0531

532

Uzupełnienie

W przypadku wypukłego obszaru (rys. 168a) przedłużamy najpierw funkcję <p korzystając z lematu I na IV ćwiartkę układu współrzędnych. Następnie przedłużamy otrzymaną w ten sposób funkcję korzystając znowu z lematu I (zmieniając role u i v) na II i III ćwiartkę, a więc na całe otoczenie początku układu.

W przypadku wklęsłego obszaru (rys. 168b) rozumowanie jest bardziej skomplikowane. Przede wszystkim korzystając z lematu I (zmieniając role u i v oraz zmieniając znak v) rozszerzamy funkcję <p z lewej półpłaszczyzny na prawą(‘), otrzymując w ten sposób funkcję ę_x w całym otoczeniu początku układu. Następnie rozpatrujemy funkcję y/ = = <p—<Px w dolnej półpłaszczyźnie i metodą użytą w dowodzie lematu I przedłużamy ją na górną półpłaszczyznę otrzymując w ten sposób funkcję y/_t w całym otoczeniu początku układu. W III ćwiartce y/₁=y/ = <p— <px=0, a więc z charakteru stosowanej metody wynika od razu, że ^_x=0 również w II ćwiartce. Przyjmujemy teraz w otoczeniu początku układu ę* = y/_t + ę_x■ W II i III ćwiartce jest =0 i (py = (p, a. więc ę* = qr, podobnie w IV ćwiartce i/i = y/= ę— i stąd <p*—{ę— ę^) +    = ę. Tym samym zbudowana funkcja

<p* jest przedłużeniem (p na całe otoczenie początku układu.

Za pomocą przekształcenia odwrotnego (12) otrzymujemy wracając do starych zmiennych przedłużenie

/*(*, y) = cp*{k (x, y), n (x, y))

funkcji /. Aby zakończyć dowód trzeba jeszcze, podobnie jak w twierdzeniu I, powołać się na lemat II.

262. Uwagi końcowe. Udowodnione twierdzenie o rozszerzaniu funkcji ma różnorodne zastosowania. Ograniczymy się tu do pokazania jak można różne lokalne -tzn. związane z otoczeniem pewnego punktu — twierdzenia analizy uogólnić na przypadek, gdy punkt ten leży na brzegu rozpatrywanego obszaru, a nie wewnątrz jak to się zwykle zakłada.

Niech na przykład w domkniętym obszarze Jl, którego kontur jest krzywą kawałkami gładką Jźf, określona będzie funkcja z—f(x, y) ciągła wraz z pochodnymi/*' i f'_y. Gdy punkt (*o, y₀) leży wewnątrz JC, prawdziwy jest dla tej funkcji znany z ustępu 178 wzór na całkowity przyrost funkcji

(13)    Az=f(x₀ + Ax, y₀ + 4y)-f(x₀, y₀)=fx(x₀, y₀)Ax+fy(x_0y y₀)Ay + ctAx + PAy ,

tutaj a i P dążą do zera razem z Ax i Ay. Rozumowanie użyte przy dowodzie tego twierdzenia nie może być stosowane w przypadku, gdy punkt (x₀, y₀) leży na brzegu. Mimo to wzór jest w tym przypadku też prawdziwy, jeżeli tylko nałożymy na Ax i Ay warunek, żeby punkt (x₀+Ax, y₀+Ay) należał do Jf. Łatwo się o tym przekonamy, jeśli napiszemy najpierw ten wzór dla funkcji f* będącej przedłużeniem funkcji / na całą płaszczyznę i następnie wrócimy do funkcji / ograniczając się do punktów obszaru M.

(') Ograniczamy się stale do punktów bliskich początku układu.