5

7.VT.2005

Grupa: ... I.r. WMS NAZWISKO i IMIĘ:

1. A =

2	-1	2	-1
0	1	2	-1
0	0	2	0
0	1	-2	3

jest macierzą endomorfizmu

A: R⁴ R⁴ w bazie kanonicznej. Znajdź postać Jordana J macierzy A oraz podaj bazę, w której J jest macierzą dla A.

2.    Na równinie w wierzchołkach A, B,C,D prostokąta ABCD umieszczone są słupy o wysokościach odpowiednio h_A = 15, hu = 20, hc — 30, ho = 25 m. Są dwie anteny prostoliniowe łączące szczyty słupów umieszczonych w przeciwległych wierzchołkach prostokąta. Mając AB = 40 i AD — 30 m, oblicz odstęp minimalny między antenami.

Wsk. Wprowadź układ współrzędnych, np z O — D.

3.    Znajdź bazę ortonormalną i macierz C przejścia do niej, taką że dla X — (x, y, z)^T forma kwadratowa f(X) = X^T F X — 4x² - 4xy + y² - 4xz + 2yz + z² ma w tej nowej bazie postać kanoniczną. Oblicz C^T F C.

4.    Wiedząc, że zo =    jest pierwiastkiem, rozwiąż

równanie z³ + 5iz² + 28z + 32 i = 0.

5.    Zbadać w zależności od parametru m liczbę rozwiązań układu

(m+l)x    +    my    +    (m - l)z    =    m + 7

(m — 7)x    +    (m - 6)y    +    (m - 5)z    =    —10

4x    -i-    3 y    +    2z    =    4.

Znajdź rozwiązania,    gdy one istnieją.

1