w sąsiedztwie kandydatów (spełniającego warunek konieczny)//Uwaga 1 Dla funkcji różniczkowalnej odrzucony kandydat na ekstremum lokalnej jest punktem przegięcia (p.p.) i odwrotnie tzn. odrzucony kandydat na pp jest ekstremum lokalne.//Uwaga 2 Specyficznymi kandydatami zarówno na ekstremum lokalne jak i punkty przegięcia są punkty w których występuje ostrze, funkcja jest ciągła ale brak pochodnej).

4. Pojęcie relacji i własności relacji: Relacją między elementami zbiorów A i B nazywamy każdy podzbiór S iloczynu kartezjańskiego AxB S( AxB.//Relacj określoną na zb. A nazywamy każdy niepusty podzbiór S iloczynu kartezjańskiego AxA S ( A^2.///

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych <a,b>, gdzie a
A i b
B

5. Ciągłość funkcji jednej zmiennej. Rodzaje punktów nieciągłości : 1. Def: Jeżeli istnieje wartość funkcji f(x) w punkcie x₀, istnieje granica właściwa funkcji w tym punkcie oraz granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie x₀, to mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀ tzn. lim_(x→x0)f(x)=f(x₀) ///2. Warunkiem koniecznym dla ciągłości f(x) w punkcie x0 jest określoność funkcji w pewnym otoczeniu punktu x0. [ Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. określoność funkcji w pewnym otoczeniu punktu x₀ nie wystarczy do stwierdzenia, że funkcja jest ciągła w punkcie x₀ ]. ///3.Można mówić o ciągłości jednostronnej funkcji f(x) w punkcie x₀ wówczas, gdy istnieje właściwa granica jednostronna równa wartości funkcji w danym punkcie: a) lim_(x→x0^-₎ f(x)=f(x₀) - ciągłość lewostronna w pkt. x₀ ; b) lim_(x→x0⁺₎ f(x)=f(x₀) - ciągłość prawostronna w pkt. x_0. ///

6. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne + przykłady. Twierdzenie Cantora: Zbiory A i B nazywamy zbiorami równolicznymi (jednakowej mocy) <= > gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru A na zbiór B (ozn. A (kreska falowana)B)/// Zbiór A nazywamy zbiorem przeliczalnym <= > gdy jest on skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (_____________________________)./// Własności zbiorów przeliczalnych: A,B -> zbiory przeliczalne to :

/// jeśli B przeliczalny -> każdy podzbiór przeliczalny _________________

Twierdzenie Cantora => zbiór liczb R jest zbiorem nieprzeliczalnym. /// Zbiór A nazywamy nieprzeliczalnym <= > gdy nie jest on przeliczalny.

7. Interpretacja całki w zastosowaniu ekonomicznym : Często spotyka się zastosowanie całek (oznaczonych) do szacowania zasobów. Mamy więc do czynienia w ekonomii z pewnymi strumieniami w procesach gospodarczych a ich efektem są uzyskane zasoby. Do szacowania wielkości zasobów wykorzystuje się aparat formalny całek oznaczonych. W związku z tym w ekonomi mówi się np. że wydajności pracy świadczonej w pewnym okresie odpowiada produkcja w tym okresie.

8. Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne : Mówimy, że odwzorowanie f: A->B jest wzajemnie jednoznaczny <= > gdy dla każdego a1, a2 e A f(a1)=f(a2) <= > (a1=a2) oznacza to ,że dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego wartości odwzorowania są wtedy i tylko wtedy , gdy równe są argumenty.// Funkcje X->Y nazywa się wzajemnie jednoznaczną tj. bijekcją gdy jest różnowartościowa i „na”.

