0080

81

§ 1. Pojęcie funkcji

Litery/, ę, F, ... oznaczają właśnie to prawo, które daje wartość y odpowiadającą znanej wartości x. Jeżeli więc rozważamy jednocześnie różne funkcje tego samego argumentu, ale związane z różnymi prawami, nie należy oznaczać ich tą samą literą.

Chociaż litera / (w różnych alfabetach) związana jest ze słowem funkcja, to oczywiste jest, że dla oznaczenia zależności funkcyjnej można użyć dowolnej innej litery; czasem powtarza się nawet samą literę y: y=y(x).

W niektórych przypadkach pisze się argument jako wskaźnik przy funkcji, np. y_x. Pod ten przypadek podpada znane nam oznaczenie ciągu, który okazuje się (jak to możemy teraz powiedzieć) funkcją zmiennej niezależnej n, przebiegającej zbiór liczb naturalnych A^r=-{nj. Podobnie ma się rzecz z oznaczeniem N_e dla wskaźnika N (przy definicji granicy ciągu, ustęp 23), które podkreśla zależność N od s, itp.

Jeżeli rozważając funkcję np. y=f(x), chcemy wziąć jej szczególną wartość, odpowiadającą wybranej wartości szczególnej x=x₀, to wartość funkcji oznaczamy jako f(x₀). Na przykład jeżeli

/(*) = --₂>    0(0 = — > h(u) = jl-u²,

l+x    t

to /(1) oznacza wartość liczbową f(x) dla jc=1, tj. liczbę i analogicznie g(5) = 2, ^itd-

Przejdźmy teraz do samego prawa, czyli odpowiedniości pomiędzy wartościami zmiennych, które stanowi istotę zależności funkcyjnej. Reguła ta nie jest niczym ograniczona, a więc może być bardzo różnej natury.

Najprostszym i najnaturalniejszym jest realizowanie reguły poprzez wzór analityczny, tj. wzór zawierający operacje lub działania na liczbach stałych i na wartości x, które należy wykonać, aby otrzymać odpowiednią wartość y. Sposób analityczny określania funkcji jest najważniejszy w analizie matematycznej (powrócimy jeszcze do niego w następnym ustępie). Ze sposobem tym czytelnik zapoznał się już w szkolnym kursie matematyki, zresztą właśnie sposobem analitycznym posługiwaliśmy się w przykładach przytoczonych w ustępie 44.

Można by przypuszczać, że jest to jedyny sposób określania funkcji, co jednak jest błędne. W samej matematyce nie należy do rzadkości przypadek, gdy funkcja jest określona bez wzoru, a za pomocą umowy. Taka jest np. funkcja [jc] — część całkowita liczby x (^x). Łatwo stwierdzić, że

[1] = 1,    [2,5] = 2,    [V13] = 3,    [—*]=—4 itp.

choć nie mamy żadnego wzoru na funkcję [jc].

Podobnego rodzaju są także różne funkcje arytmetyczne, tj. funkcje zmiennej naturalnej, przyjmujące różne wartości naturalne. Jako przykład można tu wspomnieć silnię liczby n:    ,    , . ,

a także funkcję r(n) - liczbę dzielników liczby n, albo funkcję ę(ń) wskazującą, ile wśród

(') Por. notkę na str. 37.

6 G. M. Fichtenholz