0406

§ 2. Funkcje uwikłane

407

nując różniczkowanie i podstawiając za każdym razem zamiast y' wyrażenie (15) znajdujemy

y =■

(f;;+f;/)f;-(f;'₂+f;;.v^,)f;

(K)²

(F'f

Widać stąd, że druga pochodna jest funkcją ciągłą zmiennej x.

Jeżeli funkcja F(x, y) ma ciągłe pochodne rzędu trzeciego, to oczywiście istnieje trzecia pochodna y'" funkcji uwikłanej y Obliczyć ją można różniczkując bezpośrednio wyrażenie otrzymane dla y". Ogólnie za pomocą indukcji matematycznej łatwo można dowieść, że jeżeli istnieją ciągle pochodne cząstkowe funkcji F(x,y) aż do rzędu k włącznie (A: > 1), to istnieje ciągła pochodna rzędu k funkcji uwikłanej.

Teraz, gdy sam fakt istnienia kolejnych pochodnych funkcji uwikłanej jest ustalony, możemy obliczać je prościej różniczkując odpowiednią liczbę razy tożsamość (14) i pamiętając przy tym, że y jest funkcją x. Na przykład pierwsze różniczkowanie tej tożsamości daje

(16)

f*+n; y'HF" + F'f V) >'+f;/'=0,

skąd (założyliśmy przecież, że Fj/0!):

/*■

F* + 2F"y' + F';*y'

F'

^ry

Podstawiając tu zamiast y' wyrażenie (15) wracamy do znalezionego już wyrażenia dla /' itd.

Analogiczna sytuacja jest w przypadku równania (4) o większej liczbie zmiennych. Zakładamy teraz, że spełnione są założenia twierdzenia III. Jeżeli przez y rozumieć funkcję uwikłaną określoną równaniem (4), to równanie (4) staje się tożsamością. Ustalmy wartości zmiennych x₂, x₃, ...,x„ i traktując y jako funkcję jednej tylko zmiennej x_t zróżniczkujmy tę tożsamość względem x_t

F' +f'-~=0 ^x>+ ydXl ’	skąd	dy _ 8xx	K F'y
Zupełnie tak samo otrzymujemy
dy _ f'X2		F'x„	itd.
dx2 f; ’	dx„	F'y’

Jeżeli potrzebne są wszystkie pochodne rzędu pierwszego, drugiego, ..., to prościej jest obliczyć najpierw dy, d²y, ... Zróżniczkujmy tożsamość (4) biorąc różniczki zupełne obu stron, tzn. przyrównajmy do zera różniczkę zupełną jego lewej strony (korzystając przy tym z niezmienniczości postaci pierwszej różniczki, ustęp 185):

3F

dx_l

8F    dF

dx i + -- dx₂ + ... + —

, dF dx„-1—-

dy

dy = 0.