Superpozycją odwzorowań g i f nazywamy odwzorowanie x→z = g(f(x))^x
x'

Metryką (odległością) nazywamy taki taki zbiór X
0, że zachodzi odwzorowanie XxX→R spełniające warunki:

1. d(p,q)=0p=q; d(p,q)=d(q,p); d(p,r)
   d(p,q)+d(q,r)

9. Definicja pochodnej f-cji jednej zmiennej + interpretacja geometryczna.: Pochodną funkcji f(x) w punkcie xo nazywamy granicę ilorazu różniczkowego ( o ile ta granica istnieje) i oznaczamy :

Jeżeli funkcja posiada granicę w punkcie xo , to mówimy, że jest zróżnicowana w punkcie xo.

10. Całka nieoznaczona .Właściwości.: Przez całkowanie funkcji f(x) rozumiemy operację odwrotną do różniczkowania, tzn. pytamy o tzw. funkcję pierwotną F(X), której pochodna jest równa funkcji całkowanej, tzn. F'(X)=f(x),

Jeżeli F(X) jest funkcją pierwotną dla funkcji f(x) to każda funkcja postaci F(X)+C, gdzie C=cons, jest także funkcja pierwotną dla funkcji f(x), ponieważ [F(X)+C]'=F'(X)+C'=f(x)

Całką nieoznaczoną funkcji f(x) nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych, dla funkcji f(x), które różnią się o dowolną, stałą C i piszemy:

[ ∫ f(x) * dx = F(X) +C] <= > F'(X)=f(x)

gdzie f(x) - funkcja całkowana

dx - różniczka zmiennej całkowanej (zmiennej niezależnej x) f(x)*dx - wyrażenie podcałkowe

F(X) - funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

C=constans - dowolna stała

(2) własności całki nieoznaczonej

1) ∫[f(x)+g(x)]*dx = ∫f(x)*dx + ∫g(x)*dx = F(X)+G(X)+C,

gdzie F(X) i G(X) są odpowiednio funkcjami pierwotnymi dla funkcji całkowanych f(x) i g(x)

2) ∫[f(x)-g(x)]*dx = ∫f(x)*dx - ∫g(x)*dx

3) ∫[α*f(x)]*dx = α*∫*f(x)*dx

4) Całkowanie przez podstawienie

∫f(x)dx = ∫f(φ(t))*φ'(t)*dt , jeżeli x=φ(t)=>dx=φ'(t)*dt

5) Całkowanie przez części

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji [u(x)*v(x)]' mamy: ∫[u'(x)*v(x)]dx=[u(x)v(x)]-∫[u(x)*v'(x)]dx..

w wyniku takiego przekształcania otrzymujemy część funkcji pierwotnej w postaci iloczynu

UWAGA: Całkowanie przez podstawienie oraz przez części nie są efektywnymi metodami całkowania pozwalającymi bezpośrednio wyznaczyć poszukiwaną funkcję pierwotna. Są to pewne przekształcenia, których zastosowanie powinno zbliżyć nas do efektywnego wyznaczenia całki nieoznaczonej.

11. Własności ciągu zbieżnego liczb rzeczywistych.: 1) Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony to jest ciągiem zbieżnym. W szczególności: a) jeżeli ciąg jest rosnący i ograniczony z góry to jest ciągiem zbieżnym, b) jeżeli ciąg jest malejący i ograniczony z dołu to jest ciągiem zbieżnym;c) każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego.

12.Ekstremum lokalne funkcji jednej zmiennej :

Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Mówimy, że funkcja f(x) osiąga ekstremum lokalne w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy wartość funkcji w punkcie x₀ jest lokalnie największa lub najmniejsza, tzn. w porównaniu z wartościami funkcji w pewnym sąsiedztwie tego punktu

∃_δ>0∀_x∈(x0,δ) f(x)< f(x₀) - maksimum lokalne w punkcie x₀

∃_δ>0∀_x∈(x0,δ) f(x)> f(x₀) - minimum lokalne w punkcie x₀

Zakładając, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x₀ (istnieje pochodna), możemy opisać warunek konieczny i warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x₀.

warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji f(x) w punkcie x₀ (dla funkcji różniczkowalnej). Jeżeli w punkcie x₀ funkcja f(x) osiąga ekstremum lokalne to f'(x₀)=0. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. jeżeli f'(x₀) = 0 to nie wystarczy do stwierdzenia, że w punkcie x₀ występuje ekstremum lokalne, bo może tam być p.p.//

warunek dostateczny (wystarczający) istnienia ekstremum lokalnego funkcji f(x) w punkcie x₀, w którym spełniony jest warunek konieczny (kandydat na ekstremum lokalne).//

Jeżeli w sąsiedztwie kandydata pochodna zmienia znak to w dowolnym punkcie funkcja osiąga ekstremum lokalne).

