37 (81)

L

1

r

Obszary normalne względem ^ płaszczyzn XOZ i YOZ określamy następująco:

L

I    V* = {(x,y,z)e5R³: (x,z) eD Af(x,z)<y <g(x,z)}/"‘"

E    V_yz = {(x,y,z)e'Ji³: (y,z) eD a h(y,z) < x < k(y,z)}..x 2 -< a,;,    _cJpo- t/₀po^.

Obliczanie całki potrójnej

^bryZo^

Obszar normalny względem płaszczyzny XOY:

Vxy = {(x,y,z)s9T:

(x,y) eD a cp(x,y) < z < v|/(x,y)}.

pocsi t\n cA/ <ą ć r/'    /

t    xy

~ W każdym przypadku obszar płaski D jest rzutem obszaru V na odpowiednia płaszczyznę.

p* Twierdzenie 2 (o zamianie całki potrójnej na całki iterowane).

P ^J Jeżeli funkcja f: V->$R jest ciągła w obszarze Vc9?³ normalnym względem i “ płaszczyzny XOY: V= {(x,y,z)e9?³: (x,y) eD a <p(x,y) < z < v(/(x,y)}, to

v(x,y)

JJJf(x, y, z)dxdydz = JJ Jf(x, y, z)dz

<p(x,y)

v(x,y)

dxdy = j]dxdy Jf(x, y, z)dz.

D    (p(x,y)

I—■ Uwaga 3.

L» Jeżeli założymy dodatkowo, że obszar D jest normalny np. względem osi OX, to

■ ““‘    b d(x) V(x,y)

j]|f(x,y,z)dxdydz= Jdx Jdy |f(x,y,z)dz.

V

a c(x) cp(x,y)

Uwaga 4.

Jeżeli obszar V jest prostopadłościanem tzn. V=[a,b]x[c,d]x[p,q], to:

b d q

JJJf(x, y, z)dxdydz = |dx Jdy |f(x, y, z)dz

V    a c p

\

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki 37