82165

Uwaga, Istnieją równania różniczkowe , które nie mają rozwiązań. Jeżeli równanie posiada rozwiązanie, to nic zawsze istnieje takie, które spełnia z góry zadany warunek początkowy. Ponadto może się też zdarzyć, że istnieją różne rozwiązania jednego równania różniczkowego, spełniające ten sam warunek początkowy.

Na przykład, równanie

—y ] +1=0 nie ma rozwiązań ; dx )

2

(b) —y = 3 y³ ma dwa rozwiązania y(x) = 0 i y(x) = x³ spełniające dx

ten sam warunek początkowy y(0) = 0

Zagadnienie Cauchv*ego

Zagadnienie Cauchv*cgo dla równania różniczkowego pierwszego rzędu

—y = f(*.y)

dx

polega na znalezieniu całki tego równania określonej w pewnym przedziale (xq — a,XQ + a) i spełniającej warunek początkowy

yK) ^Myo’

przy czym liczby xo,yo są dane.

Niech G będzie obszarem płaszczyzny Oxy zawierającym punkt (xo,yo) •

Jeżeli funkcja f jest w tym obszarze ciągła wraz ze swą pochodną —f,

3y

to powyższe zagadnienie ma dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym przedziale (xq - a,xo + a)

y(0) * o

Uwaga. Dla zagadnienia Cauch/ego —y ■ y² + 1

dx

funkcja f(x,y) = y² + 1 jest ciagla i różniczkowalna na całej płaszczyźnie Oxy. Jedynym rozwiązaniem tego zagadnienia jest funkcja y(x) = tgx określona

jedynie w przedziale

T'i)

Sformułowane zagadnienie nie posiada

rozwiązania w żadnym przedziale postaci (-a,a). gdzie a > — •

2

Zagadnienie Caucłr/cgo dla równania różniczkowego rzędu n

y

d

x.y.—y.

dx

dx y

polega na znalezieniu całki tego równania określonej w pewnym przedziale (x<) - a,X0 + a) i spełniającej warunki początkowe

y(*o) = yo* y'W=yi......y^(l>~^l)(^xo) = y_n-i

przy czym liczby x₀,y₀,yi,....,y_a_₁ są dane.