0186

§ 2. Różniczka

187

III. d(uv) = udv + vdu,

, u \ vdu — udv

iv. dl-U—,—

Wszystkie je można łatwo otrzymać z odpowiednich reguł dla pochodnych. Udowodnimy na przykład dwie ostatnie

d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v(u'dx) + u(v'dx) = vdu+udv;

'u\ (u V    u‘v — uv'    v(u'dx) — u(v'dx) vdu — udv

= [ — 1 dx =-^— dx =

106. Niezmienniczość wzoru na różniczkę. Reguła różniczkowania funkcji złożonej doprowadzi nas do pewnej bardzo interesującej i ważnej własności różniczki.

Niech będą dane funkcje y=f(x) i x=<p(t), z których można utworzyć funkcję złożoną y=f(<p(t)). Jeśli istnieją pochodne y'_x i x'_t, to zgodnie z regułą V [98] istnieje również pochodna

(?)    y't=y'xx',-

Różniczka dy, jeśli uważać x za zmienną niezależną, wyrazi się według wzoru (5). Przejdźmy teraz do zmiennej niezależnej t; przy tym założeniu otrzymujemy inne wyrażenie na różniczkę

dy—y',dt.

Zastępując jednak pochodną y'_t przez jej wyrażenie (7) i zwracając uwagę na to, że x'_tdt jest różniczką * jako funkcji t, otrzymamy ostatecznie

dy — y_xx’_ldt=y_xdx,

tj. powrócimy do poprzedniego wzoru na różniczkę!

Widzimy więc, że kształt różniczki pozostaje niezmieniony nawet w tym przypadku, jeśli poprzednia zmienna niezależna została zastąpiona przez nową. Mamy zawsze prawo pisać różniczkę y w postaci (5), niezależnie od tego czy x jest zmienną niezależną, czy nie; różnica polega tylko na tym, że jeśli za zmienną niezależną wybierzemy t, to dx będzie oznaczało nie dowolny przyrost Ax, lecz różniczkę x jako funkcji t. Własność ta nazywa się niezmienniczością wzoru na różniczkę.

Ponieważ ze wzoru (5) wynika bezpośrednio wzór (6) wyrażający pochodną y_x przez różniczki dx i dy, więc i ostatni wzór pozostaje w mocy, niezależnie od tego, względem której zmiennej niezależnej (naturalnie tej samej w każdym przypadku) obliczone były wymienione różniczki.

Niech pa przykład y = Vl— x² (—!<*<!), skąd