1. Jeżeli w sąsiedztwie kandydata spełniającego warunek konieczny pochodna zmienia znak z + (funkcja rosnąca) na - (funkcja malejąca) to w danym punkcie osiąga maksimum lokalne. Jeżeli w sąsiedztwie kandydata pochodna zmienia znak z - na + to w danym punkcie funkcja osiąga minimum lokalne.

2. Jeżeli w sąsiedztwie kandydata pochodna nie zmienia znaku to w danym punkcie ekstremum nie występuje (p.p.).

Praktycznie: ad a) warunek konieczny: f'(x) = 0 - miejsce zerowe pochodnej są kandydatami na ekstremum lokalne. Ad b) warunek dostateczny: zmiana znaku pochodnej w sąsiedztwie kandydata. Innymi kandydatami n a ekstremum lokalne funkcji są punkty, w których występuje tzw. ostrze - funkcja jest ciągła, ale brak pochodnej.

13. Własności relacji:

zwrotna Ara; symetryczna aRb=>bRa; przechodnia aRb ^ bRc => aRc

Surekcja - przekształcenie zbioru A na zbiór B (x<y)

Injekcja - funkcja różnowartościowa f(x₁)=f(x₂)=>x₁=x₂

Bijekcja - odwzorowanie,każdy x ma dokładnie jeden odpowiednik w y, i odwrotnie.

14. Przebieg zmienności funkcji

1. Własności wynikające wprost ze wzoru funkcji.

2. Analiza pierwszej pochodnej.

3. Analiza drugiej pochodnj.

4. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji.

5. Sporządzenie wykresu funkcji.

15. Metody całkowania:

• Podstawienie -
  

• Częsci -
  

Elastyczność-

16. Liczby zespolonoe

Liczbą zespoloną nazywamy liczbę w postaci z=a+bi, gdzie a,b nal. do R natomiast i jest jednostką urojoną

X²+1=0 x²=-1 x=pierwiastek -1 nie nal. R i=pierw. -1 -> jednostka urojona , z = a+bi gdzie ,b nal do R a= Re(z część rzeczywista liczby zespolone b=IM część urojona liczby zespolonej

17. Rodzaje punktów i typy zbiorów przestrzeni metrycznej.

Pkt P₀ E X nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli

Pkt E₁ E A nazywamy punktem izolowanym zbioru A, jeżeli

Pkt P₂ E A nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A jeżeli

Pkt P₃ nie nal A , to pkt P₃ nazywamy pkt zewnętrznym zbioru A

Pkt P₄ E X nazywamy pkt brzegowym zbioru A

Zbiór A nazywamy zbiorem otwarym jeżeli każdy pkt tego zbioru jest jego pkt wewnętrznym

Zbiór A nazywamy zbiorem domkniętym jeżeli do zbioru A należą wszystkie jego pkt skupienia

Zbiór A nazywamy zbiorem spójnym jeżeli dla każdego zbioru na sumę dwóch rozłącznych niepustych zbiorów (tzn. A=A₁ u A₂ ^ A1 U A2 nie równa zbiorowi pustemu ^ A1 nie równy zbiorowi pustemu ^ A2 nie równy zbiorowi pustemu) przynajmniej jeden ze zbiorów A1 A2 posiada punkt skupienia należący do drugiego z tych zbiorów

Zbiór A nazywamy wypukłym jeśli dla każdej pary pkt p q E A odcinek łączący pkt p i q jest całkowicie zawarty w zbiorze A

Zbiór A nazywamy zbiorem ograniczonym jeżeli (odwrócone E pod nim ro > 0) (odwrócone A pod nim p,q EA) d(p,q) <ro

