45136 MATEMATYKA094

180 III. Rachunek różniczkowy

czyli

Obliczamy granice:

f(x) = Vx' ł x²-x-l.

lim Vx^J+x²-x-1 =-oo,

A »-^|0

lim vx^J + x^; x — I = +oo, lim Vx' + x²-xM = 0.

* •» i

Wykres nie ma asymptot pionowych Sprawdzamy, czy istnieją asymptoty ukośne:

lim ł/l-f——y—-r = 1 = m,

‘ X X² X¹

lim (f(x)-mx)- lim (VxN-x²-x-l x)-{oc-oo} =

x H te K-*+tr

.. X²-X-l 1

- lim -;r --= - = n.

x-*»oo

lim

X >1*1 x

f(x)

'(Vx^J + x²-x-l)²+xVx³ + x²-x-l +x^{2 3}

Analogicznie otrzymujemy:

lim ^^- = l = m, lim (f(x)-mx)=~=n.

x-+ «• X x ► .1

Wynika stąd, że prosta y = x + jest asymptotą ukośną wykresu przy x —> +oo oraz przy- x -> -x.

(2) Badanie I pochodnej. Obliczamy pochodną:

czyli

f'(x) + X*-x-I)-^a(3x* + 2x-l),

f'(x) =

(X + I)(X- !)

V(X-I)³(\ + I)‘ Stąd otrzymujemy:

r'W=oox.-{.

xeD' = (-oo,-l)u(-l.1)^(1,+oo).

f'(x)>0 <=> (x+ l)(x-i)>() o (X<-1 V X>-j), f'(x)<0 o (x+l)(x-4)<0 <=> (-l<x<|).

(3) Badanie II pochodnej. Pochodną f'(x) zapiszmy w postaci f'(x) = ^(x + l) ^J(x-0 ^ł(3x-l).

Obliczamy f"(x):

f"(x) = ~£(x + l) Mx-1) ³(3x-l)-^<x+l) ³(x-l) ^,(3x-l) +

_> 2 4<x+1)“³(x-l)

stąd

czyli

f"(x)= |(x + l) Hx-\)\

f"<X)=-

-8

9 V(x + l)⁴(x-l)¹dla xeD"= D'= (-oo,-l)u(-l,l)u(l,+oo). Zatem dla xeD' f"(x)*0, f"(x)>0<*x<l, f"(x)<Oox>l. (4) Zestawienie wyników w tabeli

X	-00.......	-1		1/3		1	.......+00
f’(x)	+		—	0	+
f"(x)	+		+	+	+
f(x)	8		0	min	J	PP	+00 r

Wykres funkcji Przy sporządzaniu wy kresu zwrócimy uwagę na punkty x = -1 i x = 1; w punkcie x = -1 funkcja f nie jest określona, ale ma granicę skończoną, równą zeru. w punkcie x = 1 funkcja f nie ma