162(1)

ROZDZIAŁ Vn

CAŁKI WIELOKROTNE, KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE

Całki wielokrotne (podwójne, potrójne), krzywoliniowe i powierzchniowe, podobnie jak i zwykłe (jednokrotne) całki oznaczone, znajdują zastosowanie przy obliczaniu różnych wielkości.

W,rozdziale V, o całkach oznaczonych, została wyłożona ogólna metoda obliczania różnych wielkości, jako granic odpowiednich sum całkowych. Jej istota polega na tym, że:

1)    wielkość szukaną dzieli się na wielką liczbę małych elementów składowych ;

2)    oblicza się przybliżoną wartość (część główną) każdego z tych elementów i przez sumowanie tychże elementów znajduje się przybliżoną wartość całej szukanej wielkości w postaci sumy całkowej;

3)    znajduje się granicę tej sumy całkowej. Granica ta jest właśnie dokładną wartością wielkości szukanej.

W najprostszych zadaniach, jakie przytoczyliśmy w rozdz. Y, obliczanie wielkości sprowadzało się do obliczenia granicy sumy całkowej wziętej wzdłuż odcinka prostoliniowego, będącego obszarem zmienności jednej zmiennej. Granice takich sum całkowych nazywamy prostymi albo zwykłymi całkami oznaczonymi.

W zadaniach bardziej złożonych, które rozpatrujemy w tym rozdziale, obliczanie wielkości sprowadza się do poszukiwania granic sum całkowych rozciągniętych albo na płaski obszar zmienności dwóch zmiennych, albo na przestrzenny obszar zmienności trzech zmiennych, albo wzdłuż łuku pewnej krzywej, albo wreszcie na pewną powierzchnię. Granice takich sum całkowych nazywamy odpowiednio całkami podwójnymi, potrójnymi, krzywoliniowymi i powierzchniowymi.

Wszystkie wskazane całki oznaczone są jednakowo definiowane i w zasadzie różnią się tylko obszarem całkowania.

Całka podwójna i jej obliczanie przez dwukrotne całkowanie

Niech /(A/) będzie funkcją ciągłą w pewnym domkniętym obszarze D na płaszczyźnie. Podzielmy obszar D w dowolny sposób na 11 obszarów częściowych o polach Js_l5 /Js₂, •••, As„, wybierzmy w każdym z nich po jednym (dowolnym zresztą) punkcie M_UM₂...,M„, obliczmy odpowiadające tym punktom wartości funkcji i utwórzmy sumę

f(M_i)As_l+f(M₂)As₂+ ... +f(M_n)As_n = Tf WAs_t

1=1

nazywaną sumą calkowąfunkcjif(M) po obszarze D.

Oczywiście, wartość sumy całkowej zależy i od sposobu podziału obszaru D na n obszarów składowych i od wybonfpunktów M_t w tych obszarach. Innymi słowy, dla danej funkcji f(M) i dla każdego obszaru domkniętego D, gdzie funkcja f(M) jest określona, można utworzyć nieskończenie wiele różnych sum całkowych.

Jeżeli jednak n rośnie nieograniczcnie i największa ze średnic¹' obszarów częściowych dąży przy tym do zera, to wszystkie te sumy całkowe dążą do jednej i tej samej granicy. Granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f(M) po obszarze D i oznaczamy symbolem f (f(M)ds.

D

Całka podwmjna ma te same podstawowa własności co zwykła całka oznaczona: obszar całkowania w calce podwójnej można dzielić na części, całka podwójna sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik stały wolno wyłączyć przed znak całki podwójnej.

Obliczanie całki podwójnej I f f(M)ds sprowadza się do obliczenia

D

jednej lub kilku (w zależności od obszaru) całek iterowanych (dwukrotnych) o postaci

<*2 fil    «2 fil    h

f= f [ f F(ot,p)dp]dot = J dcc f F(*,P)i*

/₂= J' [/ F(oc,p)da]dp= j dp f F(aJ)do>

?! “i    ‘Sj . °1

z których każda jest wynikiem kolejnego obliczania dw'óch zwykłych całek oznaczonych.

>) Średnicą obszaru nazywamy największą z jego cięciw.

327