10

5. Sztywność węzłów konstrukcji prętowych

5.1. Sztywność giętną pręta, sztywność węzła

Zagadnienie sztywności prętów i węzłów zostało już postawione przez O. Mohra w związku z jego dociekaniem związanym z naprężeniami drugorzędnymi w ustrojach kratowych. Temat ten został podjęty później przez S. Hardesty'ego. Prace te zostały wykorzystane przez H. Crossa do opracowania metody kolejnych przybliżeń, obliczania statycznie niewyznaczalnych konstrukcji belkowych i ramowych [34], Przyjęto określenia dotyczące zarówno sztywności prętów jak i węzłów. Definicja tych pojęć została również przedstawiona w pracach W. Poniża [35] oraz S. Błaszkowiaka i Z. Kączkowskiego [36].

Sztywnością bezwzględną pręta oznaczoną literą s, względnie sztywnością giętną pręta K, przyjęto nazywać wartość momentu gnącego wywołującego kąt obrotu równy jedności w węźle, do którego jest przyłożony. W celu sprecyzowania zagadnienia rozważono pręt i-k (rys. 5.1) obustronnie utwierdzony. Jeśli węzeł i obróci się o kąt (p_;, wówczas pręt ulegnie odkształceniu, a na jego końcach powstaną momenty utwierdzenia M_ik i

KJ

Rys. 5.1. Schemat obliczeniowy belki

Sztywność giętną (bezwzględną) pręta K_ik będzie wyrażał iloraz

(5.1)

Wartość tego stosunku zależeć będzie od sposobu zamocowania pręta w węźle k, w którym w zależności od stopnia zamocowania wystąpi kąt cp^.

Wykorzystując metodę przemieszczeń przy założeniu braku przesunięć węzłów, moment M_ikprzyjmie wartość

7 F J

M_ik=^( 2<p_i+<p_k)    (5.2)

gdzie:

E - moduł Younga materiału pręta,

J — moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta, l - długość pręta.

Dla całkowitego utwierdzenia w węźle k, cp_A = 0 i wówczas 4 EJ

—<p_f    (5-3)

Natomiast sztywność giętną pręta przyjmie wartość

*,* =

%

ĄEJ

l

(5.4)

Z kolei dla pręta zamocowanego w węźle A: przegubowo, sztywność giętną określono następująco

2 EJ l

(<P/+2q>*) = 0,

stąd

Wprowadzając wartość (p^do (5.2), po przekształceniu otrzymano

K

3 EJ

(5.5)

Z zagadnieniem sztywności giętnej pręta wiąże się pojęcie współczynnika przeniesienia, który określa następujący wzór

(5.6)

«Pi

81