0094

95

§ 1. Pojęcie funkcji

Pozostałe wartości arkusa kotangensa mają postać

Arc ctgx = arc ctgx + kn    (k=0, ± 1, + 2, ...).

Funkcji arc sec x ( — oo < x < — 1 i 1 <x< +oo) i arc cosec x (te same przedziały zmienności) omawiać nie będziemy, pozostawiając ich rozpatrzenie czytelnikowi.

51. Superpozycja funkcji. Uwagi końcowe. Zaznajomimy się teraz z pojęciem superpozycji (czyli złożenia) funkcji, które polega na tym, że zamiast argumentu danej funkcji podstawiamy pewną funkcję innego argumentu. Na przykład superpozycją funkcji y= = sinx i z—logy jest funkcja z=log sin x; podobnie otrzymujemy funkcje

V1 - x², arc tg — itp.

x

Ogólnie zakładamy, że funkcja z = ę{y) jest określona w pewnym obszarze ^<&={y), a funkcja f(x) jest określona w obszarze X = {x}, przy czym wszystkie wartości funkcji /(x) należą do obszaru Wówczas zmienna z, jak mówimy, za pośrednictwem y jest sama funkcją x:

z =<?> (/(*))•

Przy danym x z X znajdujemy najpierw odpowiadającą mu według prawa oznaczonego literą / wartość jzf, a następnie ustalamy odpowiadającą tej wartości y (według prawa oznaczonego literą ę) wartość z. Wartość z uważamy za przyporządkowaną wartości ustalonej x. Otrzymana funkcja z funkcji lub funkcja złożona jest właśnie wynikiem superpozycji funkcji /(x) i <p{y).

Założenie, że wartości funkcji /(x) nie wychodzą poza obszar ^aX, w którym określona jest funkcja <p{y), jest bardzo ważne; jeśli je pominiemy, to może się zdarzyć niedorzeczność. Na przykład przyjmując z = log y, a y = sinx, możemy rozpatrywać tylko takie x, dla których sinx>0; bowiem inaczej wyrażenie log sin x nie miałoby sensu.

Uważamy za pożyteczne podkreślenie, że charakteryzacja funkcji jako funkcji złożonej nie jest związana z naturą zależności funkcyjnej z od x, a tylko ze sposobem określenia tej zależności. Niech np. z = \j\ — y² dla y z <— 1, 1) oraz y = sin x dla x z przedziału Wówczas

z = V1 — sin² x = cos x.

Tu więc funkcja cos x okazała się daną jako funkcja złożona.

Teraz, gdy w pełni wyjaśniliśmy pojęcie superpozycji funkcji, możemy dokładnie zdefiniować najprostszą z klas funkcji występujących w analizie; są to przede wszystkim wyliczone wyżej funkcje elementarne 1° - 7°, a następnie wszystkie te, które otrzymujemy z powyższych za pośrednictwem czterech działań arytmetycznych i superpozycji, stosowanych skończoną ilość razy. O funkcjach tych mówimy, że są to funkcje elementarne.

W dalszym ciągu, dysponując bardziej złożonym aparatem analitycznym (szeregi nieskończone, całki), poznamy jeszcze inne funkcje, które także grają ważną rolę w analizie, ale nie należą już do funkcji elementarnych.