89695

1. Równania różniczkowe Chemia, II semestr 2

2. Rozwią/ać równania jednorodne względem x i y :

dx 3 x — y e) y - xy' = x + yy'

b) i/ + — = x²

X

e) y⁷ + ycosx = sinxcosx

\ dy    x² + y²

a) — =-

dx xy

d) (y² - 3x²)dy + 2xydx — 0

3. Rozwiązać równania liniowe:

. dy

^a) 3--ytgx = 2sinx

dx

d)i/ - 2xi/ = 2x³ 1 - 2x

g)y'+ —y=l, y(l) = l+e

c) y² + xV = -w'

f) (x² + 2xy - y²) + (y² + 2xy - x²)y' = 0

c) y' + 2xy = e"*² f) i/ - e^xy = c²*

4. Rozwiązać równania Bernoulliego: a) xy' + xy² - y = 0    b) y' + xy = xy“³

dy    y    3y/x

dx    x y²

e) — + 4x_v/y = 2xe ^x

v/y dy 2 x

^C)rf? ⁺ 3ⁱ'⁼^

f) y' - 9x²y = (x⁵ + x²)y^

g) y' - 9-r²y = 3(x⁵ - x²)yS

5. Rozwiązać równania zupełne: a) (4x³ + 2xy² + 1 )dx + (2x²y - l)dy = 0

c) c^y³ + xy³ + l)dx 4- 3y²(xe^x - 6)dy = 0

e) (y²e^xy2 + 4x³)dx + (2xye^x*'² - 3y²)dy = 0

b) xy²dx + (x²y + y³ - 4y)dy = 0

c) (sinx + e^v)dx + cosxdy = 0

6. Znaleźć mnożniki całkujące i rozwiązać równania: a) (x -4- y)dx - x dy = 0    b) y( 1 + xy)dx - x dy = 0

d) y²dx + (xy - 1 )dy = 0 e) (1 - 3x² sin y)dx - x ctg y dy = 0

Równania różniczkowe wyższych rzędów

• Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do I rzędu:

-    Równanie postaci y" = f{x,y') (a więc nic występuje y) : stosujemy podstawienie z = y' (wtedy y" = z!)

-    Równanie postaci y" = /(y, y') (a więc nie występuje x) : stosujemy podstawienie y' = w(y) (wtedy y" = u'(y) • ti(y))

-    Gdy znamy jedno z rozwiązań y\ (x), wtedy stosujemy podstawienie y(x) = yi(x) / u(x)dx