0214

215

§ 5. Wzór Taylora

Podstawmy do wzoru (3) wyrażenia (4)

,,,    , v , ,>(*0),    s,P"(^Xo)/    v2 ,

(5)    p(x) = p(x₀) + —— (x-x₀) + -^_rr- (x-x₀r +

1 !

2 !

3 !

Wzór (5) jak również jego przypadek szczególny (2) (dla x_o=0) nazywa się wzorem Taylora (*). Wiadomo, jak ważne zastosowania ma on w algebrze.

Zrobimy tu jeszcze oczywistą uwagę, która będzie pożyteczna w dalszym wykładzie, że jeśli wielomian p(x) jest napisany w postaci

P(x) = c₀ + T7 (*-^xo) + ^7 (•* Xq)^ "1""tt^- (,x ^₀)³ +.• • *b(x x₀)^B ,

1 !    2!    3!    n !

to musi być

P(x<>) = ^co ,    P'(xo) = c! ,    p"(x₀) = c₂ ,    ... ,    p⁽"\x₀) = c„.

124. Rozwinięcie dowolnej funkcji: reszta w postaci Peana. Rozpatrzymy teraz dowolną funkcję /(x), która na ogół nie jest wielomianem. Załóżmy, że ma ona w pewnym punkcie x₀ pochodne wszystkich rzędów do (n— 1) włącznie

w pewnym przedziale (a, b) zawierającym punkt x₀ i oprócz tego ma pochodną f^M(x₀) rzędu n w samym punkcie jc₀(²)- Wówczas na podobieństwo wzoru (5) można również dla funkcji /(x) utworzyć wielomian

i \ tt \ i /'<*«) ,    \ , /"(*o),    ^2    f^l"\x₀)

(6)    p(x)=/(x₀) + —-(x-x₀) + —— (x-X₀r + ... +-— (x —X₀) .

Zgodnie z poprzednią uwagą wielomian ten i jego pochodne (do rzędu n włącznie) mają w punkcie x₀ te same wartości co i funkcja /(x) i jej pochodne.

Ale tym razem, jeśli /(x) nie jest wielomianem stopnia n, nie możemy już twierdzić, że f (x) = p (x). Wielomian p{x) daje tylko pewne przybliżenie funkcji /(x). Dlatego szczególnie interesujące jest zbadanie różnicy

(7)    r(x)=/(x)-p(x).

Udowodnimy przede wszystkim, że przy x-»x₀ różnica ta jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż rząd n (w porównaniu z x—x₀):

(8)    r (x) = o ((x — x_oy).

(‘) Wzór (2) bywa często nazywany wzorem Maclaurina.

(²) Jeśli punkt x₀ jest jednym'z końców przedziału <a, 6>, to mówiąc o pochodnych w tym punkcie mamy na myśli pochodne jednostronne.