OBWODY PRĄDU HARMONICZNEGO

SYGNAŁY HARMONICZNE

W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak

,

nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).

Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg jest sinusoidalną funkcją czasu

Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:

W czasie odpowiadającym jednemu okresowi faza napięcia zmienia się o 2π, tzn. . Na rys. na osi odciętych oznaczono skalę czasu i skalę kątową.

gdzie:

u(t) - wartość chwilowa napięcia;

U_m - wartość maksymalna napięcia (nazywana amplitudą);

- początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w chwili t = 0;

- kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;

ω =2π f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;

f =1/T - częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością okresu.

Wartość średnia (półokresowa) napięcia sinusoidalnego wynosi

Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego jest równa

Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy przedstawić jako

LICZBY ZESPOLONE

Postać algebraiczna:

Postać trygonometryczna:

Postać wykładnicza:

Moduł:

Argument:
,

lub, gdy

SYGNAŁ WYKŁADNICZY

Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ

• każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażony w postaci sumy funkcji wykładniczych;

• w przypadku obwodów liniowych odpowiedź obwodu na wymuszenie wykładnicze jest także wykładnicza.

Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:

Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony

a zatem

Rozpatrzmy szczególne przypadki w zależności od wartości s.

1. Jeżeli s jest liczbą rzeczywistą (tzn. ω = 0) wtedy i ma charakter zależny od wartości σ
gdy σ < 0, sygnał x(t) ma charakter monotonicznie malejącej funkcji czasu; gdy σ = 0, sygnał x(t) jest sygnałem stałym o wartości A; gdy σ > 0, sygnał x(t) ma charakter monotonicznie rosnącej funkcji czasu.

2. Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn. σ=0) wtedy sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za pomocą tzw. wektora wirującego
obracającego się z prędkością kątową ω w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Położenie tego wektora na płaszczyźnie w danej chwili t określone jest za pomocą kąta ωt.
Czynnik spełnia rolę operatora obrotu, natomiast jest modułem wektora.

Uwzględniając wzór Eulera

można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych

Część rzeczywista wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze cosinusoidalnym

Część urojona wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze sinusoidalnym

Wynika stąd, że najczęściej spotykane przebiegi wielkości elektrycznych stanowią szczególne przypadki sygnału o charakterze wykładniczym.

OPIS SYMBOLICZNY SYGNAŁU HARMONICZNEGO

Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia

Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyźnie zmiennej zespolonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym przedstawia rys.

Wartość chwilowa napięcia w chwili t = 0 wynosi

W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie U_m jest nachylony względem osi liczb rzeczywistych pod kątem
. Rzut tego wektora na oś liczb urojonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego jest równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.

Analitycznie można to ująć następująco dla każdej chwili t

Sygnał sinusoidalny:

posiada następującą

POSTAĆ SYMBOLICZNĄ (symboliczną wartość chwilową):

Czyli:

UWAGI:

• 
  

• natomiast:
  

Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala traktować je jako przebiegi wykładnicze.

ZWIĄZKI POMIĘDZY NAPIĘCIEM I PRĄDEM
DLA ELEMENTÓW R, L, C

• REZYSTOR

Przy przepływie prądu harmonicznego

przez rezystor o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie

przy czym amplituda przebiegu napięcia

a faza początkowa

Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero:

	Napięcie na idealnym rezystorze jest w fazie z prądem

W POSTACI SYMBOLICZNEJ

Symboliczna wartość chwilowa prądu

napięcia

Zatem

co oznacza, że

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

Z przyrównania modułów w powyższym wyrażeniu znajdujemy

a z przyrównania argumentów

Pomnożenie wskazu I przez R powoduje wydłużenie tego wskazu R razy. Wobec tego wskaz napięcia znajduje się na tej samej prostej co wskaz I)

Wykres wskazowy rezystora

• CEWKA INDUKCYJNA

Przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L napięcie na jej zaciskach wyraża zależność

Przyjmując, że w cewce płynie prąd harmoniczny

napięcie na cewce wynosi

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia

natomiast faza początkowa

Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) cewki indukcyjnej wynosi:

	Napięcie na zaciskach idealnej cewki wyprzedza prąd o 90^o

Dla cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu

napięcia

Zatem

co oznacza, że

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

Z przyrównania modułów w powyższym wyrażeniu znajdujemy

reaktancja indukcyjna

susceptancja indukcyjna

a z przyrównania argumentów

Pomnożenie wskazu I przez jωL powoduje wydłużenie wskazu I i jego obrót o 90^o „w przód”

• KONDENSATOR

Gdy istnieje napięcie u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o pojemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność

Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie

prąd płynący przez kondensator wynosi

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu

natomiast faza początkowa

Zatem przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) kondensatora wynosi:

	Prąd płynący przez idealny kondensator wyprzedza napięcie o 90^o

Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia

prądu

Zatem

co oznacza, że

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

Z przyrównania modułów, znajdujemy

susceptancja pojemnościowa

reaktancja pojemnościowa

a z przyrównania argumentów

Pomnożenie wskazu I przez 1/jωC powoduje wydłużenie wskazu I i jego obrót o 90^o „wstecz”

PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI ZESPOLONEJ

Prawo Ohma

Symboliczna wartość skuteczna napięcia U dwójnika równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości skutecznej prądu I w nim płynącego:

Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elektryczne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.

