DSCN8043

10. Zamienić kolejność całkowania

fl i w||3 f(.x,y)dy| dx.

Narysować obszar całkowania.

W

całce iterowanej

całce iterowanej

w

|    f(x,y)dy)dx.

11. Zamienić_ kolejność całkowania

Narysować obszar całkowania.

12. Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Wprowadzając uogólnione współrzędne biegunowe obliczyć pole elipsy o osiach a i b.

13.    Sformułować twierdzenie o zamianie całki z funkcji ciągłej po obszarach normalnych w przestrzeni H³ na całki iterowane.

14. Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć objętość bryły V = (x, y, z) € V? : yji* + li < 1 < \/4 — xⁱ — y⁵.

15.    Określić współrzędne sferyczne. Stosując te współrzędne obliczyć jaka część objętości kuli: x² + y² + z² < 2z znajduje się wewnątrz stożka z = •Jxⁱ + y².

16.    Podać definicję oraz interpretację fizyczną całki krzjrwoliniowej skierowamej.

17.    Sformułować i udowodnić twierdzenie Green’a.

Obliczyć całkę f_K(x — y + ^dx+ (x + xy+ y/2 — x~j dy, gdzie K jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach: .4(0,0), B(l,l), (7(0,2) skierowamym zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

18.    Korzystając z twierdzenia Green’a wykazać, że pole obszaru ograniczonego krzywą regularną zamkniętą K wyraża się wzorem

. Obliczyć pole obszaru ogramiczonego asteroidą

0 < t < 211

19.    Podać definicję potencjału pola sił. Sprawdzić, że pole wktorowe F(x,y) i jH, -j] jest potencjalne.

Obliczyć pracę tego pola podczas ruchu po dowolnym łuku łączącym punkty 4(1,2) i 5(2,1) i nie przechodzącym przez oś Oy.

20.    Wykazać, że w potencjalnym polu sił praca nie zadeży od drogi łączącej punkty 4 i B oraz jest równa różnicy wartości potencjału w tych punktach.

Obliczyć pracę pola sił F(x, y) = [ł£ , y ln z] po okręgu (x — 3)² + (y — 7)² = 5 skierowanym dodatnio.

2