18. Granice niewłaściwe ciągu liczbowego. Wyrażenia nieonaczone.

Ciąg a_n nazywamy ciągiem rozbieżnym do +nieskończoności jeżeli : lim(pod tym n-> znak nieskończoności) a_n = +nieskończoność (odwrócone A pod nim M>0) (Odwrócone E pod nim ro >0) (odwrócone A pod nim n>ro) a_n > M

Ciąg a_n nazywamy ciągiem rozbieżnym do -nieskończoności jeżeli : lim(pod tym n-> - znak nieskończoności) a_n = -nieskończoność (odwrócone A pod nim M>0) (Odwrócone E pod nim ro >0) (odwrócone A pod nim n>ro) a_n > M

Wyrażenia nieoznaczone : nieskończoność/nieskończoność , 0/0 nieskończoność do 0 potęgi, 0do potęgi nieskończonej, 0⁰ , 1 do nieskończoności , nieskończoność - nieskończoność , 0-nieskończoność

19. Pojęcie szeregu liczbowego

Symbol a1+a2+…+an nazywamy sumą szeregu nieskończonego

A2n (sigma nad nią nieskończoność pod i=1) zaś liczby a1 ,a2….an wyrazy szeregu

Sn =(sigma nad nią n pod i=1) ai=a1+a2+…+an to nta suma częściowa.

Skończoną lub nieskończoną granicę S=(lim pod nim n-> nieskończoność) Sn nazywamy sumą szeregu i zapisujmy (sigma nad nią nieskończoność od nią i=1) ai =S

20. Definicja granicy funkcji jednej zmiennej. Interpretacja geometryczna.

Niech (x, dx), (y,dy ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech dana będzie funkcja f:D->y gdzie D<X Załużmy że pkt X₀ jest pkt skupienia zbioru D zaś q-nal-y

Def. Heinego lim(pod nim x-> x0) f(x) =q (odwrócone A a pod nim xn nal do D) [Lim (pod nim n-> nieskończoność) Xn =X0 => lim(pod nim n-> nieskończoność) f(xn)=q]

Def. Cauchego: Lim(pod x-> X0) f(x) = q (odwrócone A a pod nim E>0) (odwrócone E a pod niem roE) (Odwrócone A a pod nim XnalD) 0<dx(x,x0)<roE dg f(x)q<E

21. Pochodne funkcji elementarnych.

(a^x)' = a^x *lna (sinx)' =cos x (cosx)' =sinx

(pierwiastekX)' = 1/2pierwiastki X (log_aX)' = 1 /xlna (lnx)' = 1/x

(tgx)' = 1/cos² X (ctgx)' = -1/sin²X (arcsinx)' = 1/pierwiastek z 1-x²

(arccosX);' = -1/ pierw z 1-x² (arcctgx)' = 1/1+x² (arcctgx) = -1/1+x²

Jeżwli dla funkcji f:G->R (GCR) istnieją pochodne f' f''…. f^(n-1) to odwzorowanie G ) X -> (f^(n-1) (X)) nazywamy ntą pochodną pochodną funkcji f(X), oznaczamy f ^(n)' .

22. Twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji, ilorazu funkcji złożonej, funkcji odwrotnej

[f(X₀)*g(X₀)]' = f'(x₀) *g(x₀) +f(x₀)*g'(x₀)

[f9x₀)/g(x₀)]' = f' (x₀)* g(x₀) - f(x₀)*g'(x0) / (g(x₀))²

Pochodna funkcji odwrotnej

Funkcja określona ściśle monotoniczna I ciągła w przedziale (a,b) różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz (odwrócone A pod nim XE(a,b)) f'(x) nie równe 0

-f ^-1 jest rózniczkowalna w przedziale f(a,b) - [f^-1 (y)]^-1 = 1/f'(x) dla yE f (a,b) x=f^-1 (y)

