10

Rys. 3.4. Odkształcenie pręta w funkcji przemieszczeń węzłów

Ej Aj

Równanie wydłużenia pręta AB (ej) w funkcji przemieszczenia węzłów A i B przyjmuje postać według rysunku 3.4b~e

ej = -Jtjcosa - jc₂sina + -jc₃cosa + -jt₄sina.

Element sztywności macierzy [5]

Element sztywności macierzy [5] kratownicy wyraża wartości sił w prętach w funkcji ich wydłużenia (skrócenia).

^Fj=Sjej

gdzie: Lj, Aj, - odpowiednio długość, pole przekroju i moduł Younga materiału pręta.

Innymi słowy, element sztywności (sztywność pręta) stanowi wartość siły w pręcie powodującej jednostkowe jego wydłużenie; dla kratownicy jest macierzą kwadratową o wymiarach NF * NF.

Stąd

{^ = [Y]{_e}    (3.4)

Macierz [55]

Podstawiając równanie (3.3) do równania (3.4), otrzymano

{F} = [5]{_e} = [5][2!] {X\ =    (3.5)

Macierz [55] wyraża wartość sił w prętach kraty w funkcji przemieszczeń węzłów.

■'i

i

1

Macierz statyki [A]

Wyraża wartości zewnętrznych sil węzłowych kratownicy w funkcji wartości sił w prętach.

Rys. 3.5. Równowaga układu węzły-pręt; a) równowaga węzłów; b) równowaga pręta Wymiar macierzy NP * NF

{■p} = wm    (3.6)

Przykładowo dla pręta AB (rys. 3.5) ustalono równania równowagi węzłów A i B obciążonych siłami zewnętrznego obciążenia i wewnętrzną siłą osiową.

P_: = -FjC osa,

P₂ = -Fjsina,

P_z = FjC osa,

Pą = i^-sina.

Należy zauważyć, że w przypadku NF = NP kratownica jest statycznie wyznaczal-na, zaś macierz [A] jest macierzą kwadratową [A]^_PxNp.

Ponieważ [5] = [A^T\, wówczas

(eJ-tĄ*)    (3.7)

Skąd:

(NP = NF),

{X}=[A^t]W.

Macierz sztywności (globalna macierz sztywności) kratownicy [/£]

Przekształcając równanie (3.6) otrzymano

{P}= M{F}= M[sb] W= [asb]{x}= [asa^t]{x}= [k}{x]    (3.8)

Macierz [ATj = [ASA^r] wyraża wartości sił węzłowych w funkcji przemieszczeń węzłów całej kratownicy, dlatego często jest nazywana globalną macierzą sztywności. Jest kwadratowa i posiada macierz odwrotną.

61