2 analiza

Całki krzywoliniowe i powierzchniowe

1.    Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowe;;' > U' = [y, — x,2 — 2] przez zamkniętą powierzchnię S, zorientowaną zewnętrznie i utworzoną z płata S\ o równaniu 2 = \/3x² + 3y² i płata S₂ o równaniu z = y/4 - x² - y².

2.    Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego W = [y,x, : + j/] przez wewnętrzna stronę zamkniętej powierz* łmi S utworzonej z płatów o równaniach: x² + z³ = 1, y = 0, y = x (y > 0).

3.    Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego U’ = j.rc,yx², zj przez powierzchnię S o równaniu 2z = x² -+- y², 0 < 2 < 2. zorientowaną zewnętrznie.

4.    Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego M' = ix², —y, 2: przez zamkniętą powierzchnię S, zorientowaną zewnętrznie i utworzoną z piata Si o równaniu z = y/x³ + y² i płata S₂ o równaniu z = 6 - x² — y².

5.    Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego W = [x -t- z. x -f- y, z + y] przez wewnętrzna stronę zamkniętej powierzchni S utworzonej z płatów' o równaniach: X² 4- y² = 1, z = 0, z = x (x > 0).

6.    Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia G-G-O) strumień pola wektorowego W - [—2x, 2, z] przez powierzchnię S o równaniu y = X³ + z³, 1 < y < 2, zorientowaną zewnętrznie.

7.    Obliczyć dwoma sposobami (bezpośrednio i z twierdzenia GG-O) strumień pola wektorowego W = [x, y² - 1, —z] przez powierzchnię S o równaniu y + \/l — -r² — z² = 0, zorientowaną wewnętrznie.

8.    Sprawdzić twierdzenie Stokes’a dla pola W = [—y, xz,z] i płata 5, który jest częścią powierzchni 3x² + 3y² = z³ odciętą płaszczyznami z = \/3, z = 2v/3 i zawartą w' 1 oktanrie (tzn. x. y, ; > 0), zorientowaną zewnętrznie.

9. Sprawdzić twierdzenie Stokes’a dla pola H’ = [x, -z, y] i płata S, który jest częścią paraboloidy 2 = 4 — x² - y² wyciętą powierzchnią walca x² + y³ - 2x = 0 i zorientowaną wewnętrznie.

10.    Sprawdzić twierdzenie Stokes’a dla pola li' = |x + z, 0, y — x] i piata .9, który jest ćwiartką sfery x² + y² + x² = 4, dla której x > 0, y > 0 zorientowaną wewnętrznie.

11.    Sprawdzić twierdzenie Stokesa dla pola W = [x - y,y²,y - 2e) i piata S, który jest częścią walca x² -4- z³ = 1 taką. że 0 < y < x zorientowaną wewnętrznie.

12. Sprawdzić twierdzenie Stokesa dla pola W = [;². y², -x²] i ]>lata 5, który jest częścią powierzchni 5 — y = x² + z² odciętą.płaszczyzną y = 1 i zawartą w' 1 oktancie, zorientowaną zewnętrznie.

H    Sprawdzić twierdzenie Stokesa dla pila W' = [r², x, 1 i piata S, który jest częścią |Powierzchni

X

sferycznej z = y 4 - x² - y², wyciętą powierzchnią walca x² + y³ + 2x = 0 i zorientowaną wewnętrznie.

1