6

3.X.2005

Grupa: ... I.r. WMS

NAZWISKO i IMIĘ: ...

2	4	-6	0
4	6	1 CO	-4
0	0	4	0
0	4	-6	2

jest macierzą endomorfizmu

/: R⁴ -*• R⁴ w bazie kanonicznej. Znaleźć bazę, w której macierz A ma postać Jordana J. Podaj macierz J. (Wsk. A = 2 jest wartością własną).

‘I '} 1 2. Dana jest macierz A odwzorowania liniowego /: R³ -» I³

1	3	2
1	k	-1
1	1	k

w bazie kanonicznej: A =

(a)    Dla jakich k, f jest. izomorfizmem?

(b)    Dla każdego k, dla którego / nie jest izomorfizmem, wyznacz przestrzenie ker /, Im pA ich bazy.

(c)    Dla jakich liczb k i a, /^-1[(1, —1, a)] jest zbiorem pustym, tzn. wektor ze składową a nie należy do obrazu?

2    0    1

0    2    1

-1    1    2

3. A =

jest macierzą endomorfizmu / w prze

strzeni R[x]2 w bazie v (ui,«2, ^3), gdzie r>i(x) = 1 + x, V2(x) = 1 + x + x², V3(x) = x + x².

(a)    Znajdź macierz A' endomorfizmu / w bazie kanonicznej wykorzystując odpowiednią macierz przejścia.

(b)    Dwoma sposobami (wykorzystując A i A¹) wyznacz f(v3) oraz f(w), gdy w(x) = 1 + x².

4. (a) Znajdź macierze: ortogonalną P i diagonalną D, aby

0 1 1 1 0 1 1 1 0

było D = P^T A P. jeśli A =

(b) Jaką powierzchnię przedstawia równanie

2x1X2 + 2x2x3 4- 2x2x3 = 1. Wsk. Wykorzystaj pkt. (a).

1