6830718836

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i ¥

Ćty    y    y

— = f(—) stosujemy podstawienie u =— dx    x    x

=> y = xu

,. . ,    . dy    du .    .    .    .    .    .    du .

po zróżniczkowaniu —- = u + x — i po podstawieniu do równania u 4- x— = j {u) dxdx    dx

, a^+f^y + ą

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU y= f(~-r- )

a₂xło₂yłCj

Przypadek I: aib2 - biaa # 0

Wtedy układ równań ma jedno rozwiązanie x=a i y= J3 Wprowadzamy nowe zmienne : x - a = u; y - {3 = v

dv _ _{f f} a₂u 4- 6₁v ^

Równanie różniczkowe przekształci się na: ~ — / (-;—)

[■jLa i 1^2 i

Rozdzielamy zmienne i całkujemy.

du a,u +• o,v

dv    di

du

Za v podstawiamy V = tu => — = t +u

Przypadek II: aib2 - bja^ = 0

r    r    1    ^2

współczynnik proporcjonalności: ^k =

^ai

wprowadzamy nową zmienną : z = a_xx +b_ly => po różniczce ^ = a₁+b₁f

dz _    , _{L f},z + c₂ ^

po uwzględnieniu wzorów równanie przyjmie postać : — — % + Dj f (———    ) rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE ^ + p(x)y =q(x)

dx

rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej.

ay

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne — + p(x)y = 0

Cl Al

Całką tego równania jest y =Ce~^p(*⁾

Teraz stałą C zastępujemy funkcją u(x) i mamy y =u(x)e~^p(x)

Obliczamy z tego pochodną:    e^_PW -ł-u(x)e^_PW podstawiamy redukujemy i

liczymy PRZYKŁAD: dy    s

— — xy = xe dx

dy

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne — — xy = 0 (przez rozdzielenie zmiennych)

Wynikiem jest hi[y|= — x^{1 2} +C gdzie ^c =lⁿ|^<='i|

_r

uwalniając się od logarytmów mamy y — Q e*

dx dx

obliczamy pochodną: y

, dy du    |

= —= — e² +u(x)e²

du -S    i*²    -S j

wartości y i y wstawiamy do pierwszego równania—e³ 4-xu(x)e³ —xu(x)e³ = xe*

dx

1

   3

2

uzmienniamy stałą Ci: y =u(x)e*    (**)