036 037

36 Anna Borowska, Rafał Chata

2.2.4. Człon różniczkujący

W członie różniczkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do pochodnej sygnału wejściowego względem czasu,

y_{(t) = k}ŚŚ!l    (2.19)

dt

gdzie: k- współczynnik wzmocnienia równy stosunkowi sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejściowego.

Po wykonaniu transformacji Laplace¹ a i uwzględniając warunek początkowy znajdziemy transmitancję operatorową

G(s) = ks    (2.20)

Odpowiedź jednostkowa wynosi

(2.21)

(2.22)

h(s) = kS(s) h(t) = kS(t)

Odpowiedź impulsową przedstawia w-zor 2.22.

g(s) - ks

g(t) =

dó(t)

dt

Przykładem elementu różniczkującego idealnego może być kondensator idealny lub idealny tłumik olejowy. W rzeczywistości nigdy nie udaje się zrealizować członu różniczkującego idealnego, gdyż zawsze w układach tych występuje inercja. Po jej uwzględnieniu otrzymujemy następujące równanie

_TWl ₊ y_(t)=_kWL

dt

dt

(2.23)

Po wykonaniu transformacji Laplace'a i uwzględnieniu zerowego warunku początkowego u(0) ~ 0 wyznaczymy transformatę operatorową

G(s) =

ks

1 + sT

(2.24)

h(s)

1 + sT

h(t) = —_e ^Tl(t)

(2.25)

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

g(s) ^

ks

1 + sT

(2.26)

_g{t)^^_:6{t)-Ą_re ⁷' 1(0

r r*

Przykładem członu różniczkującego z inercją jest czwómik RC

I

Kt>

R U_w/t)

Rys 2.4. Czwómik RC

Dla nieobciążonego układu po wy znaczeniu napięć na kondensatorze C oraz na rezystancji R otrzymamy równania:

tA.,<'> = 0/(r¥r + RHt)    (2.27)

^C 0

U (ł)=Rl(t)

(2.28)

Po wykonaniu transformacji Laplace'a i po pominięciu warunku początkowego otrzymujemy transmitancję

nv (^ł sT U _ne{s) 1 + sT

(2.29)

gdzie stała czasowa T = RC.