1
9

Jeżeli przyjmiemy stopniowe obciążenie belki siłami P_l, P₂, P₂, wówczas praca sił zewnętrznych działających na belkę będzie równa

^v‘⁼\^p'^A*⁺1^Pi i2+\^p*^{As + (1,0) Ac (2}-⁵⁾

w równaniu (2.5) człon A_c stanowi pracę przygotowaną przez układ sił P_]} P₂, P3 w punkcie C, w którym wcześniej przyłożono siłę 1,0.

Energia wewnętrzna „zmagazynowana” w belce przez układ sił P_h P₂, P3, 1,0 będzie równa

U' = ±-%FdL + ZudL    (2.6)

Całkowitą pracę sił zewnętrznych można wyrazić zatem wzorem

Lc = \ 0,0) 5_C + fj A, + i P₂ A₂ + i P₃ Aj + (1,0) A_c (2.7) natomiast odpowiadająca pracy całkowita energia wewnętrzna przyjmie postać

■ ^uc=~'ZudI + ~J_jF dL + ^udL    (2-8)

Wykorzystując zasadę równoważności energii i pracy otrzymano

i(l,0)5_c +Ą A, Ąą A₂ +lp₃ A₃ +(1,0) A_c

(2.9)

Wprowadzając zależności (2.7) i (2.8) do równania (2.9) otrzymano

(1,0)A_C=$><JI    (2.10)

Równanie (2.10) pozwala na obliczenie przemieszczenia dowolnego punktu belki, ramy oraz kraty dla przypadków obciążenia zewnętrznego ustroju nośnego, zmianami temperatury lub odkształceniami wywołanymi naprężeniami montażowymi.

Wprawdzie książka dotyczy konstrukcji kratownicowych, jednak będzie jej wzbogaceniem zastosowanie wzoru (2.10) dla obliczenia przemieszczenia np. belki wspornikowej.

Przyjęto zgodnie z rysunkiem 2.17, że obciążenie zewnętrzne wywołuje moment gnący, który w elementarnym wycinku włókna o przekroju dA wywołuje naprężenie M    -

a = y (gdzie J— moment bezwładności wzglądem osi obojętnej). Natomiast obciążenie jednostkowe wywołuje w tymże elemencie moment gnący m i odpowiadające naprężenie o¹ = ™ y. Odpowiednio siły wewnętrzne we włóknie przyjmą wartość M    M

F - odA - — ydA i u = a'dA~ — ydA. Odkształcenie włókna AB będzie równe:

² dz E

(2.11)

a    My

dL~~dz = —— dz E    EJ

Wstawiając wartości siły wewnętrznej i odkształcenia bezwzględnego włókna AB równego dL do równania (2.10), otrzymujemy:

(l,0)A_c=Sii<iŁ=X|y<M

(^dz)=

[EJ

_^LAmM y² dAdz JiMmdzi ₂ ^U ”’²    1 EJ² J/ 1 EJ

(2.12)

00

EJ¹

stąd

(2.13)

Równanie (2.13) jest matematyczną formułą Maxwella-Mohra pozwalającą na obliczenie uogólnionego przemieszczenia (kąta obrotu przekroju, ugięcia) dowolnego punktu belek statycznie wyznaczalnych.

Przykładowo obliczono wg formuły Maxwella-Mohra ugięcie końca belki wspornikowej obciążonej siłą skupioną P (rys. 2.18).

39