1

23.VI.2006

Grupa: ... I.r. WMS NAZWISKO ł IMIĘ: ...

1. A =

1	-1	-1	1
0	-1	0	0
3	0	CO	CO 1
2	-1	2	-2

jest macierzą endomorfizmu

/: R⁴ —» R⁴ w bazie kanonicznej. Znaleźć bazę B, w której macierz A ma postać Jordana J. Podaj macierz J a także macierz przejścia od bazy kanonicznej do B.

2. Rozwiąż równanie z^{1 2} + z³ (1 •+- i) + i — 0.

.1 3. (a) Znajdź potęgę naturalną Dⁿ macierzy diagonalnej D.

(b)    Udowodnij indukcyjnie, że jeśli F = PDP~^], to

Fⁿ = PDⁿP~^l.

(c)    Wektory tą = (1,2), v₂ = (—2,1) są wektorami własnymi endomorfizmu /: R² —» R² dla wartości własnych odpowiednio Ai = 2 i A2 = -1. Znajdź f"(x.y), gdzie (x,y) € R².

4. Znajdź odległość prostych

^ I -2x + y + 2z =12 |-6.t - 2y + 3z —21, l₂: (x,y,z) = (0,8,10) -f s(l, — 5, — 7).

1

1

Wyznacz macierz przejścia do bazy ortonormałnej, w której forma kwadratowa

q(x) = x\ + x\ + x\ + 4:eiX2 + 4xiX3 + 4x2X3 ma postać kanoniczną. Podaj tę postać kanoniczną.

2

5’. Nazwij i opisz powierzchnię q{x) = c w zależności od stałej c.