Podstawiając do równania powyżej symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

czyli:

Zatem

rezystancja

reaktancja

Impedancję Z można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za pomocą trójkąta impedancji.

Prawo Ohma można także przedstawić następująco:

Symboliczna wartość skuteczna prądu I płynącego przez dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika Y i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:

Admitancja (przewodność zespolona - jej jednostką jest simens S) dwójnika równa się odwrotności jego impedancji:

co oznacza, że

czyli:

Zatem

konduktancja

susceptancja

Admitancję Y można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za pomocą trójkąta admitancji.

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)

Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych prądów i_n(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

gdzie: λ_k = ±1 („+” jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot jest przeciwny, od węzła)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud oraz symbolicznych wartości skutecznych odpowiednich prądów:

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)

Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych napięć u_n(t) na wszystkich elementach, tworzących dowolnie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

gdzie: ν_k = ±1 („+” jeśli zwrot napicia jest zgodny z przyjętym za dodatni kierunkiem obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud oraz symbolicznych wartości skutecznych odpowiednich napięć

POŁĄCZENIA DWÓJNIKÓW

• Połączenie szeregowe n dwójników

• Połączenie równoległe n dwójników

POŁĄCZENIA ELEMENTÓW R, L, C

Obwód szeregowy RLC

	Wartość
	napięcia na elemencie	impedancji elementu
R
L
C

Ponieważ

Zatem:

Obwód równoległy RLC

	Wartość
	prądu w elemencie	admitancji elementu
R
L
C

Ponieważ

Zatem:

TWIERDZENIE THEVENINA I NORTONA W POSTACI SYMBOLICZNEJ

Twierdzenie Thevenina

(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym)

Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia o napięciu źródłowym U₀ i impedancji wewnętrznej Z_W, przy czym:

- napięcie źródłowe U₀ jest równe napięciu na rozwartych zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego U_SJ)

- impedancja wewnętrzna Z_W, jest równa impedancji zastępczej (impedancji wejściowej Z_AB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii.

Twierdzenie Nortona

(o zastępczym źródle/generatorze prądowym)

Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z równoległego połączenia idealnego źródła prądu o prądzie źródłowym I_Z i admitancji wewnętrznej Y_W, przy czym:

- prąd źródłowy I_Z jest równy prądowi płynącemu przez zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia I_SZ)

- admitancja wewnętrzna Y_W, jest równa admitancji zastępczej (admitancji wejściowej Y_AB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii.

MOC W OBWODACH PRĄDU HARMONICZNEGO

Jeśli na zaciskach układu klasy SLS występuje wymuszenie harmoniczne napięciowe, to prąd zmienia się również sinusoidalnie z tą samą pulsacją

Moc chwilowa pobierana przez analizowany układ wyniesie zatem

Na podstawie tożsamości
powyższą zależność zapiszemy w postaci

a ponieważ
oraz

ostatecznie otrzymamy

Wartość średnią mocy p(t) można określić, uwzględniając jej okresowość, jako

Tę wartość średnią w obwodach prądu harmonicznego nazywamy

MOCĄ CZYNNĄ i oznaczamy P

[W]

W obwodach prądu harmonicznego iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu nazywamy

MOCĄ POZORNĄ i oznaczamy przez S

[VA]

Istnieje ponadto pojęcie

MOCY BIERNEJ oznaczanej symbolem Q

[var]

ZESPOLONĄ MOCĄ POZORNĄ nazywamy wielkość

Podstawiając
oraz
otrzymujemy

Część rzeczywista zespolonej mocy pozornej jest równa mocy czynnej P, a część urojona mocy biernej Q układu, czyli:

Wobec tego zespoloną moc pozorną można przedstawić w postaci:

Moduł zespolonej mocy pozornej

jest równy mocy pozornej układu

a argument zespolonej mocy pozornej

kątowi przesunięcia fazowego między napięciem i prądem

Zespoloną moc pozorną S można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za pomocą trójkąta mocy.

Wyrazimy zespoloną moc pozorną w zależności od impedancji Z dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

czyli

wobec czego

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

a moc pozorna jest równa

Natomiast zespolona moc pozorna w zależności od admitancji Y dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

Wartość sprzężoną I^* otrzymamy zastępując wszystkie wielkości występujące w tym wzorze przez wielkości sprzężone.

Zatem

wobec czego

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

a moc pozorna jest równa

DOPASOWANIE OBCIĄZENIA DO ŹRÓDŁA

Dopasowanie obciążenia do źródła przebiegu harmonicznego może dotyczyć mocy czynnej lub mocy pozornej.

Warunkiem dopasowania pod względem:

• Mocy czynnej jest równość

gdzie: Z_dP - impedancja obciążenia w warunkach dopasowania,

Z_w* - sprzężona wartość impedancja wewnętrznej źródła.

Wówczas

• Mocy pozornej są równości

25

(rzeczywista)

wartość chwilowa

wartość skuteczna

amplituda

(wartość max.)

U_m

U

symboliczna amplituda

/postać zespolona amplitudy/

/wskaz amplitudy/

symboliczna wartość skuteczna

/wskaz wartości skutecznej/

---