104416

2. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce i terowanej

1    3+%/4-rJ

J dx J f (x, y) dy

-1    -x

Rozwiązanie. Obszar całkowania przedstawiamy na rysunku poniżej (p = 3 + y/3) :

Obszar całkowania dzielimy na trzy obszary normalne względem osi Oy Mamy zatem

3+v^3    1

\/4-(y-3)^a

Jdy J f(x,y) dx+ j dyjf(x,y)dx+ J dy J

f(x,y) dx

3+%/3    - \J4-(y-3)^J

Zbadać zbieżność szeregu	^n! (2n)! h <^3")^!
Rozwiązanie. Mamy	n! • (2n)!
	(3n)!
Stąd	(n + l)!(2n + 2)!
	“^n+l _ (3n + 3)!
Ponieważ

lim

n—‘oo

^Qn + 1

lim

n—>oo

więc z kryterium d’Alemberta wynika, że rozważany szereg jest zbieżny.

4. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego trójkąta prostokątnego o przy prostokątnych a, b Sporządzić rysunek.

Rozwiązanie. Trójkąt prostokątny umieszczamy w układzie współrzędnych, jak na rysunku.

/(n + l)!-(2n + 2)! V (3n + 3)!

Pw)! \    (2n+l)(2n + 2)

n! • (2n)!)    n^«, 3 (3n + 1) (3n + 2)

_4_

27

< 1,

2