164(1)

(2)

J f Rx, y) dx dy = f dy J f(x, y) dx

Całkowanie przebiega tu w innej kolejności, najpierw względem _v, a potem względem y. Granice całki wewnętrznej wyznaczają zakres zmienności ,\- przy stałej, lecz dowolnej wartości y, a granice całki zewnętrznej wyznaczają zakres zmienności y w całym obszarze D.

Jeżeli okaże się, że lew'a lub prawa granica obszaru składa się z kilku linii, opisanych różnymi równaniami, obszar D należy podzielić na części prostymi równoległymi do osi Ox, tak aby lewa i prawa granica obszaru była określona, każda jednym równaniem.

y

h

x

Rys. 154

o

Zgodnie z tą zasadą, całka podwójna po obszarze D, przedstawionym na rys. 154, sprowadza się do dwóch całek iterowanych

k ’«(>•)

h    V'3 O)

c

k Wi(y)

Granice całki zewnętrznej zawsze są stałe. Granice całki wewnętrznej z reguły są zmienne i zależą od tej zmiennej, którą rozpatruje się jako stałą. Granice obu całek są stałe tylko w tym przypadku, gdy obszar całkowania jest prostokątem o bokach równoległych do osi układu.

1) /i= f tyj (x-y+\)dy    2) h = J dy J -J~?dx

794. Obliczyć całki iterowane

1 2x

4 y

6 x    -2    0

Rozwiązanie: 1) Obliczamy najpierw całkę wewnętrzną, w której y jest zmienne, a x stale

i

S b-y+w=[*?-■%-+y\__f =^x~-₂

2

2x

Z kolei obliczamy całkę wewnętrzną, tzn. całkujemy uzyskany wynik

względem x

wK)-[^-fK

2)Tym razem najpierw całkujemy względem .v, przyjmując y za stała, a potem względem y

f y³ ,    , r dx r 2 xT^=,y Tty¹

o    0    *-    ^J

Przebieg obliczenia można też zanotować krócej

^/!= /*iV^^r*⁼ /WE*-

-20 -2 ^u

= T /^^[-g-^-6,

795. Obliczyć całkę podwójną f | xydxdy, gdzie P jest:

£>

1) prostokątem, ograniczonym prostymi x = 0, x = a_y y = 0, y = b,

331