4509

Rozwiązanie

W lonn***"" a) Mani.

wykorzystamy minory Im dzielenia wielomianów.

->x^ł — S* (2r*    -    5*^J

2**

-    -    5x³

±    5r³

2

: (**

2*^a    -ł-    2*

-o

•    — Sr

2*’    - 3r

*e!_± 2

=    -    3* + 2

Doraz 2x^a - 5x + 2. reszta a dzielenia —3* + 2.

^Młm'^V    *’0 _ _r. T ,

- r^ł°

+ *^l#    + r»

1) : 1

1

_I

2

Iloraz z"⁵ - x^s + 1, reszta z dzielenia —2. c) Mamy

z⁴ + «z³ - m⁷ +    (3 — »)a +    1 + IOi

(z*    +    3z^a    +    7iz    -

■ a* ł ir*_

■z⁴    +    3z²    +    Ti*    -

- az⁴ - z*_

=    - z³    +    3z*    +    Ti*    -

+ *^a -_izf_

(3 — i)z^a +    7iz -

- (3 — i)z^a +    (I + 3»)z

=    (1 + 10«)z -

- O ± io«)« -

(z - «)

1

1

(10 - 0 (n-0

Doraz z⁴ + ir* — x⁷ + (3 — i)z -f 1 + IOi, reszta z dzielenia —11 + *-

• Przykład 4.3

Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) z³ - 2r* - 5* -f 6; b) 2x³ - 5*^J - 2x - 3; c) ar® + 5x³ + 3x³ -

x + 15* „■

Czwarty tydzień - pizykądy

45

Rozwiązania

W rozwiązaniu wykorzystamy Iwicrdzanka o pierwiastkach całkowitych wielomianu •»r" +    +... + o»* + Oo

O wipólayntikuh całkowitych: każdy całkowity pierwiastek lego wielomianu jest dziet-nifcsem wyrazu wolnego o_a.

a)    Dsiclnilumi wyrazu wolnego a₀ » 6 są liczby: 1.—1,2,-2.3.-3,6,-6. Obliczając wartości tego wielomianu kolejno dla tych dzielników widzimy, że pierwiastkami całkowi-tymi są 1, -2,3. Ponieważ jest to wielomian stopnia 3, więc są to jego jedyne pierwiastki.

b)    Dzielnikami wyrazu wolnego ag = -3 są liczby: 1, -1,3,-3. Obliczając wartości tego wielomianu kolcyno dla tych dzielników widzimy, że jedynym pierwiastkiem całkowitym jest 3.

c)    Dzielnikami wyrazu wolnego ao = 15 są liczby: 1,-1,3,-3,5,— 5,16,-15. Obliczając wartości tego wielomianu kolejno dla tych dzielników wnioskujemy, że nic ma on pierwiastków całkowitych.

Uwaga. W wielu przypadkach obliczenia można znacznie uprościć np. badając parzystość wartości wielomianu dla dzielników wyrazu wolnego. W przykładzie c) dla każdej wartości całkowitej z wartość wielomianu jest liczbą nieparzystą (jako suma algebraiczna czterech liczb jednakowej parzystości oraz 15), zatem nic może być równa 0.

• Przykład 4.4

Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:

a) dr* - 7*² - 5x - 1; b) *³ +y-*+i; c) 3*° + 5x⁶ - *⁴ + 7*-9.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o postaci pierwiastków wymiernych wielomianu a„rⁿ + o_n-i r^n-ł + .. - + «i* +«o O współczynnikach całkowitych: jeżeli liczba wymierna gdzie ułamek - jest nicskracalny, jest pierwiastkiem tego wielomianu, to p

jest dzielnikiem wyrazu wolnego ao, natomiast q jest dzielnikiem współczynnika <l„.

a)    Dla wielomianu 4i^ł - 7z² — 5z — 1 mamy <i< = 4 oraz Oo ■ -lv Dzielnikami wyrazu

wolnego ao są liczby 1,-1. Dzielnikami współczynnika a% są: 1.-1.2.-2, t, Zatem pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu mogą być tylko liczby:    , I. -_L₍ 1₍

—. Obliczając wartości wielomianu kolejno dla tych liczb wnioskujemy, że tylko —i jest jego pierwiastkiem wymiernym.

b) Ponieważ x³ + ^--* + r = ^ (6z³ + r^ł - 6r -f 2) , więc pierwiastki wielomianu

j    O    3    6 '

i + — — x + - pokrywają się z pierwiastkami wielomianu fu’ + z² — 6z + 2. Dla wielo* mianu 6r³+r^a-6x+2 mamy 03 = 6 oraz ao * 2. Dzielnikami wyrazu wolnego ao są liczby: U—1*2, — 2. dzielnikami współczynnika 03 są natomiast liczby: 1, -1.2, — 2,3.— 3,6, _g_t Zatem pierwiastkami wymiernymi rozważanego wielomianu mogą być tylko liczby: -

-1 M -2 1 -i 1-12 -2 1 -1 _D , . . . ,    ¹

T¹ I’ T’ 2’ T* 3‘ T* 3’ T’ 6’ T‘ ° “P^{rawdzcmu okMU}J^e 4e, i* jedynym