036 037

36

O

1.3.5.1 . Rachunek zdań

Rachunek zdań - podstawowa dziedzina logiki matematycznej - operuje

i	lut	nie
A	V

Rys. 1.22. Podstawowe spójniki rachunku zdań

zdaniami prawdziwymi lub fałszywymi, tzn.przyjmującymi symbolicznie wartość 1 (prawda) lub 0 (fałsz). Pełnią one rolę zmiennych zdaniowych i oznaczone sąnp.t p, q, r itd. Funkcje zdaniowe - czyli zdania złożone - uzyskuje się:w wyniku połączenia zdań prostych i ewentualnie stałych zdaniowych 0 i 1 za pomocą spójników. Podstawowymi spójnikami są: 1, lub, nie, zastępowane w ogólnych formułach rachunku zdań symbolami jak na rys. 1.22. .

Na przykład, przyjmując: p = x jest parzyste, q = y jest podzielne przez 3> można zdanie złożone: „x jest parzyste lub y nie jest podzielne przez 3" zapisać symbolicznie w postaci: pV~q.

Badając prawdziwość zdań złożonych w zależności od prawdziwości wchodzących w ich skład zdań prostych łatwo stwierdzamy, że spójniki „i", „lub" „nie” działają identycznie jak operacje iloczyn, suma, negacja algebry Boole'a, przedstawione na rys. 1.16, a tym samym, że rachunek zdań jest dwuelementową algebrą Boole'a¹^ . Istotnie, aksjomaty algebry Boole'a odpowiadają sformułowanym Już od wieków tzw. prawom logicznym (tautologiom), tzn. formułom zawsze prawdziwym, niezależnie od wartości poszczególnych zmiennych. Na przykład, powszechnie znane arystotelesowskie prawo wyłączonego środka (tertium non datur)

pV~P

odpowiada aksjomatowi (j) .

Innym używanym spójnikom zdaniowym odpowiadają funkcje logiczne jak na rys. 1.23.

JEłUI ..... TO ......	—	miKACJA
....... AlM.....	0	IBM A MO WIŁO 2
ANI......ANI......	ł	NM
.......WHW I TłLKO wnww.	s	RÓWNOWAŻNOŚĆ

Rys. 1.23. Spójniki zdaniowe 1 odpowiadające im funkcje logiczne 1.3.5.2. Algebra zbiorów

Algebra zbiorów Jest tradycyjnym przykładem wieloelementowej algebry Boole'a. Elementami tej algebry są podzbiory pewnego zbioru źródłowego Z, przy czym zbiorowi pustemu przyporządkowuje się zero, zaś całemu zbiorowi Z Jedynkę.    -.

Przykład 1.24

Niech Z jest zbiorem trzech liczb {1,2,5 ). Elementami tej algebry są wszystkie podzbiory zbioru Z, tzn.

{ }= O , {i } * e₁>    {2| =-e₂,    {3}    = *3

{ ”* »2 } =. ⁹ą,» { 1 »3 } = *51 { 2,3] = ®g> {1(2,3} = 1.

Zatem    .

® ³ {    **j '⁸2* * ■ • »®6 }    ..    ^

Ogólnie, n-elementowy zbiór źródłowy generuje 2^a-elementową algebrę zbiorów. Operacje podstawowe tej algebry są operacjami na zbiorach 1 zdefiniowane są tak, jak to pokazano na rys. 1.24, za pomocą tzw. wykresów Tenna. Używając tych wykresów można łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana algebra zbiorów spełnia aksjomaty algebry Boole'a, a więc jest algebrą Boole'a.

Alit

Rys. 1.24. Diagramy Yenna dla sumy,

Uwaga; Za pomocą wykresów Tenna można łatwo przedstawić graficznie wszystkie funkcje dwu- i trójargumentowe. Dla czterech zmiennych jest to już jednak dość skomplikowane i traci praktyczną użyteczność.

1.3.5.3* Algebra sieci zestykowych

Będziemy rozpatrywali dwubiegunowe sieci zestyków mogących znajdować się w stanie zwarcia lub rozwarcia. Zależnie od topologii sieci i stanu poszczególnych zestyków, może ona przewodzić (1) lub nie przewodzić (0). Zestyki wchodzące w skład sieci przełączane są przez urządzenia sterujące (np. elektromagnes i kotwica w przekaźniku elektromagnetycznym),na wejścia których,podawane są sygnały 01 1, przy czym jedno urządzenie sterujące może przełączać jednocześnie wiele zestyków oznaczanych wtedy tym samym symbolem.

Podstawowymi typami zestyków sąt zwiemy i rozwierny, oznaczane na schematach, jak podano na rys. 1.25c.    ■ : >

a) Atl    ■ fc) .A-1    . c)

Rys. 1.25. Ilustracja sumy, iloczynu i negacji sieci zestykowej

1

¥ rachunku zdań operatory sumy i iloczynu nazywane aą zwyczajowo alternatywą i koniunkcją.