132 133 (3)

132 ■**£‘-^‘CC    «ł j*r YdSRSd4feif2ŹS0 Przestrzenie euklidesowwe

f) f = I w przestrzeni lin {l,sm x,sin² x}, gdzie 0 ^ x ^ r, z iloczynem skalarnym określonym wzorem

(/.«?) = f f[x)g(x)dx.

C Zadanie 13.5

Wyznaczyć bazy ortonorrnalne wskazanych przestrzeni euklidesowych i znaleźć współrzędne podanych wektorów w Łych bazach:

a)    E = lin {(1,0,-1,0),(0,1,1,-1)}, u = (3, 1,2,1) € £⁴;

b)    E = lin {(1,1,1,1),(1,-1,1,1),(-1,1,1,-1)}, S=(-l,0,10,-1)6 £⁴;

c) E= {(x,y,z,t)ę E^Ą : z + y + z = 0, y = <}, 5 = (-1,3, -2,3) € E^Ą-

d) E = {(2x - y + 5x,y + r,2y- x,x + 2z) : x,y, z € R}, u = (6,4,7,1) 6 i’⁴; o) E = U^rj z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem

(p. ?) = p(0)?(0) + p(l)*(l)+ p(2)$(2),

p₀ = z² + x + 1;

E - R² z iloczynem skalarnym wektorów x = (zi,Z2), y = (yi,ya) określonym wzorem

0

S = (3_t2);

£*) E = M<2x2 z iloczynem skalarnym macierzy 4, I? zdefiniowanym wzorem (-4,-0) = TY (.4 2?' J, gdzie symbol Tr oznacza sumę wszystkich elementów

1    5

2-3/

z głównej przekątnej macierzy, C =

O Zadanie* 13.6

Zortogor.alizować metodą macierzową podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych

a)    (1. 1,3), (1,1,4), (1,2,0) w przestrzeni £³;

b)    (1,2,0, i), (4,1,1,2) w przestrzeni F⁴;

^c)    (“1,1,0.0), (0,2, 1, l). (1,-3,1,-1) w przestrzeni E^Ą.

O Zadanie* 13.7

Stosując wyznacznikową metodę ortogonalizacji uzupełnić wskazane wektory do baz ortogonalnych odpowiednich przestrzeni euklidesowych:

a) (1,1,4) w przestrzeni l?³;

*>) (1.0,0), (0,0,1) w przestrzeni R³ z bazą ortonormalną {(1,0,0), (1,1 0),

(1,1,1)};

c)    (1, l,3,1) w przestrzeni £ ,

d)    J - z + z² + 2z³ w przestrzeni i^r] z bazą ortonormalną {l,i.i²,z³j;

c) 23 — 33 + w w przestrzeni euklidesowej E z bazą ortonormalną {3 v, xv. x, y} .

O Zadanie* 13 B

Uzasadnić, że wektory x\ x.. ., x_n tworzą bazę ortonormalną przestrzeni Eⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy macierz przejścia P z bazy standardowej do bazy tych wektorów spornia warunek P^TP = I. Sprawdzić tę zależność dla baz ortoncrmal-nych z Przykładu 13.1 oraz l Zadania 13.1.

O Zadanie* 3 3.9

Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową z bazą 3j, v₂>    _; v_n. Zdefiniować

w tej przestrzeni iloczyn skalarny tak, aby była to baza ortonormalną.

O Zadanie* 13.10

W podzbiorze /₂

=    = (r_n) € R^x :    x\ < oc| przestrzeni liniowej jR°° okre

ślamy funkcję ( , •) : U x /₂—* R następującym wzorem

00

(*.?) = Yl^x"^y"-

rt=l

a)    uzasadnić, żo /₂ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R^

b)    wykazać, że funkcja (    ) jest iloczynem skalarnym w ł₂;

c)    wykazać, że wektory ej = (1,0,0, . ) e₂ = (0_; 1,0,.    .. tworzą układ orto-

rormalny w l₂,

d)    czy wektory ej «2 - tworzą bazę przestrzeni liniowej /?? o) wykazać nierówność

s-H?*⁵) ■ (s4

o ile dwa ostatnie szeregi są zbieżne;

f) podać przykłady wektorów z przestrzeni /₂ mających wszystkie składowe nie-zerowo i tworzących z wektorem