104417

Obszar całkowania dzielimy na trzy obszary normalne względem osi Oy Mamy zatem

i 2

/ (x, y) dx + J dy J f (x, y)

o o

/(x,y) dx

3. Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Skorzystamy z kryterium Cauchy’ego. Granicę lim_n_^o    wyznaczymy

stosując twierdzenie o trzech ciągach. Będą mam potrzebne także równości lim^oo tfd = 1 dla a > 0 oraz lim„-.oo y/n = 1 Dla liczb naturalnych n ^ 2 zachodzą nierówności:

_l₌71n<    ' (^)⁵_(^)⁵

3 v/2 V 3ⁿ + 3ⁿ ^ V 2" + 3" ^ ^/3"    3

Ciągi ograniczające z prawej i lewej strony mają te same granice:

1    1 _r (v^)⁵    1

n—oo 3 \pł 3 n— no 3    3

więc limn-oo    = 5

Ponieważ 5 < 1, więc z kryterium Cauchy’ego wynika, że rozważany szereg jest zbieżny.

4. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnej ćwiartki koła o promieniu R Sporządzić rysunek.

Rozwiązanie. Ćwiartkę kola umieszczamy w układzie współrzędnych, jak na rysunku.

Ponieważ obszar jest jednorodny i ma oś symetrii, więc x_c = 0 Drugą współrzędną środka masy wyznaczymy ze wzoru:

^{VC =} ^D Jl^ydXdy

D

Ponieważ obszar całkowania jest wycinkiem kola, więc dokonujemy zamiany zmiennych na

2