036 037

36 Anna Borowska, Rafał Chaba

2.2.4. Człon różniczkujący

W członie różniczkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do pochodnej sygnału wejściowego względem czasu.

yU) = k^l    (2.19)

dt

gdzie: k— współczynnik wzmocnienia równy stosunkowi sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejściowego.

Po wykonaniu transformacji Laplace’a i uwzględniając warunek początkowy znajdziemy transmitancję operatorową

G{s) = ks    (2.20)

Odpowiedź jednostkowa wynosi

(2.21)

(2.22)

h(s) = k S{$) h(t) = kS(i)

Odpowiedź impulsową przedstawia w^zór 2.22,

g(s) = ks

m

dS{t)

dt

Przykładem elementu różniczkującego idealnego może być kondensator idealny lub idealny tłumik olejowy. W rzeczywistości nigdy nie udaje się zrealizować członu różniczkującego idealnego, gdyż zawsze w układach tych występuje inercja. Po jej uwzględnieniu otrzymujemy następujące równanie

(2.23)

dt    dt

Po wykonaniu transformacji Laplace'a i uwzględnieniu zerowego warunku początkowego u(0) ~ 0 wyznaczymy transformatę operatorową

G(s) =

ks

1 + ~sT

(2.24)

h{s)

1 + sT

h{ł) = —e ⁷ 1(0 T

(2.25)

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

g(s) -

ks

1 + sT

k    k~

g(t) = -S{t)-—e ⁷ 1(0 f    T²

(2.26)

Przykładem członu różniczkującego z inercją jest czwómik RC .c

I

Kt>

R U_w/t>

Rys 2.4. Czwómik RC

Dla nieobciążonego układu po wyznaczeniu napięć na kondensatorze C oraz na rezystancji R otrzymamy równania:

V_we(i) = ~ jl(r)dr + RI(t)

(2.27)

l\_rv(ł)=RI(t)

(2.28)

Po wykonaniu transformacji Laplace'a i po pominięciu warunku początkowego otrzymujemy transmitancję

G(s) =

sT

1 + sT

(2.29)

gdzie stała czasowa T = RC.