0192

193

§ 2. Różniczka

Ponieważ mianownik x(a—x) osiąga swoją wartość największą, gdy x=\a (‘), a błąd dx przy pomiarze długości można rozpatrywać jako niezależny od x, błąd względny przybiera zatem wartość najmniejszą właśnie dla x = ±a. Dlatego też, aby otrzymać wynik w miarę możliwości dokładny, opór R ustala się zwykle za pomocą magazynu oporów w ten sposób, żeby prąd znikał przy położeniu kontaktu D możliwie bliskim do środka linijki AC.

§ 3. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

109. Twierdzenie Fermata. Znając pochodną f'{x) pewnej funkcji /(x) możemy często wnioskować stąd o zachowaniu się samej funkcji /(x). Zagadnieniom tego rodzaju będzie w istocie poświęcony ten i następne paragrafy.

Udowodnimy uprzednio prosty lemat.

Lemat. Niech funkcja f(x) ma w punkcie x₀ pochodną skończoną. Jeśli pochodna ta f{x_o)>0 (f'(x₀)<0), to dla wartości x dostatecznie bliskich x₀ na prawo od x₀ będzie /(*)>/(*o) (f(x)<f(x₀)), ct dla wartości x dostatecznie bliskich x₀ na lewo od x₀ będzie f(x)<f(x₀) <J(x)>f(x₀)).

W innym sformułowaniu fakt ten wyrażamy tak: funkcja f (x) w punkcie x₀ rośnie {maleje). Jeśli rozpatrujemy pochodną jednostronną, na przykład prawostronną, to twierdzenie pozostaje w mocy jedynie dla wartości x leżących na prawo od x₀.

Dowód. Zgodnie z definicją pochodnej

/'Oo)= lim

/(*)-/(* o)

x — x₀

Jeśli f'{x₀)>0 (rozpatrzymy tylko ten wypadek), to na mocy ustępu 55, 2° można znaleźć takie otoczenie (x₀ —S, x₀ + <5) punktu x₀, w którym przy x^x₀:

f(x)-f{x o)^_Q x-x₀

Niech najpierw x₀<x<x₀+ó, tak że x—x_o>0; z poprzedniej nierówności wynika wtedy, że f(x)—f(x₀)>0, tj. f(x)>f(x₀). Jeśli zaś x₀—3<x<x₀ i x—x_o<0, to oczywiście /(x)-/(x₀)<0, tzn. f(x)>f(x₀). Tym samym lemat został udowodniony.

Twierdzenie (Fermata). Niech funkcja f{x) określona w pewnym przedziale 3C osiąga w punkcie wewnętrznym c tego przedziału największą (najmniejszą) wartość. Jeśli istnieje w tym punkcie obustronna pochodna skończona f'{c), to musi być f'(ć)=0 (²).

(') Z oczywistej nierówności

x²—ax+ia²=(x—ia)²>0

otrzymujemy bezpośrednio

x(a—x)<ł a² ,

co dowodzi słuszności naszego twierdzenia.

(²) To twierdzenie oddaje, rzecz jasna, tylko istotę tego chwytu, który stosował Fermat do znajdywania największych i najmniejszych wartości funkcji (Fermat nie miał do dyspozycji pojęcia pochodnej).

13 G. M. Fichtenholz