1
9

Jeżeli przyjmiemy stopniowe obciążenie belki siłami P_h P₂, P₂, wówczas praca sił zewnętrznych działających na belkę będzie równa

V'Ąp^ A, +1ą A₂ +1P₃ A₃ + (1,0) A_c    (2.5)

w równaniu (2.5) człon A_c stanowi pracę przygotowaną przez układ sił P_]} P₂, P3 w punkcie C, w którym wcześniej przyłożono siłę 1,0.

Energia wewnętrzna „zmagazynowana” w belce przez układ sił P_h P₂, P3, 1,0 będzie równa

(2-6)

^u' = -^'Z^FdL + 'L^udl

Całkowitą pracę sił zewnętrznych można wyrazić zatem wzorem

I_c = i (1,0) S_c + ą A; + i P₂ A₂ + i P₃ A₃ + (1,0) A_c (2-7) natomiast odpowiadająca pracy całkowita energia wewnętrzna przyjmie postać

■ U_c=~'Zudl + ~%FdL + 'ZudL    (2.8)

Wykorzystując zasadę równoważności energii i pracy otrzymano

j(l,0)6_c +Ą A, Ąą A₂ +|p₃ A₃ +(1,0) A_c =

Wprowadzając zależności (2.7) i (2.8) do równania (2.9) otrzymano

(l,0)A_c=5>rfZ    (2.10)

Równanie (2.10) pozwala na obliczenie przemieszczenia dowolnego punktu belki, ramy oraz kraty dla przypadków obciążenia zewnętrznego ustroju nośnego, zmianami temperatury lub odkształceniami wywołanymi naprężeniami montażowymi.

Wprawdzie książka dotyczy konstrukcji kratownicowych, jednak będzie jej wzbogaceniem zastosowanie wzoru (2.10) dla obliczenia przemieszczenia np. belki wspornikowej.

Przyjęto zgodnie z rysunkiem 2.17, że obciążenie zewnętrzne wywołuje moment gnący, który w elementarnym wycinku włókna o przekroju dA wywołuje naprężenie M

ty = ~~ y (gdzie J— moment bezwładności wzglądem osi obojętnej). Natomiast obciążenie jednostkowe wywołuje w tymże elemencie moment gnący m i odpowiadające naprężenie aOdpowiednio siły wewnętrzne we włóknie przyjmą wartość M    M

F = odA- — ydA i u = a'dA~ — y dA. Odkształcenie włókna AB będzie równe:

² dz E

(2.11)

dL^~dz = ^~dz E EJ

Wstawiając wartości siły wewnętrznej i odkształcenia bezwzględnego włókna AB równego dL do równania (2.10), otrzymujemy:

(1,0) A _c=Y,udL=J\^-dA

JimM y² dAdz JM mdzl ₂    ^m _d=

^J EJ² { EJ² i    { EJ

oo

(2.12)

stąd

(2.13)

Równanie (2.13) jest matematyczną formułą Maxwella-Mohra pozwalającą na obliczenie uogólnionego przemieszczenia (kąta obrotu przekroju, ugięcia) dowolnego punktu belek statycznie wyznaczalnych.

Przykładowo obliczono wg formuły Maxwella-Mohra ugięcie końca belki wspornikowej obciążonej siłą skupioną P (rys. 2.18).

39