Pochodna fkcji złożonej

Jeśli R) F---- R różniczkowalna w pkt X₀EG

R) G---- R różniczkowalna w pkt y₀ = f(x₀)f G₁

F(G) C Gto gf:G--- R Różniczkowalkna w pkt X₀

(gof)'(x₀) = [g(f(X₀))]' = g' (f(X₀)) f' *(x_0­)

23.Twierdzenie Taylora. Wzór Maclaurina

Jeżeli funkcja f(a,b)-R Krotnie różniczkowalna w przedziale (a,b) to dla dowolnych punktów X₀ XE(a,b) (X₀<X) istnieje Q E(X₀,x) takie że:

Wzór Maclaurina dla X₀=0

24.Różniczka funkcji,ekonomiczne charakterystyki zmienności funkcji

Jeżeli funkcja y=f(x) ma w pkt X₀ skończoną pochodną f'(X₀) ton dletaY =f'(x₀) deltaX+RdeltaX przy czym lim(pod nim deltaX 0) RdeltaX /deltaX = 0

Wyrażenie f' (X₀) deltaX nazywamy różniczką funkcji f(x) i oznaczamy dy=f'(x₀) *dx

Ekonomiczne: 4x wielkość produkcji Kc(x) koszt całkowity lim (pod nim deltaX- nieskończoność) Kc(X+deltaX)-Kc(X) / delta X = Kc' (x) =Kk Kp(x)-min = Kc9X0 / X Kk =kp(x)

Elastyczność : iloraz f(X₀ + delta X) - f(x) / f(x_0­) nazywamy przyrostem względnym funkcji f(x)

Natomiast iloraz deltaX/X nazywamy przyrostem względnym argumentu X

Granicę Lim(pod nim deltaX -0) (f(x+dletaX) - f(x)/f(x) :deltaX/X) = f'(x) *x / f(x) =Exf nazywamy elastycznością funkcji.

25.Całka oznaczona Definicja Własności

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów {Pn} przedziału [a,b] każdy ciąg sum całkowych {ron} zmierza do tej samej granicy właściwej niezalenie od punktu (i=1,…,n) to wówczas granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemana i zapisujemy (znak całki nad nim b pod nim a) f (x) dx = lim(pod ni m n- nieskończoność ) Ro_n = lim (pod nim n - nieskończoność) Sigma (nad nią n pod i=1) f(
delta xi

Funkcja f(x) jest całkowana w sensie Riemanna na przedziale [a,b] jeżeli spełniony jest jeden z warunków

1. funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] 2. Funkcja f(x) jest ograniczona w przedziale [a,b] i posiada w tym przedziale co najwyżej skończoną liczbę pkt. nieciągłości 3. Funkcja f(x) jest monotoniczna i ograniczona w przedziale [a,b]

Własności całki Riemanna : 1. Jeżeli funkcje f i q są całkowane na przedziale [a,b] to dla dowolnych liczb alfa beta należących do R funkcja alfa f + betaq jest całkowana na przedziale [a,b] oraz (Symbol całki nad nim b pod a) [alfa f(x) +/- betaq(x)]dx = alfa(symbol całki nad b pod a) f(x)dx+/-beta(symbol całki nad b pod a ) q(x) dx.

2. funkcja jest całkowana na przedziale [a,b] gdy dla dowolnej liczby enależącej do [a,b] funkcja f jest całkowana na przedziałach [a,c] oraz [c,b]

(symbol całki nad b pod a) f(x) dx = (całka nad c pod a ) f(x) dx) +/- (całka nad b pod c) f(x) dx= - (całka nad a pod b) f(x)dx

26. Całki niewłaściwe

Niech f(a,b) --R gdzie -nieskończoność <lub równe a , b<lub równe nieskończoność oznacza funkcję całkowaną w sensie Riemanna na każdym przediale [z,b] gdzie a<z<b.

