89690

2. Całki wielokrotne i krzywoliniowe Chemia, II semestr 2

3. Zmienić kolejność całkowania w podanej calce, a następnie policzyć ją:

0 arc hi ii y

4. Wprowadzając współrzędne biegunowe, policzyć całki:

D

dxdy

M [[ ^dxdy

^} JJ (l-x²-y²)²

D

D

(l__x2__y2)2

D = {(x,y) : x² + y² < y, y > x)

^c) fj(x² + y²)dxdy

D = {(x, y) : y < x² + y² < x, y > 0}

n

5.    Policzyć pole obszaru D :

a)    D =    {(x,y) :x +y < 3, y² < 4x y > 0}

b)    D    obszar ograniczony prostymi: x — 2y = 0.    x — 2y    = 3,    y    =    2x — 9.    y = 2x - 6

c)    D    obszar ograniczony krzywymi: y = e^x,    y =    lnx,    x + y    =    1,    x = 2

d)    D    obszar ograniczony krzywymi: x² + y²    = 1,    x² +    y² = 4.    x    = y/Śy,    y =    y/3x

e)    D =    {(x,y) : x² + y² < 2x, y > x)

f)    D =    {(x,y) :x² + y² < 2y, y > \/3|x|}

g)    D jest położoną w I ćwiartce częścią koła: (x - l)² + (y - l)² < 2

6.    Korzystając z całki podwójnej obliczyć objętość:

a)    bryły ograniczonej powierzchniami: x² + y² = l, x + y + 2 = 3.    2 = 0

b)    ostrosłupa, ograniczonego płaszczyzną x + y + z = 1 i płaszczyznami układu współrzędnych.

c)    słupa między powierzchnią walca o promieniu a. którego osią jest Oy , a trójkątem O AD . gdzie 0(0,0,0) , ;4(a,0,0) , tf(a,a,0).

d) bryły ograniczonej |X)wierzchniami: x² + y² = 2y.    z = x² + y², 2 = 0

Całki potrójne

Obszar trójwymiarowy nazywamy normalnym względem płaszczyzny Oxy . jeśli istnieją dwie funkcje ciągłe ip,rl) na obszarze D takie, że V = {(x, y, z) : (x, y) £ D, <p{x, y) < z < ^>(ar, y)} . Wtedy całka potrójna z funkcji ciągłej / na obszarze V wyraża się następującym wzorem:

•    Współrzędne walcowe: przyjmujemy x = rcos^j, y = rsin^?, z = z . Wtedy ./ = r.

•    Współrzędne sferyczne: x = rcos^cosi?,y = rsin^costf,z = rsini?. Wtedy J = r²cosd.