4

Grupa: ... I.r. WMS

NAZWISKO i IMIĘ: ...

14.IX.2005

1. Znajdź postać Jordana J i macierz przejścia P dla A, gdy

2	6	1	-4
1	7	1	1 co
0	2	3	-i
1	4	1	0

2.    Dany jest sześcian o boku a. Oblicz odległość między prostymi skośnymi, z których jedna, zawiera przekątną podstawy sześcianu, a druga przekątną ściany bocznej.

3.    W przestrzeni wektorowej (V, +,R, •) dana jest baza /i = (ui, U2, ^u3) oraz endomorfizm /. Załóżmy, że dla niezerowych wektorów u, z V jest f(vi) = 2«i, f(v₂) = -v₂, f(v₃) = 0, (j = 1, 2,3). a) Uzasadnić, że v := (i>i, v₂, v₃) jest bazą w V.

b)    Podać macierz endomorfizmu / w bazie v.

c)    Znajdź rząd i jądro endomorfizmu /.

d)    Znajdź macierz dla / w bazie /j, wiedząc, że macierzą

1 1 0 1 0 1 1 1 1

4.    Rozwiąż dwa równania (bez pisania z = x + iy):

(a) z⁷ = 5(1 - i),    —    '    (b)

5.    Niech L : R[a;]3 —* RfzĘ, gdzie L(p(x)) = x³p'(0) + p(2x) dla p e Rfzją. Obliczając wyznacznik macierzy przekształcenia L (w bazach kanonicznych), zbadaj czy L jest odwracalne. Jeżeli tak, to wyznacz macierz oraz wzór dla przekształcenia odwrotnego do L.

przejścia od p do u jest P —

7

z z⁴ = z\z²\

1