Jeśli istnieje granica lim(pod nim z-- a+) (całkanad nią b pod z) f(x) dx ≡ całka (nad nią b pod nią a ) f(x) dx (lim (pod nim z- b-)) całka (nad nią z pod nią a) f(x) dx= całka (nad nią b pod nią a) f(x) dx

1.to nazywamy ją całką niewłaściwą f(x) pierwszego rodzaju gdy a = minus nieskończoność /b= +nieskończoność

2.to nazywamy ją całką niewłaściwąf(x) drugiego rodzaju gdy a > minus nieskończoność /b< +nieskończoność

Niech f (a,b) -R , gdzie minus nieskończoność ≤ a,b≤ nieskończoność oznacza funkcję całkowalną w sowolnucm punkcie „c” z przedziałów (a,b). Całkę funkcji f© będącą sumą całek niewłaściwych (o ile istnieją)

Całka(nad nią b pod nią a) f(x) dx = Całka (nad nią cpod nią a) f(x) dx+ Całka(nad nią b pod nią c) f(x) dx nazywamy calką niewłaściwą funkcji

27.Własnoći funkcji różniczkowalnych w przedizale.

Tw. Rolle'a niech R>[a,b]- R f(x) ciągła w przedziale [a,b] , różniczkowalna w p 9a,b0 f(q)=f(b) to (odwrócone E pod nim c należące do (a,b) ) f' (c) =o

Tw. Langrange'a Niech R> [a,b]--R, f(x) -ciąfła w pkt [a,b] różniczkowalna w pkt (a,b to : (odwórcone E pod nim C należące do (a,b) ) f'(c =f(b)-f(a)/b-a istnieje minimum 1 styczna równoległa do prostej AB

Wnioski z Lagrange'a niech funkcja f : p-R będzie różniczkowalna w przedziale P(pcR) :

(odwrócone A pod nim X naldo P ) f'(x) =0=> f(x) -funkcja stała

(odwrócone A pod nim X naldo P ) f'(x)>0=>f(x) funkcja rosnąca (odwrócone A pod nim X naldo P ) f'(x)<0=>f(nieskończoność)-f

Twierdzenie L'Hospitala Niech X₀ będzie punktem skupienia zbioru D oraz niech dane będą funkcje f,g D- R różniczkowalne w S(X₀, ro ) jeśli spełnione są warunki : (odwrócone A pod nim X naldo S (X₀,ro)) g(x) nie równe 0 nierówne g' (x)

Lim (pod nim x- X₀) f(x) =0= Lim (pod nim x- X₀) g(x) lub Lim (pod nim x- X₀) f(x) =nieskończoność = Lim (pod nim x- X₀) g(x)

Lim (pod nim x- X₀) f'(x)/g'(x) =A +> Lim (pod nim x- X₀) f(x)/g(x) = Lim (pod nim x- X₀) f'(x)/g'(x)

28. Twierdzenia o granicach funkcji

Warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy:

[Lim (pod nim x- X₀^-) f(x)=q ^ Lim (pod nim x- X₀⁺) f(x)=q] Lim (pod nim x- X₀) f(x) =q

Lim (pod nim x- X₀) f(x) =p ^ Lim (pod nim x- X₀) g(x)=g

Lim (pod nim x- X₀) [Alfa f(x) +/- Betag(x)] = Alfa p nierówne Betag , Alfa Beta Należą do R

Lim (pod nim x- X₀) [f(x)-g9x)]=p*q

Lim (pod nim x- X₀) [f(x)/g(x)]=p/q, Odwrócone A( pod nim X należy do D ) g (x) nierówne 0 nierówne g

Twierdzenie o Granicy funkcji

Odwrócone A (pod nim Xnależy do Ro) (X_0, Ro) f(x) ≤g(x)≤h(x)

Lim(pod spodem x- X₀) f(x) =q=lim (pod spodem x X₀_ h(x) z obu wynika że lim (pod spodem xX_0­ ) g(x) = q

Wzory

Lim (pod spodem X0) Sinx/x=1 Lim (pod spodem X0) (1+AlfaX)^1/x = e^Alfa

Lim (pod spodem X0) ln(x+1)/x = 1 Lim (pod spodem X0) q^x -1/x =lna

Lim (pod spodem X0) (1+x)^1/x=e

---